Theorem cnzh 33916

Description: The ℤ-module of ℂ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnzh	⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24822	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3	2	zhmnrg 33913	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4		nrgngp 24704	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6		nrgring 24705	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7		ringabl 20304	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
8	1, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Abel
9	2	zlmlmod 21560	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
10	8, 9	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11		zringnrg 24829	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12748	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
16	14, 15	absmuld 15503	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17		cnfldmulg 21439	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
18	17	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19		fvres 6939	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
21	20	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23	22	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24		cnfldbas 21391	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	2, 24	zlmbas 21552	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26		cnfldex 21390	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
27		cnfldnm 24820	. . . . 5 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
28	2, 27	zlmnm 33912	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
31	2, 30	zlmvsca 21559	. . 3 ⊢ (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
32	2	zlmsca 21558	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
33	26, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34		zringbas 21487	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35		zringnm 33904	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
36	35	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
37	25, 29, 31, 33, 34, 36	isnlm 24717	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
38	12, 23, 37	mpbir2an 710	1 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   · cmul 11189  ℤcz 12639  abscabs 15283  Scalarcsca 17314  ._gcmg 19107  Abelcabl 19823  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  ℂ_fldccnfld 21387  ℤ_ringczring 21480  ℤModczlm 21534  normcnm 24610  NrmGrpcngp 24611  NrmRingcnrg 24613  NrmModcnlm 24614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-abv 20832  df-lmod 20882  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zlm 21538  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-xms 24351  df-ms 24352  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619  df-nlm 24620

This theorem is referenced by:  cnrrext  33956