Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rezh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rezh 32951
Description: The -module of is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
rezh (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24297 . . . . 5 fld ∈ NrmRing
2 resubdrg 21161 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
32simpli 485 . . . . 5 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 df-refld 21158 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
54subrgnrg 24190 . . . . 5 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
61, 3, 5mp2an 691 . . . 4 fld ∈ NrmRing
7 eqid 2733 . . . . 5 (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
87zhmnrg 32947 . . . 4 (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9 nrgngp 24179 . . . 4 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
106, 8, 9mp2b 10 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11 nrgring 24180 . . . . 5 (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12 ringabl 20098 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
136, 11, 12mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Abel
147zlmlmod 21076 . . . 4 (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
1513, 14mpbi 229 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16 zringnrg 24304 . . 3 ring ∈ NrmRing
1710, 15, 163pm3.2i 1340 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
1918zcnd 12667 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120recnd 11242 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2219, 21absmuld 15401 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23 subrgsubg 20325 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
243, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
277, 26zlmvsca 21075 . . . . . . . . . 10 (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
2827eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
2925, 4, 28subgmulg 19020 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
3024, 29mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31 cnfldmulg 20977 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3221, 31syldan 592 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3330, 32eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
3433fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35 zre 12562 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36 remulcl 11195 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37 fvres 6911 . . . . . . 7 ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
3935, 38sylan 581 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
4034, 39eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41 fvres 6911 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42 fvres 6911 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
4341, 42oveqan12d 7428 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
4422, 40, 433eqtr4d 2783 . . 3 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
4544rgen2 3198 . 2 𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46 rebase 21159 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
477, 46zlmbas 21068 . . 3 ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48 recusp 24899 . . . . 5 fld ∈ CUnifSp
4948elexi 3494 . . . 4 fld ∈ V
50 cnring 20967 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
51 ringmnd 20066 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 fld ∈ Mnd
53 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
54 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
55 cnfldbas 20948 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
56 cnfld0 20969 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
57 cnfldnm 24295 . . . . . . 7 abs = (norm‘ℂfld)
584, 55, 56, 57ressnm 32128 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
5952, 53, 54, 58mp3an 1462 . . . . 5 (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
607, 59zlmnm 32946 . . . 4 (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
6149, 60ax-mp 5 . . 3 (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
637zlmsca 21074 . . . 4 (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
6449, 63ax-mp 5 . . 3 ring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65 zringbas 21023 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
66 zringnm 32938 . . . 4 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
6766eqcomi 2742 . . 3 (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
6847, 61, 62, 64, 65, 67isnlm 24192 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
6917, 45, 68mpbir2an 710 1 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3949  cres 5679  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110   · cmul 11115  cz 12558  abscabs 15181  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000  Abelcabl 19649  Ringcrg 20056  SubRingcsubrg 20315  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  fldccnfld 20944  ringczring 21017  ℤModczlm 21050  fldcrefld 21157  CUnifSpccusp 23802  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmRingcnrg 24088  NrmModcnlm 24089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-metu 20943  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zlm 21054  df-refld 21158  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-flim 23443  df-fcls 23445  df-ust 23705  df-utop 23736  df-uss 23761  df-usp 23762  df-cfilu 23792  df-cusp 23803  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-cncf 24394  df-cfil 24772  df-cmet 24774  df-cms 24852
This theorem is referenced by:  rerrext  32989
  Copyright terms: Public domain W3C validator