Theorem cnzh 34656

Description: The ℤ-module of ℂ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnzh	⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 25114	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3	2	zhmnrg 34653	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4		nrgngp 24996	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6		nrgring 24997	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7		ringabl 20525	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
8	1, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Abel
9	2	zlmlmod 21843	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
10	8, 9	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11		zringnrg 25122	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12817	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
16	14, 15	absmuld 15639	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17		cnfldmulg 21725	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
18	17	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19		fvres 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
21	20	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23	22	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24		cnfldbas 21697	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	2, 24	zlmbas 21838	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26		cnfldex 21696	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
27		cnfldnm 25112	. . . . 5 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
28	2, 27	zlmnm 34652	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
31	2, 30	zlmvsca 21842	. . 3 ⊢ (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
32	2	zlmsca 21841	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
33	26, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34		zringbas 21774	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35		zringnm 34646	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
36	35	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
37	25, 29, 31, 33, 34, 36	isnlm 25009	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
38	12, 23, 37	mpbir2an 724	1 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ↾ cres 5657  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211   · cmul 11218  ℤcz 12706  abscabs 15416  Scalarcsca 17446  ._gcmg 19292  Abelcabl 20010  Ringcrg 20474  LModclmod 21150  ℂ_fldccnfld 21693  ℤ_ringczring 21767  ℤModczlm 21821  normcnm 24910  NrmGrpcngp 24911  NrmRingcnrg 24913  NrmModcnlm 24914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ico 13495  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-topgen 17629  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-abv 21081  df-lmod 21152  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zlm 21825  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-xms 24654  df-ms 24655  df-nm 24916  df-ngp 24917  df-nrg 24919  df-nlm 24920

This theorem is used by:  cnrrext  34698