Theorem rezh 33932

Description: The ℤ-module of ℝ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rezh	⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24817	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 21644	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 21641	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 24710	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
8	7	zhmnrg 33928	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9		nrgngp 24699	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
10	6, 8, 9	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11		nrgring 24700	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12		ringabl 20295	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
13	6, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Abel
14	7	zlmlmod 21555	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
15	13, 14	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16		zringnrg 24824	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
17	10, 15, 16	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12721	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	19, 21	absmuld 15490	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23		subrgsubg 20594	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24	3, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
27	7, 26	zlmvsca 21554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
28	27	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
29	25, 4, 28	subgmulg 19171	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
30	24, 29	mp3an1 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31		cnfldmulg 21434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
32	21, 31	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
33	30, 32	eqtr3d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
34	33	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35		zre 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36		remulcl 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37		fvres 6926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
39	35, 38	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
40	34, 39	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41		fvres 6926	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42		fvres 6926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
43	41, 42	oveqan12d 7450	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
44	22, 40, 43	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
45	44	rgen2 3197	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46		rebase 21642	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
47	7, 46	zlmbas 21547	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48		recusp 25430	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
49	48	elexi 3501	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ V
50		cnring 21421	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
51		ringmnd 20261	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
53		0re 11261	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		ax-resscn 11210	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55		cnfldbas 21386	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
56		cnfld0 21423	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
57		cnfldnm 24815	. . . . . . 7 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
58	4, 55, 56, 57	ressnm 32934	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
59	52, 53, 54, 58	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
60	7, 59	zlmnm 33927	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
61	49, 60	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62		eqid 2735	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
63	7	zlmsca 21553	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
64	49, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65		zringbas 21482	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		zringnm 33919	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
67	66	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
68	47, 61, 62, 64, 65, 67	isnlm 24712	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
69	17, 45, 68	mpbir2an 711	1 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  ℤcz 12611  abscabs 15270  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  Mndcmnd 18760  ._gcmg 19098  SubGrpcsubg 19151  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  ℂ_fldccnfld 21382  ℤ_ringczring 21475  ℤModczlm 21529  ℝ_fldcrefld 21640  CUnifSpccusp 24322  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606  NrmRingcnrg 24608  NrmModcnlm 24609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-metu 21381  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zlm 21533  df-refld 21641  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-flim 23963  df-fcls 23965  df-ust 24225  df-utop 24256  df-uss 24281  df-usp 24282  df-cfilu 24312  df-cusp 24323  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-cncf 24918  df-cfil 25303  df-cmet 25305  df-cms 25383

This theorem is referenced by:  rerrext  33972