Theorem rezh 33508

Description: The ℤ-module of ℝ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rezh	⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24684	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 21527	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 21524	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 24577	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
8	7	zhmnrg 33504	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9		nrgngp 24566	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
10	6, 8, 9	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11		nrgring 24567	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12		ringabl 20206	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
13	6, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Abel
14	7	zlmlmod 21439	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
15	13, 14	mpbi 229	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16		zringnrg 24691	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
17	10, 15, 16	3pm3.2i 1337	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12689	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	19, 21	absmuld 15425	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23		subrgsubg 20505	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24	3, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26		eqid 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
27	7, 26	zlmvsca 21438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
28	27	eqcomi 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
29	25, 4, 28	subgmulg 19086	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
30	24, 29	mp3an1 1445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31		cnfldmulg 21318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
32	21, 31	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
33	30, 32	eqtr3d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
34	33	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35		zre 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36		remulcl 11215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37		fvres 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
39	35, 38	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
40	34, 39	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41		fvres 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42		fvres 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
43	41, 42	oveqan12d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
44	22, 40, 43	3eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
45	44	rgen2 3192	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46		rebase 21525	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
47	7, 46	zlmbas 21431	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48		recusp 25297	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
49	48	elexi 3489	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ V
50		cnring 21305	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
51		ringmnd 20174	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
53		0re 11238	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		ax-resscn 11187	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55		cnfldbas 21270	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
56		cnfld0 21307	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
57		cnfldnm 24682	. . . . . . 7 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
58	4, 55, 56, 57	ressnm 32667	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
59	52, 53, 54, 58	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
60	7, 59	zlmnm 33503	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
61	49, 60	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62		eqid 2727	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
63	7	zlmsca 21437	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
64	49, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65		zringbas 21366	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		zringnm 33495	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
67	66	eqcomi 2736	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
68	47, 61, 62, 64, 65, 67	isnlm 24579	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
69	17, 45, 68	mpbir2an 710	1 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130   · cmul 11135  ℤcz 12580  abscabs 15205  Scalarcsca 17227   ·_𝑠 cvsca 17228  Mndcmnd 18685  ._gcmg 19014  SubGrpcsubg 19066  Abelcabl 19727  Ringcrg 20164  SubRingcsubrg 20495  DivRingcdr 20613  LModclmod 20732  ℂ_fldccnfld 21266  ℤ_ringczring 21359  ℤModczlm 21413  ℝ_fldcrefld 21523  CUnifSpccusp 24189  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473  NrmRingcnrg 24475  NrmModcnlm 24476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-abv 20686  df-lmod 20734  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-metu 21265  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zlm 21417  df-refld 21524  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-flim 23830  df-fcls 23832  df-ust 24092  df-utop 24123  df-uss 24148  df-usp 24149  df-cfilu 24179  df-cusp 24190  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-nrg 24481  df-nlm 24482  df-cncf 24785  df-cfil 25170  df-cmet 25172  df-cms 25250

This theorem is referenced by:  rerrext  33546