MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcnlem 24652
Description: Lemma for nrginvrcn 24653. Compare this proof with reccn2 15577, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nrginvrcn.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
nrginvrcn.r (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a (𝜑𝐴𝑈)
nrginvrcn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
2 1rp 13013 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
4 nrgngp 24623 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝑅)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑅)
86, 7unitss 20327 . . . . . . . 8 𝑈𝑋
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sselid 3974 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
12 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
137, 12nzrunit 20473 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
1411, 9, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑅)
166, 15, 12nmrpcl 24573 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
175, 10, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
18 nrginvrcn.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 13067 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
20 ifcl 4575 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
212, 19, 20sylancr 585 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
2217rphalfcld 13063 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22rpmulcld 13067 . . 3 (𝜑 → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
241, 23eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
255adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
269adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑈)
276, 7unitcl 20326 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈𝐴𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑋)
296, 15nmcl 24569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3025, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3130recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
32 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑈)
338, 32sselid 3974 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑋)
346, 15nmcl 24569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3525, 33, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3635recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
37 ngpgrp 24552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Grp)
39 nrgring 24624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Ring)
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
437, 42, 6ringinvcl 20343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
4441, 26, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
457, 42, 6ringinvcl 20343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
4641, 32, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
47 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (-g𝑅) = (-g𝑅)
486, 47grpsubcl 18984 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
506, 15nmcl 24569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5251recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℂ)
5331, 36, 52mul32d 11456 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
543adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
55 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
566, 15, 55nmmul 24625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
5754, 28, 49, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 20255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
59 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
607, 42, 55, 59unitrinv 20345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6141, 26, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6261oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6358, 62eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6463fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6557, 64eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6665oveq1d 7434 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
676, 59ringidcl 20214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
6841, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
696, 55ringcl 20202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
7041, 28, 46, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
716, 47grpsubcl 18984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
7238, 68, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
736, 15, 55nmmul 24625 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
7454, 72, 33, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33ringsubdir 20256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)))
766, 55, 59ringlidm 20217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
7741, 33, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
786, 55ringass 20205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
807, 42, 55, 59unitlinv 20344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8141, 32, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8281oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)) = (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)))
836, 55, 59ringridm 20218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8441, 28, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8579, 82, 843eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = 𝐴)
8677, 85oveq12d 7437 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8775, 86eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8887fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
8974, 88eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
9053, 66, 893eqtrd 2769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
916, 47grpsubcl 18984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐴𝑋) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
9238, 33, 28, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
936, 15nmcl 24569 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9425, 92, 93syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9594recnd 11274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℂ)
9617adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
9711adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NzRing)
987, 12nzrunit 20473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
9997, 32, 98syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
1006, 15, 12nmrpcl 24573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10125, 33, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10296, 101rpmulcld 13067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ+)
103102rpred 13051 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
104103recnd 11274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℂ)
105102rpne0d 13056 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ≠ 0)
10695, 104, 52, 105divmuld 12045 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ↔ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴))))
10790, 106mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑅)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 24558 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
11025, 28, 33, 109syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
111110oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
11215, 6, 47, 108ngpds 24557 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
11325, 44, 46, 112syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
114107, 111, 1133eqtr4rd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
115110, 94eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
11624adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
117116rpred 13051 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
11818adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
119118rpred 13051 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
120103, 119remulcld 11276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) ∈ ℝ)
121 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
12219adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
12396rphalfcld 13063 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
124122, 123rpmulcld 13067 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
125124rpred 13051 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
126 1re 11246 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127122rpred 13051 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
128 min2 13204 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
129126, 127, 128sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
13021adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
131130rpred 13051 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132131, 127, 123lemul1d 13094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2))))
133129, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
1341, 133eqbrtrid 5184 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
135123rpred 13051 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ)
136312halvesd 12491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) = (𝑁𝐴))
13730, 35resubcld 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1386, 15, 47nm2dif 24578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
13925, 28, 33, 138syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14015, 6, 47, 108ngpds 24557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14125, 28, 33, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
142139, 141breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝐴𝐷𝑦))
143 min1 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
144126, 127, 143sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
145 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
146131, 145, 123lemul1d 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2))))
147144, 146mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
1481, 147eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
149135recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℂ)
150149mullidd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1 · ((𝑁𝐴) / 2)) = ((𝑁𝐴) / 2))
151148, 150breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((𝑁𝐴) / 2))
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 11406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < ((𝑁𝐴) / 2))
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 11404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2))
15430, 35, 135ltsubadd2d 11844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2) ↔ (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
155153, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
156136, 155eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
157135, 35, 135ltadd1d 11839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦) ↔ (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
158156, 157mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦))
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 13107 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
160119recnd 11274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16131, 36, 160mul32d 11456 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) = (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
162159, 161breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 11404 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 11407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
165115, 119, 102ltdivmuld 13102 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵)))
166164, 165mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵)
167114, 166eqbrtrd 5171 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)
168167expr 455 . . 3 ((𝜑𝑦𝑈) → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
169168ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
170 breq2 5153 . . 3 (𝑥 = 𝑇 → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171170rspceaimv 3612 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
17224, 169, 171syl2anc 582 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  +crp 13009  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  distcds 17245  0gc0g 17424  Grpcgrp 18898  -gcsg 18900  1rcur 20133  Ringcrg 20185  Unitcui 20306  invrcinvr 20338  NzRingcnzr 20463  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530  NrmRingcnrg 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-0g 17426  df-topgen 17428  df-xrs 17487  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-nzr 20464  df-abv 20709  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-xms 24270  df-ms 24271  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nrg 24538
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  24653
  Copyright terms: Public domain W3C validator