Theorem nrgring 24705

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24703	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 20836	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  Ringcrg 20260  AbsValcabv 20831  normcnm 24610  NrmRingcnrg 24613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fv 6581  df-abv 20832  df-nrg 24619

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24707  nrgdsdir  24708  nmdvr  24712  nrgtgp  24714  rlmnlm  24730  nrgtrg  24732  nrginvrcnlem  24733  nrginvrcn  24734  nrgtdrg  24735  rlmbn  25414  iistmd  33848  zrhnm  33915  cnzh  33916  rezh  33917