MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nrgdsdi 24532
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmul.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
nrgdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdi ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (𝐡𝐷𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)))
Proof of Theorem nrgdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simpr1 1191 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 nrgring 24530 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 20140 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
9 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
119, 10grpsubcl 18945 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑋)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
14 nmmul.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
159, 13, 14nmmul 24531 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))))
161, 2, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))))
179, 14, 10, 4, 2, 7, 8ringsubdi 20203 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢)))
1817fveq2d 6888 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
1916, 18eqtr3d 2768 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
20 nrgngp 24529 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
2313, 9, 10, 22ngpds 24463 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐢) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢)))
2421, 7, 8, 23syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢)))
2524oveq2d 7420 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (𝐡𝐷𝐢)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))))
269, 14ringcl 20152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
274, 2, 7, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
289, 14ringcl 20152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
294, 2, 8, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
3013, 9, 10, 22ngpds 24463 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
3219, 25, 313eqtr4d 2776 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (𝐡𝐷𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   Β· cmul 11114  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  distcds 17212  Grpcgrp 18860  -gcsg 18862  Ringcrg 20135  normcnm 24435  NrmGrpcngp 24436  NrmRingcnrg 24438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-abv 20657  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-xms 24176  df-ms 24177  df-nm 24441  df-ngp 24442  df-nrg 24444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator