Theorem nrgdsdi 22962

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
nrgdsdi.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nrgdsdi	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		simpr1 1187	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		nrgring 22960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringgrp 18997	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr2 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
8		simpr3 1189	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9		nmmul.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11	9, 10	grpsubcl 17941	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
13		nmmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
14		nmmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	9, 13, 14	nmmul 22961	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵(-g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
16	1, 2, 12, 15	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
17	9, 14, 10, 4, 2, 7, 8	ringsubdi 19044	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶)))
18	17	fveq2d 6547	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
19	16, 18	eqtr3d 2833	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
20		nrgngp 22959	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22		nrgdsdi.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
23	13, 9, 10, 22	ngpds 22901	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶)))
24	21, 7, 8, 23	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶)))
25	24	oveq2d 7037	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑅)𝐶))))
26	9, 14	ringcl 19006	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
27	4, 2, 7, 26	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
28	9, 14	ringcl 19006	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
29	4, 2, 8, 28	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
30	13, 9, 10, 22	ngpds 22901	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1364	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g‘𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
32	19, 25, 31	3eqtr4d 2841	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021   · cmul 10393  Basecbs 16317  ._rcmulr 16400  distcds 16408  Grpcgrp 17866  -_gcsg 17868  Ringcrg 18992  normcnm 22874  NrmGrpcngp 22875  NrmRingcnrg 22877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-sup 8757  df-inf 8758  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-plusg 16412  df-0g 16549  df-topgen 16551  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-abv 19283  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-xms 22618  df-ms 22619  df-nm 22880  df-ngp 22881  df-nrg 22883

This theorem is referenced by: (None)