Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnzh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnzh 33507
Description: The -module of is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnzh (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24684 . . . 4 fld ∈ NrmRing
2 eqid 2727 . . . . 5 (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
32zhmnrg 33504 . . . 4 (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4 nrgngp 24566 . . . 4 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6 nrgring 24567 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7 ringabl 20206 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
81, 6, 7mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Abel
92zlmlmod 21439 . . . 4 (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
108, 9mpbi 229 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11 zringnrg 24691 . . 3 ring ∈ NrmRing
125, 10, 113pm3.2i 1337 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
1413zcnd 12689 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1614, 15absmuld 15425 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17 cnfldmulg 21318 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
1817fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
2120oveq1d 7429 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
2216, 18, 213eqtr4d 2777 . . 3 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
2322rgen2 3192 . 2 𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24 cnfldbas 21270 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
252, 24zlmbas 21431 . . 3 ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26 cnfldex 21269 . . . 4 fld ∈ V
27 cnfldnm 24682 . . . . 5 abs = (norm‘ℂfld)
282, 27zlmnm 33503 . . . 4 (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
2926, 28ax-mp 5 . . 3 abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30 eqid 2727 . . . 4 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
312, 30zlmvsca 21438 . . 3 (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
322zlmsca 21437 . . . 4 (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
3326, 32ax-mp 5 . . 3 ring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34 zringbas 21366 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
35 zringnm 33495 . . . 4 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
3635eqcomi 2736 . . 3 (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
3725, 29, 31, 33, 34, 36isnlm 24579 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
3812, 23, 37mpbir2an 710 1 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  Vcvv 3469  cres 5674  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128   · cmul 11135  cz 12580  abscabs 15205  Scalarcsca 17227  .gcmg 19014  Abelcabl 19727  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  fldccnfld 21266  ringczring 21359  ℤModczlm 21413  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473  NrmRingcnrg 24475  NrmModcnlm 24476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-abv 20686  df-lmod 20734  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zlm 21417  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479  df-nrg 24481  df-nlm 24482
This theorem is referenced by:  cnrrext  33547
  Copyright terms: Public domain W3C validator