Theorem nrgring 24600

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24598	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 20708	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  Ringcrg 20180  AbsValcabv 20703  normcnm 24505  NrmRingcnrg 24508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fv 6561  df-abv 20704  df-nrg 24514

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24602  nrgdsdir  24603  nmdvr  24607  nrgtgp  24609  rlmnlm  24625  nrgtrg  24627  nrginvrcnlem  24628  nrginvrcn  24629  nrgtdrg  24630  rlmbn  25309  iistmd  33536  zrhnm  33603  cnzh  33604  rezh  33605