MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oelim2 8631
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6449 . . . . . 6 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
2 0ellim 6448 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 → ∅ ∈ 𝐵)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → ∅ ∈ 𝐵)
4 oe0m1 8557 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (∅ ↑o 𝐵) = ∅))
54biimpa 476 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
61, 3, 5syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = ∅)
7 eldif 3972 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
8 limord 6445 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐵 → Ord 𝐵)
9 ordelon 6409 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord 𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
108, 9sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11 on0eln0 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥𝑥 ≠ ∅))
12 el1o 8531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 1o𝑥 = ∅)
1312necon3bbii 2985 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ 1o𝑥 ≠ ∅)
1411, 13bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 1o))
15 oe0m1 8557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 ↔ (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1615biimpd 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ On → (∅ ∈ 𝑥 → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1714, 16sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 1o → (∅ ↑o 𝑥) = ∅))
1918impr 454 . . . . . . . . 9 ((Lim 𝐵 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
207, 19sylan2b 594 . . . . . . . 8 ((Lim 𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)) → (∅ ↑o 𝑥) = ∅)
2120iuneq2dv 5020 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅)
22 df-1o 8504 . . . . . . . . . 10 1o = suc ∅
23 limsuc 7869 . . . . . . . . . . 11 (Lim 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ∈ 𝐵))
242, 23mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐵 → suc ∅ ∈ 𝐵)
2522, 24eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐵 → 1o𝐵)
26 1on 8516 . . . . . . . . . 10 1o ∈ On
2726onirri 6498 . . . . . . . . 9 ¬ 1o ∈ 1o
28 eldif 3972 . . . . . . . . 9 (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (1o𝐵 ∧ ¬ 1o ∈ 1o))
2925, 27, 28sylanblrc 590 . . . . . . . 8 (Lim 𝐵 → 1o ∈ (𝐵 ∖ 1o))
30 ne0i 4346 . . . . . . . 8 (1o ∈ (𝐵 ∖ 1o) → (𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅)
31 iunconst 5005 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ 1o) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . 7 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)∅ = ∅)
3321, 32eqtrd 2774 . . . . . 6 (Lim 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
3433adantl 481 . . . . 5 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥) = ∅)
356, 34eqtr4d 2777 . . . 4 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (∅ ↑o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
36 oveq1 7437 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴o 𝐵) = (∅ ↑o 𝐵))
37 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴o 𝑥) = (∅ ↑o 𝑥))
3837iuneq2d 5026 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥))
3936, 38eqeq12d 2750 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ((𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ↔ (∅ ↑o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(∅ ↑o 𝑥)))
4035, 39imbitrrid 246 . . 3 (𝐴 = ∅ → ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥)))
4140impcom 407 . 2 (((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
42 oelim 8570 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 𝐵) = 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦))
43 limsuc 7869 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝐵 → (𝑦𝐵 ↔ suc 𝑦𝐵))
4443biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → suc 𝑦𝐵)
45 nsuceq0 6468 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑦 ≠ ∅
46 dif1o 8536 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ↔ (suc 𝑦𝐵 ∧ suc 𝑦 ≠ ∅))
4744, 45, 46sylanblrc 590 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o))
4847ex 412 . . . . . . . . . 10 (Lim 𝐵 → (𝑦𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
4948ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o)))
50 sssucid 6465 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ⊆ suc 𝑦
51 ordelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ord 𝐵𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ On)
528, 51sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ On)
53 onsuc 7830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
5452, 53jccir 521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Lim 𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
56553expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On) ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5756ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5854, 57sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ On ∧ (Lim 𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
5958anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
60 oewordi 8627 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ On ∧ suc 𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6159, 60sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6261an32s 652 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ⊆ suc 𝑦 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6350, 62mpi 20 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦))
6463ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6549, 64jcad 512 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → (suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦))))
66 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴o 𝑥) = (𝐴o suc 𝑦))
6766sseq2d 4027 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥) ↔ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)))
6867rspcev 3621 . . . . . . . 8 ((suc 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 1o) ∧ (𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o suc 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥))
6965, 68syl6 35 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝑦𝐵 → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥)))
7069ralrimiv 3142 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ∀𝑦𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥))
71 iunss2 5053 . . . . . 6 (∀𝑦𝐵𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑦) ⊆ (𝐴o 𝑥) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) ⊆ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
7270, 71syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) ⊆ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
73 difss 4145 . . . . . . . 8 (𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵
74 iunss1 5010 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∖ 1o) ⊆ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥))
7573, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥)
76 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴o 𝑥) = (𝐴o 𝑦))
7776cbviunv 5044 . . . . . . 7 𝑥𝐵 (𝐴o 𝑥) = 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦)
7875, 77sseqtri 4031 . . . . . 6 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦)
7978a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦))
8072, 79eqssd 4012 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8180adantlrl 720 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑦𝐵 (𝐴o 𝑦) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8242, 81eqtrd 2774 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
8341, 82oe0lem 8549 1 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵)) → (𝐴o 𝐵) = 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 1o)(𝐴o 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  wss 3962  c0 4338   ciun 4995  Ord word 6384  Oncon0 6385  Lim wlim 6386  suc csuc 6387  (class class class)co 7430  1oc1o 8497  o coe 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-oexp 8510
This theorem is referenced by:  oelimcl  8636  oaabs2  8685  omabs  8687
  Copyright terms: Public domain W3C validator