Theorem nminvr 24711

Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nminvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nminvr.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nminvr	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Proof of Theorem nminvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 24704	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		nminvr.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20401	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		nminvr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
8	3, 7	nmcl 24650	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
9	2, 6, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11318	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
11		nzrring 20542	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		nminvr.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
15	4, 14, 3	ringinvcl 20418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
16	12, 13, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
17	3, 7	nmcl 24650	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 16, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11318	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	7, 4	unitnmn0 24710	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	4, 14, 21, 22	unitrinv 20420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
24	12, 13, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
25	24	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
26		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmRing)
27	3, 7, 21	nmmul 24706	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
28	26, 6, 16, 27	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
29	7, 22	nm1 24709	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
30	29	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))) = 1)
32	10, 19, 20, 31	mvllmuld 12126	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  inv_rcinvr 20413  NzRingcnzr 20538  normcnm 24610  NrmGrpcngp 24611  NrmRingcnrg 24613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-abv 20832  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-xms 24351  df-ms 24352  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619

This theorem is referenced by:  nmdvr  24712