MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nrgdsdi 24181
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nmmul.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nmmul.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
nrgdsdi.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdi ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (𝐡𝐷𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)))
Proof of Theorem nrgdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simpr1 1194 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 nrgring 24179 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 20060 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
8 simpr3 1196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
9 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
119, 10grpsubcl 18902 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑋)
126, 7, 8, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
14 nmmul.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
159, 13, 14nmmul 24180 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))))
161, 2, 12, 15syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))))
179, 14, 10, 4, 2, 7, 8ringsubdi 20118 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢)))
1817fveq2d 6895 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 Β· (𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
1916, 18eqtr3d 2774 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
20 nrgngp 24178 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
2313, 9, 10, 22ngpds 24112 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐢) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢)))
2421, 7, 8, 23syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝐷𝐢) = (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢)))
2524oveq2d 7424 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (𝐡𝐷𝐢)) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜(𝐡(-gβ€˜π‘…)𝐢))))
269, 14ringcl 20072 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
274, 2, 7, 26syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
289, 14ringcl 20072 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
294, 2, 8, 28syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋)
3013, 9, 10, 22ngpds 24112 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 Β· 𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)) = (π‘β€˜((𝐴 Β· 𝐡)(-gβ€˜π‘…)(𝐴 Β· 𝐢))))
3219, 25, 313eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (𝐡𝐷𝐢)) = ((𝐴 Β· 𝐡)𝐷(𝐴 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   Β· cmul 11114  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  distcds 17205  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  Ringcrg 20055  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085  NrmRingcnrg 24087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-abv 20424  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-nrg 24093
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator