Theorem subrgnrg 24189

Description: A normed ring restricted to a subring is a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgnrg.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgnrg	⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem subrgnrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 24178	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		subrgsubg 20324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subrgnrg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
4	3	subgngp 24143	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
5	1, 2, 4	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
6	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
9	3, 7, 8	subgnm 24141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (norm‘𝐻) = ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → (norm‘𝐻) = ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴))
11		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
12	7, 11	nrgabv 24177	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺))
13		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (AbsVal‘𝐻) = (AbsVal‘𝐻)
14	11, 3, 13	abvres 20446	. . . 4 ⊢ (((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴) ∈ (AbsVal‘𝐻))
15	12, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → ((norm‘𝐺) ↾ 𝐴) ∈ (AbsVal‘𝐻))
16	10, 15	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → (norm‘𝐻) ∈ (AbsVal‘𝐻))
17	8, 13	isnrg 24176	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ NrmRing ↔ (𝐻 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐻) ∈ (AbsVal‘𝐻)))
18	5, 16, 17	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↾_s cress 17172  SubGrpcsubg 18999  SubRingcsubrg 20314  AbsValcabv 20423  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085  NrmRingcnrg 24087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-abv 20424  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nrg 24093

This theorem is referenced by:  sranlm  24200  zringnrg  24303  isncvsngp  24665  tcphcph  24753  rezh  32946  rerrext  32984