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Theorem oelim2 8591
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6425 . . . . . 6 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
2 0ellim 6424 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵)
32adantl 483 . . . . . 6 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → ∅ ∈ 𝐵)
4 oe0m1 8516 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (∅ ↑o 𝐵) = ∅))
54biimpa 478 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
61, 3, 5syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
7 eldif 3957 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
8 limord 6421 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐵 → Ord 𝐵)
9 ordelon 6385 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord 𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
108, 9sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11 on0eln0 6417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥𝑥 ≠ ∅))
12 el1o 8490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 1o𝑥 = ∅)
1312necon3bbii 2989 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ 1o𝑥 ≠ ∅)
1411, 13bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
15 oe0m1 8516 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1615biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1714, 16sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1918impr 456 . . . . . . . . 9 ((Lim 𝐵 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
207, 19sylan2b 595 . . . . . . . 8 ((Lim 𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
2120iuneq2dv 5020 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅)
22 df-1o 8461 . . . . . . . . . 10 1o = suc ∅
23 limsuc 7833 . . . . . . . . . . 11 (Lim 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ∈ 𝐵))
242, 23mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐵 → suc ∅ ∈ 𝐵)
2522, 24eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐵 → 1o𝐵)
26 1on 8473 . . . . . . . . . 10 1o ∈ On
2726onirri 6474 . . . . . . . . 9 ¬ 1o ∈ 1o
28 eldif 3957 . . . . . . . . 9 (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (1o𝐵 ∧ ¬ 1o ∈ 1o))
2925, 27, 28sylanblrc 591 . . . . . . . 8 (Lim 𝐵 → 1o ∈ (𝐵 ∖ 1o))
30 ne0i 4333 . . . . . . . 8 (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) → (𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅)
31 iunconst 5005 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
3321, 32eqtrd 2773 . . . . . 6 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
3433adantl 483 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
356, 34eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
36 oveq1 7411 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴o 𝐵) = (∅ ↑o 𝐵))
37 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴o 𝑥) = (∅ ↑o 𝑥))
3837iuneq2d 5025 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
3936, 38eqeq12d 2749 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ((𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ↔ (∅ ↑o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥)))
4035, 39imbitrrid 245 . . 3 (𝐴 = ∅ → ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥)))
4140impcom 409 . 2 (((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
42 oelim 8529 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 𝐵) = 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦))
43 limsuc 7833 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝐵 → (𝑦𝐵 ↔ suc 𝑦𝐵))
4443biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → suc 𝑦𝐵)
45 nsuceq0 6444 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑦 ≠ ∅
46 dif1o 8495 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (suc 𝑦𝐵 ∧ suc 𝑦 ≠ ∅))
4744, 45, 46sylanblrc 591 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o))
4847ex 414 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐵 → (𝑦𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
50 sssucid 6441 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ⊆ suc 𝑦
51 ordelon 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝐵𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ On)
528, 51sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ On)
53 onsuc 7794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
5452, 53jccir 523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
56553expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5756ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5854, 57sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5958anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
60 oewordi 8587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6159, 60sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6261an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6350, 62mpi 20 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦))
6463ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6549, 64jcad 514 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦))))
66 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴o 𝑥) = (𝐴o suc 𝑦))
6766sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥) ↔ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6867rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥))
6965, 68syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥)))
7069ralrimiv 3146 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∀𝑦𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥))
71 iunss2 5051 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) ⊆ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
7270, 71syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) ⊆ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
73 difss 4130 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵
74 iunss1 5010 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥))
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥)
76 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴o 𝑥) = (𝐴o 𝑦))
7776cbviunv 5042 . . . . . . 7 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥) = 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦)
7875, 77sseqtri 4017 . . . . . 6 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦)
7978a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦))
8072, 79eqssd 3998 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8180adantlrl 719 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8242, 81eqtrd 2773 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8341, 82oe0lem 8508 1 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  cdif 3944  wss 3947  c0 4321   ciun 4996  Ord word 6360  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  suc csuc 6363  (class class class)co 7404  1oc1o 8454  o coe 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-oexp 8467
This theorem is referenced by:  oelimcl  8596  oaabs2  8644  omabs  8646
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