MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcnlem 23295
Description: Lemma for nrginvrcn 23296. Compare this proof with reccn2 14951, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nrginvrcn.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
nrginvrcn.r (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a (𝜑𝐴𝑈)
nrginvrcn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
2 1rp 12388 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
4 nrgngp 23266 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝑅)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑅)
86, 7unitss 19408 . . . . . . . 8 𝑈𝑋
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sseldi 3951 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
12 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
137, 12nzrunit 20035 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
1411, 9, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑅)
166, 15, 12nmrpcl 23224 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
175, 10, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
18 nrginvrcn.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 12442 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
20 ifcl 4494 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
212, 19, 20sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
2217rphalfcld 12438 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22rpmulcld 12442 . . 3 (𝜑 → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
241, 23eqeltrid 2920 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
255adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
269adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑈)
276, 7unitcl 19407 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈𝐴𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑋)
296, 15nmcl 23220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3025, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3130recnd 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
32 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑈)
338, 32sseldi 3951 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑋)
346, 15nmcl 23220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3525, 33, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3635recnd 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
37 ngpgrp 23203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Grp)
39 nrgring 23267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Ring)
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
437, 42, 6ringinvcl 19424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
4441, 26, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
457, 42, 6ringinvcl 19424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
4641, 32, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
47 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (-g𝑅) = (-g𝑅)
486, 47grpsubcl 18177 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
506, 15nmcl 23220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5251recnd 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℂ)
5331, 36, 52mul32d 10844 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
543adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
55 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
566, 15, 55nmmul 23268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
5754, 28, 49, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 19347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
59 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
607, 42, 55, 59unitrinv 19426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6141, 26, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6261oveq1d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6358, 62eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6463fveq2d 6663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6557, 64eqtr3d 2861 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6665oveq1d 7161 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
676, 59ringidcl 19316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
6841, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
696, 55ringcl 19309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
7041, 28, 46, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
716, 47grpsubcl 18177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
7238, 68, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
736, 15, 55nmmul 23268 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
7454, 72, 33, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 19348 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)))
766, 55, 59ringlidm 19319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
7741, 33, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
786, 55ringass 19312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
807, 42, 55, 59unitlinv 19425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8141, 32, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8281oveq2d 7162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)) = (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)))
836, 55, 59ringridm 19320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8441, 28, 83syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8579, 82, 843eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = 𝐴)
8677, 85oveq12d 7164 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8775, 86eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8887fveq2d 6663 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
8974, 88eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
9053, 66, 893eqtrd 2863 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
916, 47grpsubcl 18177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐴𝑋) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
9238, 33, 28, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
936, 15nmcl 23220 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9425, 92, 93syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9594recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℂ)
9617adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
9711adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NzRing)
987, 12nzrunit 20035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
9997, 32, 98syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
1006, 15, 12nmrpcl 23224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10125, 33, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10296, 101rpmulcld 12442 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ+)
103102rpred 12426 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
104103recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℂ)
105102rpne0d 12431 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ≠ 0)
10695, 104, 52, 105divmuld 11432 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ↔ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴))))
10790, 106mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑅)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 23209 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
11025, 28, 33, 109syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
111110oveq1d 7161 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
11215, 6, 47, 108ngpds 23208 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
11325, 44, 46, 112syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
114107, 111, 1133eqtr4rd 2870 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
115110, 94eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
11624adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
117116rpred 12426 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
11818adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
119118rpred 12426 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
120103, 119remulcld 10665 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) ∈ ℝ)
121 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
12219adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
12396rphalfcld 12438 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
124122, 123rpmulcld 12442 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
125124rpred 12426 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
126 1re 10635 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127122rpred 12426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
128 min2 12578 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
129126, 127, 128sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
13021adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
131130rpred 12426 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132131, 127, 123lemul1d 12469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2))))
133129, 132mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
1341, 133eqbrtrid 5088 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
135123rpred 12426 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ)
136312halvesd 11878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) = (𝑁𝐴))
13730, 35resubcld 11062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1386, 15, 47nm2dif 23229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
13925, 28, 33, 138syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14015, 6, 47, 108ngpds 23208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14125, 28, 33, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
142139, 141breqtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝐴𝐷𝑦))
143 min1 12577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
144126, 127, 143sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
145 1red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
146131, 145, 123lemul1d 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2))))
147144, 146mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
1481, 147eqbrtrid 5088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
149135recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℂ)
150149mulid2d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1 · ((𝑁𝐴) / 2)) = ((𝑁𝐴) / 2))
151148, 150breqtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((𝑁𝐴) / 2))
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 10794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < ((𝑁𝐴) / 2))
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 10792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2))
15430, 35, 135ltsubadd2d 11232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2) ↔ (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
155153, 154mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
156136, 155eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
157135, 35, 135ltadd1d 11227 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦) ↔ (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
158156, 157mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦))
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 12482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
160119recnd 10663 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16131, 36, 160mul32d 10844 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) = (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
162159, 161breqtrrd 5081 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 10792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 10795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
165115, 119, 102ltdivmuld 12477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵)))
166164, 165mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵)
167114, 166eqbrtrd 5075 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)
168167expr 460 . . 3 ((𝜑𝑦𝑈) → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
169168ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
170 breq2 5057 . . 3 (𝑥 = 𝑇 → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171170rspceaimv 3614 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
17224, 169, 171syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  ifcif 4450   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  cr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11687  +crp 12384  Basecbs 16481  .rcmulr 16564  distcds 16572  0gc0g 16711  Grpcgrp 18101  -gcsg 18103  1rcur 19249  Ringcrg 19295  Unitcui 19387  invrcinvr 19419  NzRingcnzr 20025  normcnm 23181  NrmGrpcngp 23182  NrmRingcnrg 23184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-0g 16713  df-topgen 16715  df-xrs 16773  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-abv 19583  df-nzr 20026  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926  df-nm 23187  df-ngp 23188  df-nrg 23190
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  23296
  Copyright terms: Public domain W3C validator