Theorem rezh 34300

Description: The ℤ-module of ℝ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rezh	⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24902	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 21723	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 488	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 21720	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 24795	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
8	7	zhmnrg 34296	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9		nrgngp 24784	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
10	6, 8, 9	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11		nrgring 24785	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12		ringabl 20360	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
13	6, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Abel
14	7	zlmlmod 21637	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
15	13, 14	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16		zringnrg 24910	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
17	10, 15, 16	3pm3.2i 1356	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12697	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11233	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	19, 21	absmuld 15504	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23		subrgsubg 20658	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24	3, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
27	7, 26	zlmvsca 21636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
28	27	eqcomi 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
29	25, 4, 28	subgmulg 19203	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
30	24, 29	mp3an1 1474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31		cnfldmulg 21519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
32	21, 31	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
33	30, 32	eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
34	33	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35		zre 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36		remulcl 11181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37		fvres 6898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
38	36, 37	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
39	35, 38	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
40	34, 39	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41		fvres 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42		fvres 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
43	41, 42	oveqan12d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
44	22, 40, 43	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
45	44	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46		rebase 21721	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
47	7, 46	zlmbas 21632	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48		recusp 25506	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
49	48	elexi 3485	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ V
50		cnring 21509	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
51		ringmnd 20321	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
53		0re 11206	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		ax-resscn 11153	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55		cnfldbas 21491	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
56		cnfld0 21511	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
57		cnfldnm 24900	. . . . . . 7 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
58	4, 55, 56, 57	ressnm 33221	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
59	52, 53, 54, 58	mp3an 1487	. . . . 5 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
60	7, 59	zlmnm 34295	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
61	49, 60	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62		eqid 2769	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
63	7	zlmsca 21635	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
64	49, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65		zringbas 21568	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		zringnm 34289	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
67	66	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
68	47, 61, 62, 64, 65, 67	isnlm 24797	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
69	17, 45, 68	mpbir2an 723	1 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   ↾ cres 5661  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096   · cmul 11101  ℤcz 12587  abscabs 15281  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  Mndcmnd 18788  ._gcmg 19129  SubGrpcsubg 19182  Abelcabl 19847  Ringcrg 20311  SubRingcsubrg 20650  DivRingcdr 20809  LModclmod 20955  ℂ_fldccnfld 21487  ℤ_ringczring 21561  ℤModczlm 21615  ℝ_fldcrefld 21719  CUnifSpccusp 24418  normcnm 24698  NrmGrpcngp 24699  NrmRingcnrg 24701  NrmModcnlm 24702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-abv 20886  df-lmod 20957  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-metu 21486  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zlm 21619  df-refld 21720  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-flim 24061  df-fcls 24063  df-ust 24323  df-utop 24353  df-uss 24378  df-usp 24379  df-cfilu 24408  df-cusp 24419  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-nm 24704  df-ngp 24705  df-nrg 24707  df-nlm 24708  df-cncf 25002  df-cfil 25379  df-cmet 25381  df-cms 25459

This theorem is referenced by:  rerrext  34340