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Theorem nrginvrcnlem 24582
Description: Lemma for nrginvrcn 24583. Compare this proof with reccn2 15559, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nrginvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
nrginvrcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nrginvrcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
nrginvrcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
nrginvrcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t 𝑇 = (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐼   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))
2 1rp 12996 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
4 nrgngp 24553 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
86, 7unitss 20297 . . . . . . . 8 π‘ˆ βŠ† 𝑋
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
108, 9sselid 3976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
12 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
137, 12nzrunit 20443 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…))
1411, 9, 13syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…))
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
166, 15, 12nmrpcl 24503 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ+)
175, 10, 14, 16syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ+)
18 nrginvrcn.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 13050 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
20 ifcl 4569 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
212, 19, 20sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
2217rphalfcld 13046 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22rpmulcld 13050 . . 3 (πœ‘ β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ∈ ℝ+)
241, 23eqeltrid 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
255adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
269adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
276, 7unitcl 20296 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
296, 15nmcl 24499 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
3025, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
3130recnd 11258 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
32 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
338, 32sselid 3976 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
346, 15nmcl 24499 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3525, 33, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3635recnd 11258 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
37 ngpgrp 24482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
39 nrgring 24554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
437, 42, 6ringinvcl 20313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋)
4441, 26, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋)
457, 42, 6ringinvcl 20313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
4641, 32, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
47 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
486, 47grpsubcl 18960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
506, 15nmcl 24499 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
5251recnd 11258 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
5331, 36, 52mul32d 11440 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
543adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
55 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
566, 15, 55nmmul 24555 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
5754, 28, 49, 56syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 20225 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) = ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄))(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
59 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
607, 42, 55, 59unitrinv 20315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
6141, 26, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
6261oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄))(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) = ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
6358, 62eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) = ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
6463fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
6557, 64eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
6665oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
676, 59ringidcl 20184 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑋)
6841, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑋)
696, 55ringcl 20174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
7041, 28, 46, 69syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
716, 47grpsubcl 18960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ 𝑋)
7238, 68, 70, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ 𝑋)
736, 15, 55nmmul 24555 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
7454, 72, 33, 73syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33ringsubdir 20226 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦)(-gβ€˜π‘…)((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
766, 55, 59ringlidm 20187 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
7741, 33, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
786, 55ringass 20177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
807, 42, 55, 59unitlinv 20314 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
8141, 32, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
8281oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
836, 55, 59ringridm 20188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = 𝐴)
8441, 28, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = 𝐴)
8579, 82, 843eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝐴)
8677, 85oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦)(-gβ€˜π‘…)((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴))
8775, 86eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴))
8887fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
8974, 88eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
9053, 66, 893eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
916, 47grpsubcl 18960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴) ∈ 𝑋)
9238, 33, 28, 91syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴) ∈ 𝑋)
936, 15nmcl 24499 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) ∈ ℝ)
9425, 92, 93syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) ∈ ℝ)
9594recnd 11258 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) ∈ β„‚)
9617adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ+)
9711adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
987, 12nzrunit 20443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))
9997, 32, 98syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))
1006, 15, 12nmrpcl 24503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
10125, 33, 99, 100syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
10296, 101rpmulcld 13050 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
103102rpred 13034 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
104103recnd 11258 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
105102rpne0d 13039 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) β‰  0)
10695, 104, 52, 105divmuld 12028 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ↔ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴))))
10790, 106mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 24488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
11025, 28, 33, 109syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
111110oveq1d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) = ((π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))))
11215, 6, 47, 108ngpds 24487 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
11325, 44, 46, 112syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
114107, 111, 1133eqtr4rd 2778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))))
115110, 94eqeltrd 2828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
11624adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
117116rpred 13034 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
11818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
119118rpred 13034 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
120103, 119remulcld 11260 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡) ∈ ℝ)
121 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
12219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
12396rphalfcld 13046 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ ℝ+)
124122, 123rpmulcld 13050 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ∈ ℝ+)
125124rpred 13034 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ∈ ℝ)
126 1re 11230 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127122rpred 13034 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ)
128 min2 13187 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡))
129126, 127, 128sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡))
13021adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
131130rpred 13034 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ)
132131, 127, 123lemul1d 13077 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ↔ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))))
133129, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
1341, 133eqbrtrid 5177 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
135123rpred 13034 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ ℝ)
136312halvesd 12474 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) / 2) + ((π‘β€˜π΄) / 2)) = (π‘β€˜π΄))
13730, 35resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
1386, 15, 47nm2dif 24508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
13925, 28, 33, 138syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
14015, 6, 47, 108ngpds 24487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
14125, 28, 33, 140syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
142139, 141breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (𝐴𝐷𝑦))
143 min1 13186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ 1)
144126, 127, 143sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ 1)
145 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 1 ∈ ℝ)
146131, 145, 123lemul1d 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ 1 ↔ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))))
147144, 146mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
1481, 147eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ≀ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
149135recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ β„‚)
150149mullidd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) = ((π‘β€˜π΄) / 2))
151148, 150breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ≀ ((π‘β€˜π΄) / 2))
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) < ((π‘β€˜π΄) / 2))
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 11388 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) < ((π‘β€˜π΄) / 2))
15430, 35, 135ltsubadd2d 11828 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) < ((π‘β€˜π΄) / 2) ↔ (π‘β€˜π΄) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2))))
155153, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2)))
156136, 155eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) / 2) + ((π‘β€˜π΄) / 2)) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2)))
157135, 35, 135ltadd1d 11823 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) / 2) < (π‘β€˜π‘¦) ↔ (((π‘β€˜π΄) / 2) + ((π‘β€˜π΄) / 2)) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2))))
158156, 157mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) < (π‘β€˜π‘¦))
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 13090 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) < (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
160119recnd 11258 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
16131, 36, 160mul32d 11440 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡) = (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
162159, 161breqtrrd 5170 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡))
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 11388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡))
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 11391 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡))
165115, 119, 102ltdivmuld 13085 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) < 𝐡 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡)))
166164, 165mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) < 𝐡)
167114, 166eqbrtrd 5164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡)
168167expr 456 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
169168ralrimiva 3141 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
170 breq2 5146 . . 3 (π‘₯ = 𝑇 β†’ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171170rspceaimv 3613 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
17224, 169, 171syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  ifcif 4524   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  2c2 12283  β„+crp 12992  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  distcds 17227  0gc0g 17406  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877  1rcur 20105  Ringcrg 20157  Unitcui 20276  invrcinvr 20308  NzRingcnzr 20433  normcnm 24459  NrmGrpcngp 24460  NrmRingcnrg 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17408  df-topgen 17410  df-xrs 17469  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-nzr 20434  df-abv 20679  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-xms 24200  df-ms 24201  df-nm 24465  df-ngp 24466  df-nrg 24468
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  24583
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