Theorem cnzh 33969

Description: The ℤ-module of ℂ is a normed module. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnzh	⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Proof of Theorem cnzh

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24801	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) = (ℤMod‘ℂfld)
3	2	zhmnrg 33966	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing)
4		nrgngp 24683	. . . 4 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmRing → (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp)
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp
6		nrgring 24684	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
7		ringabl 20278	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
8	1, 6, 7	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Abel
9	2	zlmlmod 21537	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Abel ↔ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod)
10	8, 9	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod
11		zringnrg 24809	. . 3 ⊢ ℤring ∈ NrmRing
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing)
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
16	14, 15	absmuld 15493	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
17		cnfldmulg 21416	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(.g‘ℂfld)𝑥) = (𝑧 · 𝑥))
18	17	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (abs‘(𝑧 · 𝑥)))
19		fvres 6925	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ↾ ℤ)‘𝑧) = (abs‘𝑧))
21	20	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
22	16, 18, 21	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥)))
23	22	rgen2 3199	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))
24		cnfldbas 21368	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	2, 24	zlmbas 21529	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ℤMod‘ℂfld))
26		cnfldex 21367	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
27		cnfldnm 24799	. . . . 5 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
28	2, 27	zlmnm 33965	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld)))
29	26, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ abs = (norm‘(ℤMod‘ℂfld))
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
31	2, 30	zlmvsca 21536	. . 3 ⊢ (.g‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ℤMod‘ℂfld))
32	2	zlmsca 21535	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld)))
33	26, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ℤMod‘ℂfld))
34		zringbas 21464	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
35		zringnm 33957	. . . 4 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)
36	35	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring)
37	25, 29, 31, 33, 34, 36	isnlm 24696	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod ↔ (((ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmGrp ∧ (ℤMod‘ℂfld) ∈ LMod ∧ ℤring ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝑧(.g‘ℂfld)𝑥)) = (((abs ↾ ℤ)‘𝑧) · (abs‘𝑥))))
38	12, 23, 37	mpbir2an 711	1 ⊢ (ℤMod‘ℂfld) ∈ NrmMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160  ℤcz 12613  abscabs 15273  Scalarcsca 17300  ._gcmg 19085  Abelcabl 19799  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  ℂ_fldccnfld 21364  ℤ_ringczring 21457  ℤModczlm 21511  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zlm 21515  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599

This theorem is referenced by:  cnrrext  34011