Theorem nrgring 24605

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24603	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 20744	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  Ringcrg 20166  AbsValcabv 20739  normcnm 24518  NrmRingcnrg 24521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fv 6498  df-abv 20740  df-nrg 24527

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24607  nrgdsdir  24608  nmdvr  24612  nrgtgp  24614  rlmnlm  24630  nrgtrg  24632  nrginvrcnlem  24633  nrginvrcn  24634  nrgtdrg  24635  rlmbn  25315  iistmd  34008  zrhnm  34073  cnzh  34074  rezh  34075