Theorem unitnmn0 24856

Description: The norm of a unit is nonzero in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nminvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitnmn0	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem unitnmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 24850	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		nminvr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20483	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	4, 7	nzrunit 20652	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
9	8	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
10		nminvr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
11	3, 10, 7	nmne0 24807	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
12	2, 6, 9, 11	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  0cc0 11111  Basecbs 17287  0_gc0g 17510  Unitcui 20463  NzRingcnzr 20639  normcnm 24764  NrmGrpcngp 24765  NrmRingcnrg 24767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-0g 17512  df-topgen 17514  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-nzr 20640  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-xms 24508  df-ms 24509  df-nm 24770  df-ngp 24771  df-nrg 24773

This theorem is used by:  nminvr  24857  nmdvr  24858