Theorem nminvr 24537

Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nminvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nminvr.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nminvr	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Proof of Theorem nminvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 24530	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		nminvr.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		nminvr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
8	3, 7	nmcl 24476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
9	2, 6, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11243	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
11		nzrring 20416	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		nminvr.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
15	4, 14, 3	ringinvcl 20292	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
16	12, 13, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
17	3, 7	nmcl 24476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 16, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11243	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	7, 4	unitnmn0 24536	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
21		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	4, 14, 21, 22	unitrinv 20294	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
24	12, 13, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
25	24	fveq2d 6888	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
26		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmRing)
27	3, 7, 21	nmmul 24532	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
28	26, 6, 16, 27	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
29	7, 22	nm1 24535	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
30	29	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))) = 1)
32	10, 19, 20, 31	mvllmuld 12047	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  1c1 11110   · cmul 11114   / cdiv 11872  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  Unitcui 20255  inv_rcinvr 20287  NzRingcnzr 20412  normcnm 24436  NrmGrpcngp 24437  NrmRingcnrg 24439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-nzr 20413  df-abv 20658  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-xms 24177  df-ms 24178  df-nm 24442  df-ngp 24443  df-nrg 24445

This theorem is referenced by:  nmdvr  24538