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Theorem nrginvrcnlem 24078
Description: Lemma for nrginvrcn 24079. Compare this proof with reccn2 15488, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
nrginvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
nrginvrcn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
nrginvrcn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
nrginvrcn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
nrginvrcn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t 𝑇 = (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐼   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))
2 1rp 12927 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
4 nrgngp 24049 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
86, 7unitss 20097 . . . . . . . 8 π‘ˆ βŠ† 𝑋
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
108, 9sselid 3946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
137, 12nzrunit 20205 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…))
1411, 9, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…))
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘…)
166, 15, 12nmrpcl 23999 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ+)
175, 10, 14, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ+)
18 nrginvrcn.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 12981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
20 ifcl 4535 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ+) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
212, 19, 20sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
2217rphalfcld 12977 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22rpmulcld 12981 . . 3 (πœ‘ β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ∈ ℝ+)
241, 23eqeltrid 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
255adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ NrmGrp)
269adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
276, 7unitcl 20096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
296, 15nmcl 23995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
3025, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
3130recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
32 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
338, 32sselid 3946 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
346, 15nmcl 23995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3525, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3635recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
37 ngpgrp 23978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NrmGrp β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
39 nrgring 24050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
437, 42, 6ringinvcl 20113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋)
4441, 26, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋)
457, 42, 6ringinvcl 20113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
4641, 32, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
486, 47grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
506, 15nmcl 23995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ ℝ)
5251recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ β„‚)
5331, 36, 52mul32d 11373 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
543adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ NrmRing)
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
566, 15, 55nmmul 24051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
5754, 28, 49, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 20031 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) = ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄))(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
607, 42, 55, 59unitrinv 20115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
6141, 26, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
6261oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π΄))(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) = ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
6358, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) = ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
6463fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
6557, 64eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))))
6665oveq1d 7376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
676, 59ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑋)
6841, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑋)
696, 55ringcl 19989 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
7041, 28, 46, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋)
716, 47grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)) ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ 𝑋)
7238, 68, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ 𝑋)
736, 15, 55nmmul 24051 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
7454, 72, 33, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33ringsubdir 20032 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦)(-gβ€˜π‘…)((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
766, 55, 59ringlidm 20000 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
7741, 33, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝑦)
786, 55ringass 19992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦)))
807, 42, 55, 59unitlinv 20114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
8141, 32, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (1rβ€˜π‘…))
8281oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)((πΌβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (𝐴(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
836, 55, 59ringridm 20001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = 𝐴)
8441, 28, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = 𝐴)
8579, 82, 843eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = 𝐴)
8677, 85oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑦)(-gβ€˜π‘…)((𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴))
8775, 86eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴))
8887fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))(.rβ€˜π‘…)𝑦)) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
8974, 88eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜((1rβ€˜π‘…)(-gβ€˜π‘…)(𝐴(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) Β· (π‘β€˜π‘¦)) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
9053, 66, 893eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
916, 47grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴) ∈ 𝑋)
9238, 33, 28, 91syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴) ∈ 𝑋)
936, 15nmcl 23995 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) ∈ ℝ)
9425, 92, 93syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) ∈ ℝ)
9594recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) ∈ β„‚)
9617adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ+)
9711adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
987, 12nzrunit 20205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))
9997, 32, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))
1006, 15, 12nmrpcl 23999 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
10125, 33, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
10296, 101rpmulcld 12981 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
103102rpred 12965 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
104103recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
105102rpne0d 12970 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) β‰  0)
10695, 104, 52, 105divmuld 11961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))) ↔ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦)))) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴))))
10790, 106mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜π‘…)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 23984 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
11025, 28, 33, 109syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)))
111110oveq1d 7376 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) = ((π‘β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘…)𝐴)) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))))
11215, 6, 47, 108ngpds 23983 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (πΌβ€˜π΄) ∈ 𝑋 ∧ (πΌβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
11325, 44, 46, 112syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) = (π‘β€˜((πΌβ€˜π΄)(-gβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘¦))))
114107, 111, 1133eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))))
115110, 94eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
11624adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
117116rpred 12965 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
11818adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
119118rpred 12965 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
120103, 119remulcld 11193 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡) ∈ ℝ)
121 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
12219adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ+)
12396rphalfcld 12977 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ ℝ+)
124122, 123rpmulcld 12981 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ∈ ℝ+)
125124rpred 12965 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ∈ ℝ)
126 1re 11163 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127122rpred 12965 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ)
128 min2 13118 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡))
129126, 127, 128sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡))
13021adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
131130rpred 12965 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ∈ ℝ)
132131, 127, 123lemul1d 13008 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ↔ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))))
133129, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
1341, 133eqbrtrid 5144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ≀ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
135123rpred 12965 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ ℝ)
136312halvesd 12407 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) / 2) + ((π‘β€˜π΄) / 2)) = (π‘β€˜π΄))
13730, 35resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
1386, 15, 47nm2dif 24004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
13925, 28, 33, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
14015, 6, 47, 108ngpds 23983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
14125, 28, 33, 140syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘…)𝑦)))
142139, 141breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (𝐴𝐷𝑦))
143 min1 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) ∈ ℝ) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ 1)
144126, 127, 143sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ 1)
145 1red 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 1 ∈ ℝ)
146131, 145, 123lemul1d 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) ≀ 1 ↔ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2))))
147144, 146mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (if(1 ≀ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡), 1, ((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡)) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) ≀ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
1481, 147eqbrtrid 5144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ≀ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)))
149135recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) ∈ β„‚)
150149mulid2d 11181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (1 Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) = ((π‘β€˜π΄) / 2))
151148, 150breqtrd 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 ≀ ((π‘β€˜π΄) / 2))
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 11323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) < ((π‘β€˜π΄) / 2))
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 11321 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) < ((π‘β€˜π΄) / 2))
15430, 35, 135ltsubadd2d 11761 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) βˆ’ (π‘β€˜π‘¦)) < ((π‘β€˜π΄) / 2) ↔ (π‘β€˜π΄) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2))))
155153, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (π‘β€˜π΄) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2)))
156136, 155eqbrtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) / 2) + ((π‘β€˜π΄) / 2)) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2)))
157135, 35, 135ltadd1d 11756 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) / 2) < (π‘β€˜π‘¦) ↔ (((π‘β€˜π΄) / 2) + ((π‘β€˜π΄) / 2)) < ((π‘β€˜π‘¦) + ((π‘β€˜π΄) / 2))))
158156, 157mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜π΄) / 2) < (π‘β€˜π‘¦))
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 13021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) < (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
160119recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
16131, 36, 160mul32d 11373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡) = (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
162159, 161breqtrrd 5137 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝐡) Β· ((π‘β€˜π΄) / 2)) < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡))
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 11321 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ 𝑇 < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡))
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 11324 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (𝐴𝐷𝑦) < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡))
165115, 119, 102ltdivmuld 13016 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ (((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) < 𝐡 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦)) Β· 𝐡)))
166164, 165mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦) / ((π‘β€˜π΄) Β· (π‘β€˜π‘¦))) < 𝐡)
167114, 166eqbrtrd 5131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡)
168167expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
169168ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
170 breq2 5113 . . 3 (π‘₯ = 𝑇 β†’ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171170rspceaimv 3587 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
17224, 169, 171syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ ((𝐴𝐷𝑦) < π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜π΄)𝐷(πΌβ€˜π‘¦)) < 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4490   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  distcds 17150  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  1rcur 19921  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  invrcinvr 20108  NzRingcnzr 20195  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmRingcnrg 23958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-xrs 17392  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-nzr 20196  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-nrg 23964
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  24079
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