Theorem rezh 33955

Description: The ℤ-module of ℝ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rezh	⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem rezh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24685	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 21534	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 21531	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 24578	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
8	7	zhmnrg 33951	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing)
9		nrgngp 24567	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp)
10	6, 8, 9	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp
11		nrgring 24568	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing → ℝfld ∈ Ring)
12		ringabl 20185	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Abel)
13	6, 11, 12	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Abel
14	7	zlmlmod 21448	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod)
15	13, 14	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod
16		zringnrg 24693	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
17	10, 15, 16	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12600	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	19, 21	absmuld 15383	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23		subrgsubg 20481	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24	3, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
25		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
26		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
27	7, 26	zlmvsca 21447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.g‘ℝfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
28	27	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = (.g‘ℝfld)
29	25, 4, 28	subgmulg 19038	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
30	24, 29	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥))
31		cnfldmulg 21329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
32	21, 31	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
33	30, 32	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
34	33	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)))
35		zre 12494	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
36		remulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ)
37		fvres 6845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 · 𝑥) ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
39	35, 38	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧 · 𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
40	34, 39	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
41		fvres 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
42		fvres 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((abs ↾ ℝ)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
43	41, 42	oveqan12d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
44	22, 40, 43	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥)))
45	44	rgen2 3169	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))
46		rebase 21532	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
47	7, 46	zlmbas 21443	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℤMod‘ℝfld))
48		recusp 25299	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
49	48	elexi 3461	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ V
50		cnring 21316	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
51		ringmnd 20147	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
53		0re 11136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		ax-resscn 11085	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
55		cnfldbas 21284	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
56		cnfld0 21318	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
57		cnfldnm 24683	. . . . . . 7 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
58	4, 55, 56, 57	ressnm 32925	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld))
59	52, 53, 54, 58	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘ℝfld)
60	7, 59	zlmnm 33950	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld)))
61	49, 60	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℝ) = (norm‘(ℤMod‘ℝfld))
62		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld)) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))
63	7	zlmsca 21446	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld)))
64	49, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℝfld))
65		zringbas 21379	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
66		zringnm 33944	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
67	66	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
68	47, 61, 62, 64, 65, 67	isnlm 24580	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℝfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℝ ((abs ↾ ℝ)‘(𝑧( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℝfld))𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · ((abs ↾ ℝ)‘𝑥))))
69	17, 45, 68	mpbir2an 711	1 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033  ℤcz 12490  abscabs 15160  Scalarcsca 17183   ·_𝑠 cvsca 17184  Mndcmnd 18627  ._gcmg 18965  SubGrpcsubg 19018  Abelcabl 19679  Ringcrg 20137  SubRingcsubrg 20473  DivRingcdr 20633  LModclmod 20782  ℂ_fldccnfld 21280  ℤ_ringczring 21372  ℤModczlm 21426  ℝ_fldcrefld 21530  CUnifSpccusp 24201  normcnm 24481  NrmGrpcngp 24482  NrmRingcnrg 24484  NrmModcnlm 24485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-drng 20635  df-abv 20713  df-lmod 20784  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-metu 21279  df-cnfld 21281  df-zring 21373  df-zlm 21430  df-refld 21531  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-cmp 23291  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-flim 23843  df-fcls 23845  df-ust 24105  df-utop 24136  df-uss 24161  df-usp 24162  df-cfilu 24191  df-cusp 24202  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-nm 24487  df-ngp 24488  df-nrg 24490  df-nlm 24491  df-cncf 24788  df-cfil 25172  df-cmet 25174  df-cms 25252

This theorem is referenced by:  rerrext  33995