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Theorem oelim2 8213
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6247 . . . . . 6 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
2 0ellim 6246 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵)
32adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → ∅ ∈ 𝐵)
4 oe0m1 8138 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (∅ ↑o 𝐵) = ∅))
54biimpa 479 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
61, 3, 5syl2anc 586 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
7 eldif 3944 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
8 limord 6243 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐵 → Ord 𝐵)
9 ordelon 6208 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord 𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
108, 9sylan 582 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11 on0eln0 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥𝑥 ≠ ∅))
12 el1o 8116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 1o𝑥 = ∅)
1312necon3bbii 3061 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ 1o𝑥 ≠ ∅)
1411, 13syl6bbr 291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
15 oe0m1 8138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1615biimpd 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1714, 16sylbird 262 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1918impr 457 . . . . . . . . 9 ((Lim 𝐵 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
207, 19sylan2b 595 . . . . . . . 8 ((Lim 𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
2120iuneq2dv 4934 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅)
22 df-1o 8094 . . . . . . . . . 10 1o = suc ∅
23 limsuc 7556 . . . . . . . . . . 11 (Lim 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ∈ 𝐵))
242, 23mpbid 234 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐵 → suc ∅ ∈ 𝐵)
2522, 24eqeltrid 2915 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐵 → 1o𝐵)
26 1on 8101 . . . . . . . . . 10 1o ∈ On
2726onirri 6290 . . . . . . . . 9 ¬ 1o ∈ 1o
28 eldif 3944 . . . . . . . . 9 (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (1o𝐵 ∧ ¬ 1o ∈ 1o))
2925, 27, 28sylanblrc 592 . . . . . . . 8 (Lim 𝐵 → 1o ∈ (𝐵 ∖ 1o))
30 ne0i 4298 . . . . . . . 8 (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) → (𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅)
31 iunconst 4919 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
3321, 32eqtrd 2854 . . . . . 6 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
3433adantl 484 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
356, 34eqtr4d 2857 . . . 4 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
36 oveq1 7155 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴o 𝐵) = (∅ ↑o 𝐵))
37 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴o 𝑥) = (∅ ↑o 𝑥))
3837iuneq2d 4939 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
3936, 38eqeq12d 2835 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ((𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ↔ (∅ ↑o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥)))
4035, 39syl5ibr 248 . . 3 (𝐴 = ∅ → ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥)))
4140impcom 410 . 2 (((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
42 oelim 8151 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 𝐵) = 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦))
43 limsuc 7556 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝐵 → (𝑦𝐵 ↔ suc 𝑦𝐵))
4443biimpa 479 . . . . . . . . . . . 12 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → suc 𝑦𝐵)
45 nsuceq0 6264 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑦 ≠ ∅
46 dif1o 8117 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (suc 𝑦𝐵 ∧ suc 𝑦 ≠ ∅))
4744, 45, 46sylanblrc 592 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o))
4847ex 415 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐵 → (𝑦𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
4948ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
50 sssucid 6261 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ⊆ suc 𝑦
51 ordelon 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝐵𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ On)
528, 51sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ On)
53 suceloni 7520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
5452, 53jccir 524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
56553expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5756ancoms 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5854, 57sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5958anassrs 470 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
60 oewordi 8209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6159, 60sylan 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6261an32s 650 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6350, 62mpi 20 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦))
6463ex 415 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6549, 64jcad 515 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦))))
66 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴o 𝑥) = (𝐴o suc 𝑦))
6766sseq2d 3997 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥) ↔ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6867rspcev 3621 . . . . . . . 8 ((suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥))
6965, 68syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥)))
7069ralrimiv 3179 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∀𝑦𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥))
71 iunss2 4964 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) ⊆ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
7270, 71syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) ⊆ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
73 difss 4106 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵
74 iunss1 4924 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥))
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥)
76 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴o 𝑥) = (𝐴o 𝑦))
7776cbviunv 4956 . . . . . . 7 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥) = 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦)
7875, 77sseqtri 4001 . . . . . 6 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦)
7978a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦))
8072, 79eqssd 3982 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8180adantlrl 718 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8242, 81eqtrd 2854 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8341, 82oe0lem 8130 1 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  cdif 3931  wss 3934  c0 4289   ciun 4910  Ord word 6183  Oncon0 6184  Lim wlim 6185  suc csuc 6186  (class class class)co 7148  1oc1o 8087  o coe 8093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-oexp 8100
This theorem is referenced by:  oelimcl  8218  oaabs2  8264  omabs  8266
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