MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnmn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitnmn0 24406
Description: The norm of a unit is nonzero in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nminvr.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitnmn0 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)

Proof of Theorem unitnmn0
StepHypRef Expression
1 nrgngp 24400 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
213ad2ant1 1132 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 nminvr.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
53, 4unitcl 20267 . . 3 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
653ad2ant3 1134 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7 eqid 2731 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
84, 7nzrunit 20414 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…))
983adant1 1129 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…))
10 nminvr.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
113, 10, 7nmne0 24349 . 2 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)
122, 6, 9, 11syl3anc 1370 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  β€˜cfv 6543  0cc0 11114  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Unitcui 20247  NzRingcnzr 20404  normcnm 24306  NrmGrpcngp 24307  NrmRingcnrg 24309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-nzr 20405  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-xms 24047  df-ms 24048  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315
This theorem is referenced by:  nminvr  24407  nmdvr  24408
  Copyright terms: Public domain W3C validator