Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnzh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnzh 33969
Description: The -module of is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnzh (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24801 . . . 4 fld ∈ NrmRing
2 eqid 2737 . . . . 5 (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
32zhmnrg 33966 . . . 4 (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4 nrgngp 24683 . . . 4 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6 nrgring 24684 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7 ringabl 20278 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
81, 6, 7mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Abel
92zlmlmod 21537 . . . 4 (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
108, 9mpbi 230 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11 zringnrg 24809 . . 3 ring ∈ NrmRing
125, 10, 113pm3.2i 1340 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
1413zcnd 12723 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1614, 15absmuld 15493 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17 cnfldmulg 21416 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
1817fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19 fvres 6925 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
2120oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
2216, 18, 213eqtr4d 2787 . . 3 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
2322rgen2 3199 . 2 𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24 cnfldbas 21368 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
252, 24zlmbas 21529 . . 3 ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26 cnfldex 21367 . . . 4 fld ∈ V
27 cnfldnm 24799 . . . . 5 abs = (norm‘ℂfld)
282, 27zlmnm 33965 . . . 4 (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
2926, 28ax-mp 5 . . 3 abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30 eqid 2737 . . . 4 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
312, 30zlmvsca 21536 . . 3 (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
322zlmsca 21535 . . . 4 (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
3326, 32ax-mp 5 . . 3 ring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34 zringbas 21464 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
35 zringnm 33957 . . . 4 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
3635eqcomi 2746 . . 3 (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
3725, 29, 31, 33, 34, 36isnlm 24696 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
3812, 23, 37mpbir2an 711 1 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   · cmul 11160  cz 12613  abscabs 15273  Scalarcsca 17300  .gcmg 19085  Abelcabl 19799  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  fldccnfld 21364  ringczring 21457  ℤModczlm 21511  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zlm 21515  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599
This theorem is referenced by:  cnrrext  34011
  Copyright terms: Public domain W3C validator