Theorem nrgring 24994

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24992	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 21082	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  Ringcrg 20471  AbsValcabv 21077  normcnm 24907  NrmRingcnrg 24910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fv 6554  df-abv 21078  df-nrg 24916

This theorem is used by:  nrgdsdi  24996  nrgdsdir  24997  nmdvr  25001  nrgtgp  25003  rlmnlm  25019  nrgtrg  25021  nrginvrcnlem  25022  nrginvrcn  25023  nrgtdrg  25024  rlmbn  25694  iistmd  34587  zrhnm  34652  cnzh  34653  rezh  34654