Theorem cnzh 31920

Description: The ℤ-module of ℂ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnzh	⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 23944	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3	2	zhmnrg 31917	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4		nrgngp 23826	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6		nrgring 23827	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7		ringabl 19819	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
8	1, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Abel
9	2	zlmlmod 20728	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
10	8, 9	mpbi 229	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11		zringnrg 23951	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12427	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
16	14, 15	absmuld 15166	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17		cnfldmulg 20630	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
18	17	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19		fvres 6793	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
21	20	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23	22	rgen2 3120	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24		cnfldbas 20601	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	2, 24	zlmbas 20720	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26		cnfldex 20600	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
27		cnfldnm 23942	. . . . 5 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
28	2, 27	zlmnm 31916	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
31	2, 30	zlmvsca 20727	. . 3 ⊢ (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
32	2	zlmsca 20726	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
33	26, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34		zringbas 20676	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35		zringnm 31908	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
36	35	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
37	25, 29, 31, 33, 34, 36	isnlm 23839	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
38	12, 23, 37	mpbir2an 708	1 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   · cmul 10876  ℤcz 12319  abscabs 14945  Scalarcsca 16965  ._gcmg 18700  Abelcabl 19387  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  ℂ_fldccnfld 20597  ℤ_ringczring 20670  ℤModczlm 20702  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  NrmRingcnrg 23735  NrmModcnlm 23736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-lmod 20125  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zlm 20706  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742

This theorem is referenced by:  cnrrext  31960