Theorem rezh 34126

Description: The ℤ-module of ℝ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rezh	⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24724	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 21563	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 21560	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 24617	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
8	7	zhmnrg 34122	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9		nrgngp 24606	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
10	6, 8, 9	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11		nrgring 24607	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12		ringabl 20216	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
13	6, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Abel
14	7	zlmlmod 21477	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
15	13, 14	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16		zringnrg 24732	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
17	10, 15, 16	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12597	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	19, 21	absmuld 15380	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23		subrgsubg 20510	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24	3, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
27	7, 26	zlmvsca 21476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
28	27	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
29	25, 4, 28	subgmulg 19070	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
30	24, 29	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31		cnfldmulg 21358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
32	21, 31	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
33	30, 32	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
34	33	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35		zre 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36		remulcl 11111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37		fvres 6853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
39	35, 38	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
40	34, 39	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41		fvres 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42		fvres 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
43	41, 42	oveqan12d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
44	22, 40, 43	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
45	44	rgen2 3176	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46		rebase 21561	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
47	7, 46	zlmbas 21472	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48		recusp 25338	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
49	48	elexi 3463	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ V
50		cnring 21345	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
51		ringmnd 20178	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
53		0re 11134	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		ax-resscn 11083	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55		cnfldbas 21313	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
56		cnfld0 21347	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
57		cnfldnm 24722	. . . . . . 7 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
58	4, 55, 56, 57	ressnm 33046	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
59	52, 53, 54, 58	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
60	7, 59	zlmnm 34121	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
61	49, 60	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
63	7	zlmsca 21475	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
64	49, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65		zringbas 21408	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		zringnm 34115	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
67	66	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
68	47, 61, 62, 64, 65, 67	isnlm 24619	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
69	17, 45, 68	mpbir2an 711	1 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031  ℤcz 12488  abscabs 15157  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  SubGrpcsubg 19050  Abelcabl 19710  Ringcrg 20168  SubRingcsubrg 20502  DivRingcdr 20662  LModclmod 20811  ℂ_fldccnfld 21309  ℤ_ringczring 21401  ℤModczlm 21455  ℝ_fldcrefld 21559  CUnifSpccusp 24240  normcnm 24520  NrmGrpcngp 24521  NrmRingcnrg 24523  NrmModcnlm 24524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-abv 20742  df-lmod 20813  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-metu 21308  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zlm 21459  df-refld 21560  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-cmp 23331  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-flim 23883  df-fcls 23885  df-ust 24145  df-utop 24175  df-uss 24200  df-usp 24201  df-cfilu 24230  df-cusp 24241  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-nrg 24529  df-nlm 24530  df-cncf 24827  df-cfil 25211  df-cmet 25213  df-cms 25291

This theorem is referenced by:  rerrext  34166