Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgdsdi 23312
 Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t · = (.r𝑅)
nrgdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdi ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simpr1 1191 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
3 nrgring 23310 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 19316 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
8 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
9 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑅)
10 eqid 2798 . . . . . 6 (-g𝑅) = (-g𝑅)
119, 10grpsubcl 18192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
126, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
14 nmmul.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
159, 13, 14nmmul 23311 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))))
161, 2, 12, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))))
179, 14, 10, 4, 2, 7, 8ringsubdi 19366 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶)))
1817fveq2d 6659 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
1916, 18eqtr3d 2835 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
20 nrgngp 23309 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑅)
2313, 9, 10, 22ngpds 23251 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶)))
2421, 7, 8, 23syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶)))
2524oveq2d 7161 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))))
269, 14ringcl 19328 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
274, 2, 7, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
289, 14ringcl 19328 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
294, 2, 8, 28syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
3013, 9, 10, 22ngpds 23251 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
3219, 25, 313eqtr4d 2843 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   · cmul 10549  Basecbs 16495  .rcmulr 16578  distcds 16586  Grpcgrp 18115  -gcsg 18117  Ringcrg 19311  normcnm 23224  NrmGrpcngp 23225  NrmRingcnrg 23227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-topgen 16729  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-abv 19602  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-xms 22968  df-ms 22969  df-nm 23230  df-ngp 23231  df-nrg 23233 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator