MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgnrg 24060
Description: A normed ring restricted to a subring is a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgnrg.h 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgnrg ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem subrgnrg
StepHypRef Expression
1 nrgngp 24049 . . 3 (𝐺 ∈ NrmRing → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 subrgsubg 20270 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subrgnrg.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
43subgngp 24014 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
51, 2, 4syl2an 597 . 2 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
62adantl 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 eqid 2733 . . . . 5 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
8 eqid 2733 . . . . 5 (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
93, 7, 8subgnm 24012 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (norm‘𝐻) = ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴))
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → (norm‘𝐻) = ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴))
11 eqid 2733 . . . . 5 (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
127, 11nrgabv 24048 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺))
13 eqid 2733 . . . . 5 (AbsVal‘𝐻) = (AbsVal‘𝐻)
1411, 3, 13abvres 20341 . . . 4 (((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴) ∈ (AbsVal‘𝐻))
1512, 14sylan 581 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴) ∈ (AbsVal‘𝐻))
1610, 15eqeltrd 2834 . 2 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → (norm‘𝐻) ∈ (AbsVal‘𝐻))
178, 13isnrg 24047 . 2 (𝐻 ∈ NrmRing ↔ (𝐻 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐻) ∈ (AbsVal‘𝐻)))
185, 16, 17sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cres 5639  cfv 6500  (class class class)co 7361  s cress 17120  SubGrpcsubg 18930  SubRingcsubrg 20260  AbsValcabv 20318  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmRingcnrg 23958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-nrg 23964
This theorem is referenced by:  sranlm  24071  zringnrg  24174  isncvsngp  24536  tcphcph  24624  rezh  32616  rerrext  32654
  Copyright terms: Public domain W3C validator