Theorem nrgring 24982

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24980	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 21070	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  Ringcrg 20459  AbsValcabv 21065  normcnm 24895  NrmRingcnrg 24898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fv 6546  df-abv 21066  df-nrg 24904

This theorem is used by:  nrgdsdi  24984  nrgdsdir  24985  nmdvr  24989  nrgtgp  24991  rlmnlm  25007  nrgtrg  25009  nrginvrcnlem  25010  nrginvrcn  25011  nrgtdrg  25012  rlmbn  25682  iistmd  34534  zrhnm  34599  cnzh  34600  rezh  34601