MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfpwsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfpwsdom 10525
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 10510. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1 ๐ต โˆˆ V
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ V
21cardid 10488 . . . . . . . 8 (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
32ensymi 8947 . . . . . . 7 (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
4 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V
54canth2 9077 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด)
64pw2en 9026 . . . . . . . . . . . . 13 ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰ˆ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
7 sdomentr 9058 . . . . . . . . . . . . 13 (((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰ˆ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
9 mapdom1 9089 . . . . . . . . . . . 12 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
10 sdomdomtr 9057 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
12 ficard 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ V โ†’ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰)
14 fict 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰)
1513, 14sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰)
16 alephgeom 10023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ On โ†” ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
17 alephon 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On
18 ssdomg 8943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
2016, 19sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
21 domtr 8950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰ โˆง ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
2215, 20, 21syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
23 domnsym 9046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
2524expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
2625con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰))
27 cardidm 9900 . . . . . . . . . . . 12 (cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
28 iscard3 10034 . . . . . . . . . . . . 13 ((cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ (ฯ‰ โˆช ran โ„ต))
29 elun 4109 . . . . . . . . . . . . 13 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ (ฯ‰ โˆช ran โ„ต) โ†” ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆจ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
30 df-or 847 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆจ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต) โ†” (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
3128, 29, 303bitri 297 . . . . . . . . . . . 12 ((cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†” (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
3227, 31mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต)
3311, 26, 32syl56 36 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
34 alephfnon 10006 . . . . . . . . . . 11 โ„ต Fn On
35 fvelrnb 6904 . . . . . . . . . . 11 (โ„ต Fn On โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
3733, 36syl6ib 251 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) โ†ฆ (harโ€˜(๐‘งโ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) โ†ฆ (harโ€˜(๐‘งโ€˜๐‘ฆ)))
3938pwcfsdom 10524 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ‰บ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
41 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) = (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
4240, 41oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ))) = ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4340, 42breq12d 5119 . . . . . . . . . . 11 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ‰บ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
4439, 43mpbii 232 . . . . . . . . . 10 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4544rexlimivw 3145 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4637, 45syl6 35 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
4746imp 408 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
48 ensdomtr 9060 . . . . . . 7 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆง (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
493, 47, 48sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
50 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V
5150enref 8928 . . . . . . . 8 (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ˆ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
52 mapen 9088 . . . . . . . 8 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ˆ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
532, 51, 52mp2an 691 . . . . . . 7 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
54 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ V
55 mapxpen 9090 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ V โˆง (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V) โ†’ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
5654, 17, 50, 55mp3an 1462 . . . . . . 7 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
5753, 56entri 8951 . . . . . 6 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
58 sdomentr 9058 . . . . . 6 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โˆง ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
5949, 57, 58sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
604xpdom2 9014 . . . . . . . . . 10 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
6116biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
62 infxpen 9955 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6317, 61, 62sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
64 domentr 8956 . . . . . . . . . 10 ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
6560, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
66 nsuceq0 6401 . . . . . . . . . . 11 suc 1o โ‰  โˆ…
67 dom0 9049 . . . . . . . . . . 11 (suc 1o โ‰ผ โˆ… โ†” suc 1o = โˆ…)
6866, 67nemtbir 3037 . . . . . . . . . 10 ยฌ suc 1o โ‰ผ โˆ…
69 df-2o 8414 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
7069breq1i 5113 . . . . . . . . . . . . 13 (2o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ ๐ต)
71 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = โˆ… โ†’ (suc 1o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7270, 71bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = โˆ… โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7372biimpcd 249 . . . . . . . . . . 11 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7473adantld 492 . . . . . . . . . 10 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7568, 74mtoi 198 . . . . . . . . 9 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ ยฌ (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…))
76 mapdom2 9095 . . . . . . . . 9 ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ยฌ (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…)) โ†’ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
7765, 75, 76syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
78 domnsym 9046 . . . . . . . 8 ((๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
8079expl 459 . . . . . 6 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))))
8180com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))))
8259, 81mt2d 136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
83 domtri 10497 . . . . . 6 (((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V โˆง (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V) โ†’ ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
8450, 4, 83mp2an 691 . . . . 5 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
8584biimpri 227 . . . 4 (ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
8682, 85nsyl2 141 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
8786ex 414 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
88 fndm 6606 . . . . . 6 (โ„ต Fn On โ†’ dom โ„ต = On)
8934, 88ax-mp 5 . . . . 5 dom โ„ต = On
9089eleq2i 2826 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” ๐ด โˆˆ On)
91 ndmfv 6878 . . . 4 (ยฌ ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
9290, 91sylnbir 331 . . 3 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
93 1n0 8435 . . . . . 6 1o โ‰  โˆ…
94 1oex 8423 . . . . . . 7 1o โˆˆ V
95940sdom 9054 . . . . . 6 (โˆ… โ‰บ 1o โ†” 1o โ‰  โˆ…)
9693, 95mpbir 230 . . . . 5 โˆ… โ‰บ 1o
97 id 22 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
98 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) = (๐ต โ†‘m โˆ…))
99 map0e 8823 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โ†‘m โˆ…) = 1o)
10054, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โ†‘m โˆ…) = 1o
10198, 100eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) = 1o)
102101fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) = (cardโ€˜1o))
103 1onn 8587 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ ฯ‰
104 cardnn 9904 . . . . . . . . . 10 (1o โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜1o) = 1o)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cardโ€˜1o) = 1o
106102, 105eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) = 1o)
107106fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cfโ€˜1o))
108 df-1o 8413 . . . . . . . . 9 1o = suc โˆ…
109108fveq2i 6846 . . . . . . . 8 (cfโ€˜1o) = (cfโ€˜suc โˆ…)
110 0elon 6372 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ On
111 cfsuc 10198 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜suc โˆ…) = 1o)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . 8 (cfโ€˜suc โˆ…) = 1o
113109, 112eqtri 2761 . . . . . . 7 (cfโ€˜1o) = 1o
114107, 113eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = 1o)
11597, 114breq12d 5119 . . . . 5 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ†” โˆ… โ‰บ 1o))
11696, 115mpbiri 258 . . . 4 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
117116a1d 25 . . 3 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
11892, 117syl 17 . 2 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
11987, 118pm2.61i 182 1 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  ๐’ซ cpw 4561   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   ร— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635  Oncon0 6318  suc csuc 6320   Fn wfn 6492  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  ฯ‰com 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407   โ†‘m cmap 8768   โ‰ˆ cen 8883   โ‰ผ cdom 8884   โ‰บ csdm 8885  Fincfn 8886  harchar 9497  cardccrd 9876  โ„ตcale 9877  cfccf 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-ac2 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-smo 8293  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-har 9498  df-card 9880  df-aleph 9881  df-cf 9882  df-acn 9883  df-ac 10057
This theorem is referenced by:  alephom  10526
  Copyright terms: Public domain W3C validator