Theorem nrgdsdi 24673

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
nrgdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrgdsdi	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		simpr1 1191	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		nrgring 24671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 20221	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
8		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		nmmul.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11	9, 10	grpsubcl 19014	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
13		nmmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
14		nmmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	9, 13, 14	nmmul 24672	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
16	1, 2, 12, 15	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
17	9, 14, 10, 4, 2, 7, 8	ringsubdi 20286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶)))
18	17	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
19	16, 18	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
20		nrgngp 24670	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
21	20	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22		nrgdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
23	13, 9, 10, 22	ngpds 24604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶)))
24	21, 7, 8, 23	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶)))
25	24	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
26	9, 14	ringcl 20233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
27	4, 2, 7, 26	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
28	9, 14	ringcl 20233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
29	4, 2, 8, 28	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
30	13, 9, 10, 22	ngpds 24604	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
32	19, 25, 31	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   · cmul 11163  Basecbs 17213  ._rcmulr 17267  distcds 17275  Grpcgrp 18928  -_gcsg 18930  Ringcrg 20216  normcnm 24576  NrmGrpcngp 24577  NrmRingcnrg 24579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-topgen 17458  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-abv 20788  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-xms 24317  df-ms 24318  df-nm 24582  df-ngp 24583  df-nrg 24585

This theorem is referenced by: (None)