Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnzh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnzh 31206
Description: The -module of is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnzh (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 23383 . . . 4 fld ∈ NrmRing
2 eqid 2821 . . . . 5 (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
32zhmnrg 31203 . . . 4 (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4 nrgngp 23265 . . . 4 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
51, 3, 4mp2b 10 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6 nrgring 23266 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7 ringabl 19324 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
81, 6, 7mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Abel
92zlmlmod 20664 . . . 4 (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
108, 9mpbi 232 . . 3 (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11 zringnrg 23390 . . 3 ring ∈ NrmRing
125, 10, 113pm3.2i 1335 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13 simpl 485 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
1413zcnd 12082 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15 simpr 487 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1614, 15absmuld 14808 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17 cnfldmulg 20571 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
1817fveq2d 6669 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19 fvres 6684 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
2019adantr 483 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
2120oveq1d 7165 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
2216, 18, 213eqtr4d 2866 . . 3 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
2322rgen2 3203 . 2 𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24 cnfldbas 20543 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
252, 24zlmbas 20659 . . 3 ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26 cnfldex 20542 . . . 4 fld ∈ V
27 cnfldnm 23381 . . . . 5 abs = (norm‘ℂfld)
282, 27zlmnm 31202 . . . 4 (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
2926, 28ax-mp 5 . . 3 abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30 eqid 2821 . . . 4 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
312, 30zlmvsca 20663 . . 3 (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
322zlmsca 20662 . . . 4 (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
3326, 32ax-mp 5 . . 3 ring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34 zringbas 20617 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
35 zringnm 31196 . . . 4 (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
3635eqcomi 2830 . . 3 (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
3725, 29, 31, 33, 34, 36isnlm 23278 . 2 ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
3812, 23, 37mpbir2an 709 1 (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  Vcvv 3495  cres 5552  cfv 6350  (class class class)co 7150  cc 10529   · cmul 10536  cz 11975  abscabs 14587  Scalarcsca 16562  .gcmg 18218  Abelcabl 18901  Ringcrg 19291  LModclmod 19628  fldccnfld 20539  ringzring 20611  ℤModczlm 20642  normcnm 23180  NrmGrpcngp 23181  NrmRingcnrg 23183  NrmModcnlm 23184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-subrg 19527  df-abv 19582  df-lmod 19630  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zlm 20646  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nrg 23189  df-nlm 23190
This theorem is referenced by:  cnrrext  31246
  Copyright terms: Public domain W3C validator