Theorem oelim2 8583

Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oelim2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem oelim2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 6423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
2		0ellim 6422	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → ∅ ∈ 𝐵)
4		oe0m1 8508	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (∅ ↑o 𝐵) = ∅))
5	4	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
6	1, 3, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
7		eldif 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
8		limord 6419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐵 → Ord 𝐵)
9		ordelon 6381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ On)
10	8, 9	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11		on0eln0 6415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ ∅))
12		el1o 8482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 1o ↔ 𝑥 = ∅)
13	12	necon3bbii 3002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 1o ↔ 𝑥 ≠ ∅)
14	11, 13	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
15		oe0m1 8508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
16	15	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
17	14, 16	sylbird 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
18	10, 17	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
19	18	impr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
20	7, 19	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
21	20	iuneq2dv 4976	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅)
22		df-1o 8455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o = suc ∅
23		limsuc 7845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ∈ 𝐵))
24	2, 23	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim 𝐵 → suc ∅ ∈ 𝐵)
25	22, 24	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐵 → 1o ∈ 𝐵)
26		1on 8468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ On
27	26	onirri 6472	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
28		eldif 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (1o ∈ 𝐵 ∧ ¬ 1o ∈ 1o))
29	25, 27, 28	sylanblrc 602	. . . . . . . 8 ⊢ (Lim 𝐵 → 1o ∈ (𝐵 ∖ 1o))
30		ne0i 4287	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) → (𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅)
31		iunconst 4961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅ → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
32	29, 30, 31	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
33	21, 32	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
34	33	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
35	6, 34	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
36		oveq1 7420	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o 𝐵) = (∅ ↑o 𝐵))
37		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o 𝑥) = (∅ ↑o 𝑥))
38	37	iuneq2d 4981	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
39	36, 38	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥) ↔ (∅ ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥)))
40	35, 39	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥)))
41	40	impcom 413	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))
42		oelim 8521	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦))
43		limsuc 7845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐵))
44	43	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → suc 𝑦 ∈ 𝐵)
45		nsuceq0 6443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc 𝑦 ≠ ∅
46		dif1o 8487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ suc 𝑦 ≠ ∅))
47	44, 45, 46	sylanblrc 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o))
48	47	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Lim 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
49	48	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
50		sssucid 6440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ⊆ suc 𝑦
51		ordelon 6381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ On)
52	8, 51	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ On)
53		onsuc 7809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
54	52, 53	jccir 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Lim 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On))
55		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
56	55	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
57	56	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
58	54, 57	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
59	58	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
60		oewordi 8579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦)))
61	59, 60	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦)))
62	61	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦)))
63	50, 62	mpi 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦))
64	63	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦)))
65	49, 64	jcad 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦))))
66		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ↑o 𝑥) = (𝐴 ↑o suc 𝑦))
67	66	sseq2d 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o 𝑥) ↔ (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦)))
68	67	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o suc 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o 𝑥))
69	65, 68	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o 𝑥)))
70	69	ralrimiv 3153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o 𝑥))
71		iunss2 5008	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ (𝐴 ↑o 𝑥) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))
72	70, 71	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))
73		difss 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵
74		iunss1 4966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵 → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑥))
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑥)
76		oveq2 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ↑o 𝑥) = (𝐴 ↑o 𝑦))
77	76	cbviunv 4997	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦)
78	75, 77	sseqtri 3979	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦)
79	78	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦))
80	72, 79	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))
81	80	adantlrl 733	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ↑o 𝑦) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))
82	42, 81	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))
83	41, 82	oe0lem 8500	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴 ↑o 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴 ↑o 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  Ord word 6356  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359  (class class class)co 7413  1_oc1o 8448   ↑_o coe 8454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-oexp 8461

This theorem is used by:  oelimcl  8588  oaabs2  8637  omabs  8639