Theorem unitnmn0 24167

Description: The norm of a unit is nonzero in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nminvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitnmn0	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem unitnmn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 24161	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		nminvr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	4, 7	nzrunit 20290	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
9	8	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
10		nminvr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
11	3, 10, 7	nmne0 24110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
12	2, 6, 9, 11	syl3anc 1372	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6540  0cc0 11106  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  Unitcui 20158  NzRingcnzr 20280  normcnm 24067  NrmGrpcngp 24068  NrmRingcnrg 24070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-nzr 20281  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-xms 23808  df-ms 23809  df-nm 24073  df-ngp 24074  df-nrg 24076

This theorem is referenced by:  nminvr  24168  nmdvr  24169