Theorem nminvr 24794

Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nminvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nminvr.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nminvr	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Proof of Theorem nminvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 24787	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		nminvr.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 20456	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		nminvr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
8	3, 7	nmcl 24741	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
9	2, 6, 8	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11236	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
11		nzrring 20598	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		nminvr.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
15	4, 14, 3	ringinvcl 20473	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
16	12, 13, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
17	3, 7	nmcl 24741	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 16, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11236	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	7, 4	unitnmn0 24793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
21		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	4, 14, 21, 22	unitrinv 20475	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
24	12, 13, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
25	24	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
26		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmRing)
27	3, 7, 21	nmmul 24789	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
28	26, 6, 16, 27	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
29	7, 22	nm1 24792	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
30	29	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))) = 1)
32	10, 19, 20, 31	mvllmuld 12046	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  1c1 11100   · cmul 11104   / cdiv 11870  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  Unitcui 20436  inv_rcinvr 20468  NzRingcnzr 20594  normcnm 24701  NrmGrpcngp 24702  NrmRingcnrg 24704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13377  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-topgen 17495  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-nzr 20595  df-abv 20889  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-xms 24445  df-ms 24446  df-nm 24707  df-ngp 24708  df-nrg 24710

This theorem is referenced by:  nmdvr  24795