Theorem nrgdsdi 24923

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
nrgdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrgdsdi	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		nrgring 24921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20403	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
8		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		nmmul.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11	9, 10	grpsubcl 19169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
13		nmmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
14		nmmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	9, 13, 14	nmmul 24922	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
16	1, 2, 12, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
17	9, 14, 10, 4, 2, 7, 8	ringsubdi 20477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶)))
18	17	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
19	16, 18	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
20		nrgngp 24920	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22		nrgdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
23	13, 9, 10, 22	ngpds 24862	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶)))
24	21, 7, 8, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶)))
25	24	oveq2d 7432	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
26	9, 14	ringcl 20416	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
27	4, 2, 7, 26	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
28	9, 14	ringcl 20416	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
29	4, 2, 8, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
30	13, 9, 10, 22	ngpds 24862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
32	19, 25, 31	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   · cmul 11154  Basecbs 17326  ._rcmulr 17368  distcds 17376  Grpcgrp 19083  -_gcsg 19085  Ringcrg 20398  normcnm 24834  NrmGrpcngp 24835  NrmRingcnrg 24837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-0g 17551  df-topgen 17553  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-abv 21005  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-xms 24578  df-ms 24579  df-nm 24840  df-ngp 24841  df-nrg 24843

This theorem is used by: (None)