Theorem nrgring 24873

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24871	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 20968	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  Ringcrg 20361  AbsValcabv 20963  normcnm 24786  NrmRingcnrg 24789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fv 6548  df-abv 20964  df-nrg 24795

This theorem is used by:  nrgdsdi  24875  nrgdsdir  24876  nmdvr  24880  nrgtgp  24882  rlmnlm  24898  nrgtrg  24900  nrginvrcnlem  24901  nrginvrcn  24902  nrgtdrg  24903  rlmbn  25573  iistmd  34358  zrhnm  34423  cnzh  34424  rezh  34425