MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitnmn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitnmn0 24091
Description: The norm of a unit is nonzero in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitnmn0 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ≠ 0)

Proof of Theorem unitnmn0
StepHypRef Expression
1 nrgngp 24085 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
213ad2ant1 1133 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 nminvr.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 20124 . . 3 (𝐴𝑈𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
653ad2ant3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
84, 7nzrunit 20233 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
983adant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
10 nminvr.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑅)
113, 10, 7nmne0 24034 . 2 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
122, 6, 9, 11syl3anc 1371 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  cfv 6523  0cc0 11082  Basecbs 17116  0gc0g 17357  Unitcui 20104  NzRingcnzr 20223  normcnm 23991  NrmGrpcngp 23992  NrmRingcnrg 23994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-tpos 8184  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-map 8796  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11844  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-q 12905  df-rp 12947  df-xneg 13064  df-xadd 13065  df-xmul 13066  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-ress 17146  df-plusg 17182  df-mulr 17183  df-0g 17359  df-topgen 17361  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-grp 18787  df-minusg 18788  df-mgp 19933  df-ur 19950  df-ring 20002  df-oppr 20085  df-dvdsr 20106  df-unit 20107  df-invr 20137  df-nzr 20224  df-psmet 20847  df-xmet 20848  df-bl 20850  df-mopn 20851  df-top 22302  df-topon 22319  df-topsp 22341  df-bases 22355  df-xms 23732  df-ms 23733  df-nm 23997  df-ngp 23998  df-nrg 24000
This theorem is referenced by:  nminvr  24092  nmdvr  24093
  Copyright terms: Public domain W3C validator