Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rezh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rezh 32616
Description: The -module of is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
rezh (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24167 . . . . 5 fld ∈ NrmRing
2 resubdrg 21035 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
32simpli 485 . . . . 5 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 df-refld 21032 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
54subrgnrg 24060 . . . . 5 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
61, 3, 5mp2an 691 . . . 4 fld ∈ NrmRing
7 eqid 2733 . . . . 5 (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
87zhmnrg 32612 . . . 4 (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9 nrgngp 24049 . . . 4 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
106, 8, 9mp2b 10 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11 nrgring 24050 . . . . 5 (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12 ringabl 20010 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
136, 11, 12mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Abel
147zlmlmod 20950 . . . 4 (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
1513, 14mpbi 229 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16 zringnrg 24174 . . 3 ring ∈ NrmRing
1710, 15, 163pm3.2i 1340 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
1918zcnd 12616 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120recnd 11191 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2219, 21absmuld 15348 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23 subrgsubg 20270 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
243, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
277, 26zlmvsca 20949 . . . . . . . . . 10 (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
2827eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
2925, 4, 28subgmulg 18950 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
3024, 29mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31 cnfldmulg 20852 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3221, 31syldan 592 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3330, 32eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3433fveq2d 6850 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35 zre 12511 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36 remulcl 11144 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37 fvres 6865 . . . . . . 7 ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
3935, 38sylan 581 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
4034, 39eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41 fvres 6865 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42 fvres 6865 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
4341, 42oveqan12d 7380 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
4422, 40, 433eqtr4d 2783 . . 3 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
4544rgen2 3191 . 2 𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46 rebase 21033 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
477, 46zlmbas 20942 . . 3 ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48 recusp 24769 . . . . 5 fld ∈ CUnifSp
4948elexi 3466 . . . 4 fld ∈ V
50 cnring 20842 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
51 ringmnd 19982 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 fld ∈ Mnd
53 0re 11165 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
54 ax-resscn 11116 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
55 cnfldbas 20823 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
56 cnfld0 20844 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
57 cnfldnm 24165 . . . . . . 7 abs = (norm‘ℂfld)
584, 55, 56, 57ressnm 31874 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
5952, 53, 54, 58mp3an 1462 . . . . 5 (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
607, 59zlmnm 32611 . . . 4 (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
6149, 60ax-mp 5 . . 3 (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
637zlmsca 20948 . . . 4 (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
6449, 63ax-mp 5 . . 3 ring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65 zringbas 20898 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
66 zringnm 32603 . . . 4 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
6766eqcomi 2742 . . 3 (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
6847, 61, 62, 64, 65, 67isnlm 24062 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
6917, 45, 68mpbir2an 710 1 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  wss 3914  cres 5639  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059   · cmul 11064  cz 12507  abscabs 15128  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  SubGrpcsubg 18930  Abelcabl 19571  Ringcrg 19972  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  LModclmod 20365  fldccnfld 20819  ringczring 20892  ℤModczlm 20924  fldcrefld 21031  CUnifSpccusp 23672  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmRingcnrg 23958  NrmModcnlm 23959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-lmod 20367  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-metu 20818  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zlm 20928  df-refld 21032  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-flim 23313  df-fcls 23315  df-ust 23575  df-utop 23606  df-uss 23631  df-usp 23632  df-cfilu 23662  df-cusp 23673  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-nrg 23964  df-nlm 23965  df-cncf 24264  df-cfil 24642  df-cmet 24644  df-cms 24722
This theorem is referenced by:  rerrext  32654
  Copyright terms: Public domain W3C validator