Theorem cnzh 34112

Description: The ℤ-module of ℂ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnzh	⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24745	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3	2	zhmnrg 34109	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4		nrgngp 24627	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6		nrgring 24628	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7		ringabl 20262	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
8	1, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Abel
9	2	zlmlmod 21502	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
10	8, 9	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11		zringnrg 24753	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
16	14, 15	absmuld 15419	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17		cnfldmulg 21384	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
18	17	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19		fvres 6859	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
21	20	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23	22	rgen2 3177	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24		cnfldbas 21356	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	2, 24	zlmbas 21497	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26		cnfldex 21355	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
27		cnfldnm 24743	. . . . 5 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
28	2, 27	zlmnm 34108	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
31	2, 30	zlmvsca 21501	. . 3 ⊢ (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
32	2	zlmsca 21500	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
33	26, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34		zringbas 21433	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35		zringnm 34102	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
36	35	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
37	25, 29, 31, 33, 34, 36	isnlm 24640	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
38	12, 23, 37	mpbir2an 712	1 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   · cmul 11043  ℤcz 12524  abscabs 15196  Scalarcsca 17223  ._gcmg 19043  Abelcabl 19756  Ringcrg 20214  LModclmod 20855  ℂ_fldccnfld 21352  ℤ_ringczring 21426  ℤModczlm 21480  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542  NrmRingcnrg 24544  NrmModcnlm 24545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-abv 20786  df-lmod 20857  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zlm 21484  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nrg 24550  df-nlm 24551

This theorem is referenced by:  cnrrext  34154