Theorem nrginvrcnlem 22903

Description: Lemma for nrginvrcn 22904. Compare this proof with reccn2 14735, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nrginvrcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
nrginvrcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
nrginvrcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t	⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcnlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrginvrcn.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2))
2		1rp 12141	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		nrginvrcn.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
4		nrgngp 22874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmGrp)
6		nrginvrcn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
7		nrginvrcn.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	6, 7	unitss 19047	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
9		nrginvrcn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sseldi 3819	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
11		nrginvrcn.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	7, 12	nzrunit 19664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
14	11, 9, 13	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
15		nrginvrcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
16	6, 15, 12	nmrpcl 22832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)
17	5, 10, 14, 16	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)
18		nrginvrcn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
19	17, 18	rpmulcld 12197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
20		ifcl 4351	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
21	2, 19, 20	sylancr 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
22	17	rphalfcld 12193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
23	21, 22	rpmulcld 12197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
24	1, 23	syl5eqel 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
25	5	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
26	9	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
27	6, 7	unitcl 19046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝑋)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	6, 15	nmcl 22828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
30	25, 28, 29	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
31	30	recnd 10405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
32		simprl 761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
33	8, 32	sseldi 3819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34	6, 15	nmcl 22828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
35	25, 33, 34	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
36	35	recnd 10405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℂ)
37		ngpgrp 22811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
38	25, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Grp)
39		nrgring 22875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
40	3, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Ring)
42		nrginvrcn.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
43	7, 42, 6	ringinvcl 19063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
44	41, 26, 43	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
45	7, 42, 6	ringinvcl 19063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
46	41, 32, 45	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
47		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
48	6, 47	grpsubcl 17882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
49	38, 44, 46, 48	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
50	6, 15	nmcl 22828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ ℝ)
51	25, 49, 50	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ ℝ)
52	51	recnd 10405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ ℂ)
53	31, 36, 52	mul32d 10586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
54	3	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
55		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	6, 15, 55	nmmul 22876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
57	54, 28, 49, 56	syl3anc 1439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
58	6, 55, 47, 41, 28, 44, 46	ringsubdi 18986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) = ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
59		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
60	7, 42, 55, 59	unitrinv 19065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
61	41, 26, 60	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
62	61	oveq1d 6937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
63	58, 62	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
64	63	fveq2d 6450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
65	57, 64	eqtr3d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
66	65	oveq1d 6937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)) = ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
67	6, 59	ringidcl 18955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑋)
68	41, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑋)
69	6, 55	ringcl 18948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
70	41, 28, 46, 69	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
71	6, 47	grpsubcl 17882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ 𝑋)
72	38, 68, 70, 71	syl3anc 1439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ 𝑋)
73	6, 15, 55	nmmul 22876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
74	54, 72, 33, 73	syl3anc 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
75	6, 55, 47, 41, 68, 70, 33	rngsubdir 18987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦)(-g‘𝑅)((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦)))
76	6, 55, 59	ringlidm 18958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
77	41, 33, 76	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
78	6, 55	ringass 18951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦)))
79	41, 28, 46, 33, 78	syl13anc 1440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦)))
80	7, 42, 55, 59	unitlinv 19064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
81	41, 32, 80	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
82	81	oveq2d 6938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐴(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
83	6, 55, 59	ringridm 18959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐴)
84	41, 28, 83	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐴)
85	79, 82, 84	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦) = 𝐴)
86	77, 85	oveq12d 6940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦)(-g‘𝑅)((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝑦(-g‘𝑅)𝐴))
87	75, 86	eqtrd 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(-g‘𝑅)𝐴))
88	87	fveq2d 6450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
89	74, 88	eqtr3d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
90	53, 66, 89	3eqtrd 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
91	6, 47	grpsubcl 17882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦(-g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
92	38, 33, 28, 91	syl3anc 1439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑦(-g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
93	6, 15	nmcl 22828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
94	25, 92, 93	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
95	94	recnd 10405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) ∈ ℂ)
96	17	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)
97	11	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NzRing)
98	7, 12	nzrunit 19664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))
99	97, 32, 98	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))
100	6, 15, 12	nmrpcl 22832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ+)
101	25, 33, 99, 100	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ+)
102	96, 101	rpmulcld 12197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ+)
103	102	rpred 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
104	103	recnd 10405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℂ)
105	102	rpne0d 12186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ≠ 0)
106	95, 104, 52, 105	divmuld 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ↔ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴))))
107	90, 106	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
108		nrginvrcn.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
109	15, 6, 47, 108	ngpdsr 22817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
110	25, 28, 33, 109	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
111	110	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) = ((𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))))
112	15, 6, 47, 108	ngpds 22816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
113	25, 44, 46, 112	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
114	107, 111, 113	3eqtr4rd 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))))
115	110, 94	eqeltrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
116	24	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
117	116	rpred 12181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
118	18	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
119	118	rpred 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
120	103, 119	remulcld 10407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵) ∈ ℝ)
121		simprr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
122	19	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
123	96	rphalfcld 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
124	122, 123	rpmulcld 12197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
125	124	rpred 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
126		1re 10376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
127	122	rpred 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
128		min2 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵))
129	126, 127, 128	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵))
130	21	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
131	130	rpred 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132	131, 127, 123	lemul1d 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2))))
133	129, 132	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
134	1, 133	syl5eqbr 4921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
135	123	rpred 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
136	31	2halvesd 11628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) / 2) + ((𝑁‘𝐴) / 2)) = (𝑁‘𝐴))
137	30, 35	resubcld 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
138	6, 15, 47	nm2dif 22837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
139	25, 28, 33, 138	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
140	15, 6, 47, 108	ngpds 22816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
141	25, 28, 33, 140	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
142	139, 141	breqtrrd 4914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝐴𝐷𝑦))
143		min1 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
144	126, 127, 143	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
145		1red 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
146	131, 145, 123	lemul1d 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2))))
147	144, 146	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
148	1, 147	syl5eqbr 4921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
149	135	recnd 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
150	149	mulid2d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2)) = ((𝑁‘𝐴) / 2))
151	148, 150	breqtrd 4912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((𝑁‘𝐴) / 2))
152	115, 117, 135, 121, 151	ltletrd 10536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < ((𝑁‘𝐴) / 2))
153	137, 115, 135, 142, 152	lelttrd 10534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) < ((𝑁‘𝐴) / 2))
154	30, 35, 135	ltsubadd2d 10973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) < ((𝑁‘𝐴) / 2) ↔ (𝑁‘𝐴) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2))))
155	153, 154	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2)))
156	136, 155	eqbrtrd 4908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) / 2) + ((𝑁‘𝐴) / 2)) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2)))
157	135, 35, 135	ltadd1d 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) / 2) < (𝑁‘𝑦) ↔ (((𝑁‘𝐴) / 2) + ((𝑁‘𝐴) / 2)) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2))))
158	156, 157	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) < (𝑁‘𝑦))
159	135, 35, 122, 158	ltmul2dd 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) < (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · (𝑁‘𝑦)))
160	119	recnd 10405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
161	31, 36, 160	mul32d 10586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵) = (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · (𝑁‘𝑦)))
162	159, 161	breqtrrd 4914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵))
163	117, 125, 120, 134, 162	lelttrd 10534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵))
164	115, 117, 120, 121, 163	lttrd 10537	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵))
165	115, 119, 102	ltdivmuld 12232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) < 𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵)))
166	164, 165	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) < 𝐵)
167	114, 166	eqbrtrd 4908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵)
168	167	expr 450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))
169	168	ralrimiva 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))
170		breq2 4890	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑇 → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171	170	rspceaimv 3519	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))
172	24, 169, 171	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  ifcif 4307   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  ℝ⁺crp 12137  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339  distcds 16347  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809  -_gcsg 17811  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  Unitcui 19026  inv_rcinvr 19058  NzRingcnzr 19654  normcnm 22789  NrmGrpcngp 22790  NrmRingcnrg 22792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-0g 16488  df-topgen 16490  df-xrs 16548  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-abv 19209  df-nzr 19655  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798

This theorem is referenced by:  nrginvrcn  22904