Theorem nrginvrcnlem 24731

Description: Lemma for nrginvrcn 24732. Compare this proof with reccn2 15607, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
nrginvrcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nrginvrcn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
nrginvrcn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
nrginvrcn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t	⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcnlem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrginvrcn.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2))
2		1rp 12994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		nrginvrcn.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
4		nrgngp 24702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmGrp)
6		nrginvrcn.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
7		nrginvrcn.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	6, 7	unitss 20404	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝑋
9		nrginvrcn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
11		nrginvrcn.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	7, 12	nzrunit 20553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
14	11, 9, 13	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
15		nrginvrcn.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
16	6, 15, 12	nmrpcl 24660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)
17	5, 10, 14, 16	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)
18		nrginvrcn.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
19	17, 18	rpmulcld 13050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
20		ifcl 4525	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
21	2, 19, 20	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
22	17	rphalfcld 13046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
23	21, 22	rpmulcld 13050	. . 3 ⊢ (𝜑 → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
24	1, 23	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
25	5	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
26	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
27	6, 7	unitcl 20403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝑋)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	6, 15	nmcl 24656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
30	25, 28, 29	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
32		simprl 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
33	8, 32	sselid 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
34	6, 15	nmcl 24656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
35	25, 33, 34	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℂ)
37		ngpgrp 24639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
38	25, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Grp)
39		nrgring 24703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
40	3, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Ring)
42		nrginvrcn.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
43	7, 42, 6	ringinvcl 20420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
44	41, 26, 43	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
45	7, 42, 6	ringinvcl 20420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
46	41, 32, 45	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋)
47		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
48	6, 47	grpsubcl 19045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
49	38, 44, 46, 48	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
50	6, 15	nmcl 24656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ ℝ)
51	25, 49, 50	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ ℝ)
52	51	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ ℂ)
53	31, 36, 52	mul32d 11390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
54	3	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
55		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	6, 15, 55	nmmul 24704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
57	54, 28, 49, 56	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
58	6, 55, 47, 41, 28, 44, 46	ringsubdi 20336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) = ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
59		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
60	7, 42, 55, 59	unitrinv 20422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
61	41, 26, 60	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
62	61	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
63	58, 62	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) = ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
64	63	fveq2d 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
65	57, 64	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))))
66	65	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)) = ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
67	6, 59	ringidcl 20294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑋)
68	41, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑋)
69	6, 55	ringcl 20279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
70	41, 28, 46, 69	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋)
71	6, 47	grpsubcl 19045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)) ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ 𝑋)
72	38, 68, 70, 71	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ 𝑋)
73	6, 15, 55	nmmul 24704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
74	54, 72, 33, 73	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)))
75	6, 55, 47, 41, 68, 70, 33	ringsubdir 20337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦)(-g‘𝑅)((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦)))
76	6, 55, 59	ringlidm 20298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
77	41, 33, 76	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑦)
78	6, 55	ringass 20282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦)))
79	41, 28, 46, 33, 78	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦)))
80	7, 42, 55, 59	unitlinv 20421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
81	41, 32, 80	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦) = (1r‘𝑅))
82	81	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝐼‘𝑦)(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐴(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
83	6, 55, 59	ringridm 20299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐴)
84	41, 28, 83	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐴)
85	79, 82, 84	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦) = 𝐴)
86	77, 85	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦)(-g‘𝑅)((𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦))(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝑦(-g‘𝑅)𝐴))
87	75, 86	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(-g‘𝑅)𝐴))
88	87	fveq2d 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
89	74, 88	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) · (𝑁‘𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
90	53, 66, 89	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
91	6, 47	grpsubcl 19045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑦(-g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
92	38, 33, 28, 91	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑦(-g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
93	6, 15	nmcl 24656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
94	25, 92, 93	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) ∈ ℂ)
96	17	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)
97	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NzRing)
98	7, 12	nzrunit 20553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))
99	97, 32, 98	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))
100	6, 15, 12	nmrpcl 24660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ+)
101	25, 33, 99, 100	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝑦) ∈ ℝ+)
102	96, 101	rpmulcld 13050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ+)
103	102	rpred 13034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
104	103	recnd 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ∈ ℂ)
105	102	rpne0d 13039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) ≠ 0)
106	95, 104, 52, 105	divmuld 11986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))) ↔ (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴))))
107	90, 106	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
108		nrginvrcn.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑅)
109	15, 6, 47, 108	ngpdsr 24645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
110	25, 28, 33, 109	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)))
111	110	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) = ((𝑁‘(𝑦(-g‘𝑅)𝐴)) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))))
112	15, 6, 47, 108	ngpds 24644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
113	25, 44, 46, 112	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) = (𝑁‘((𝐼‘𝐴)(-g‘𝑅)(𝐼‘𝑦))))
114	107, 111, 113	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))))
115	110, 94	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
116	24	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
117	116	rpred 13034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
118	18	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
119	118	rpred 13034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
120	103, 119	remulcld 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵) ∈ ℝ)
121		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
122	19	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
123	96	rphalfcld 13046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
124	122, 123	rpmulcld 13050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
125	124	rpred 13034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
126		1re 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
127	122	rpred 13034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
128		min2 13190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵))
129	126, 127, 128	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵))
130	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
131	130	rpred 13034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132	131, 127, 123	lemul1d 13077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2))))
133	129, 132	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
134	1, 133	eqbrtrid 5134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
135	123	rpred 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
136	31	2halvesd 12464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) / 2) + ((𝑁‘𝐴) / 2)) = (𝑁‘𝐴))
137	30, 35	resubcld 11612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ∈ ℝ)
138	6, 15, 47	nm2dif 24665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
139	25, 28, 33, 138	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
140	15, 6, 47, 108	ngpds 24644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
141	25, 28, 33, 140	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑅)𝑦)))
142	139, 141	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) ≤ (𝐴𝐷𝑦))
143		min1 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
144	126, 127, 143	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
145		1red 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
146	131, 145, 123	lemul1d 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2))))
147	144, 146	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁‘𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁‘𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
148	1, 147	eqbrtrid 5134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2)))
149	135	recnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
150	149	mullidd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1 · ((𝑁‘𝐴) / 2)) = ((𝑁‘𝐴) / 2))
151	148, 150	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((𝑁‘𝐴) / 2))
152	115, 117, 135, 121, 151	ltletrd 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < ((𝑁‘𝐴) / 2))
153	137, 115, 135, 142, 152	lelttrd 11338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) < ((𝑁‘𝐴) / 2))
154	30, 35, 135	ltsubadd2d 11782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝑦)) < ((𝑁‘𝐴) / 2) ↔ (𝑁‘𝐴) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2))))
155	153, 154	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘𝐴) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2)))
156	136, 155	eqbrtrd 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) / 2) + ((𝑁‘𝐴) / 2)) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2)))
157	135, 35, 135	ltadd1d 11777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) / 2) < (𝑁‘𝑦) ↔ (((𝑁‘𝐴) / 2) + ((𝑁‘𝐴) / 2)) < ((𝑁‘𝑦) + ((𝑁‘𝐴) / 2))))
158	156, 157	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘𝐴) / 2) < (𝑁‘𝑦))
159	135, 35, 122, 158	ltmul2dd 13090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) < (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · (𝑁‘𝑦)))
160	119	recnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
161	31, 36, 160	mul32d 11390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵) = (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · (𝑁‘𝑦)))
162	159, 161	breqtrrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘𝐴) · 𝐵) · ((𝑁‘𝐴) / 2)) < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵))
163	117, 125, 120, 134, 162	lelttrd 11338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵))
164	115, 117, 120, 121, 163	lttrd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵))
165	115, 119, 102	ltdivmuld 13085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) < 𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦)) · 𝐵)))
166	164, 165	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝑦))) < 𝐵)
167	114, 166	eqbrtrd 5121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵)
168	167	expr 460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))
169	168	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))
170		breq2 5103	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑇 → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171	170	rspceaimv 3587	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))
172	24, 169, 171	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝑦)) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ifcif 4479   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12269  ℝ⁺crp 12990  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  distcds 17278  0_gc0g 17451  Grpcgrp 18958  -_gcsg 18960  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  Unitcui 20383  inv_rcinvr 20415  NzRingcnzr 20541  normcnm 24616  NrmGrpcngp 24617  NrmRingcnrg 24619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-xrs 17515  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-nzr 20542  df-abv 20838  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-xms 24360  df-ms 24361  df-nm 24622  df-ngp 24623  df-nrg 24625

This theorem is referenced by:  nrginvrcn  24732