Theorem subrgnrg 23276

Description: A normed ring restricted to a subring is a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnrg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgnrg	⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem subrgnrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 23265	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		subrgsubg 19535	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subrgnrg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4	3	subgngp 23238	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
5	1, 2, 4	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
6	2	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
8		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
9	3, 7, 8	subgnm 23236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (norm‘𝐻) = ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → (norm‘𝐻) = ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴))
11		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
12	7, 11	nrgabv 23264	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺))
13		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐻) = (AbsVal‘𝐻)
14	11, 3, 13	abvres 19604	. . . 4 ⊢ (((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴) ∈ (AbsVal‘𝐻))
15	12, 14	sylan 582	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴) ∈ (AbsVal‘𝐻))
16	10, 15	eqeltrd 2913	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → (norm‘𝐻) ∈ (AbsVal‘𝐻))
17	8, 13	isnrg 23263	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ NrmRing ↔ (𝐻 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐻) ∈ (AbsVal‘𝐻)))
18	5, 16, 17	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ↾_s cress 16478  SubGrpcsubg 18267  SubRingcsubrg 19525  AbsValcabv 19581  normcnm 23180  NrmGrpcngp 23181  NrmRingcnrg 23183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-tset 16578  df-ds 16581  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-mgp 19234  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-abv 19582  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nrg 23189

This theorem is referenced by:  sranlm  23287  zringnrg  23390  isncvsngp  23747  tcphcph  23834  rezh  31207  rerrext  31245