MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfpwsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfpwsdom 10579
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 10564. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1 ๐ต โˆˆ V
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ V
21cardid 10542 . . . . . . . 8 (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
32ensymi 9000 . . . . . . 7 (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
4 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V
54canth2 9130 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด)
64pw2en 9079 . . . . . . . . . . . . 13 ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰ˆ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
7 sdomentr 9111 . . . . . . . . . . . . 13 (((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰ˆ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
9 mapdom1 9142 . . . . . . . . . . . 12 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
10 sdomdomtr 9110 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
12 ficard 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ V โ†’ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰)
14 fict 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰)
1513, 14sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰)
16 alephgeom 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ On โ†” ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
17 alephon 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On
18 ssdomg 8996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
2016, 19sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
21 domtr 9003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰ โˆง ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
2215, 20, 21syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
23 domnsym 9099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
2524expcom 415 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
2625con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰))
27 cardidm 9954 . . . . . . . . . . . 12 (cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
28 iscard3 10088 . . . . . . . . . . . . 13 ((cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ (ฯ‰ โˆช ran โ„ต))
29 elun 4149 . . . . . . . . . . . . 13 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ (ฯ‰ โˆช ran โ„ต) โ†” ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆจ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
30 df-or 847 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆจ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต) โ†” (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
3128, 29, 303bitri 297 . . . . . . . . . . . 12 ((cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†” (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
3227, 31mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต)
3311, 26, 32syl56 36 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
34 alephfnon 10060 . . . . . . . . . . 11 โ„ต Fn On
35 fvelrnb 6953 . . . . . . . . . . 11 (โ„ต Fn On โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
3733, 36imbitrdi 250 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) โ†ฆ (harโ€˜(๐‘งโ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) โ†ฆ (harโ€˜(๐‘งโ€˜๐‘ฆ)))
3938pwcfsdom 10578 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ‰บ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
41 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) = (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
4240, 41oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ))) = ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4340, 42breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ‰บ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
4439, 43mpbii 232 . . . . . . . . . 10 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4544rexlimivw 3152 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4637, 45syl6 35 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
4746imp 408 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
48 ensdomtr 9113 . . . . . . 7 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆง (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
493, 47, 48sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
50 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V
5150enref 8981 . . . . . . . 8 (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ˆ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
52 mapen 9141 . . . . . . . 8 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ˆ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
532, 51, 52mp2an 691 . . . . . . 7 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
54 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ V
55 mapxpen 9143 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ V โˆง (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V) โ†’ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
5654, 17, 50, 55mp3an 1462 . . . . . . 7 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
5753, 56entri 9004 . . . . . 6 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
58 sdomentr 9111 . . . . . 6 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โˆง ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
5949, 57, 58sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
604xpdom2 9067 . . . . . . . . . 10 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
6116biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
62 infxpen 10009 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6317, 61, 62sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
64 domentr 9009 . . . . . . . . . 10 ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
6560, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
66 nsuceq0 6448 . . . . . . . . . . 11 suc 1o โ‰  โˆ…
67 dom0 9102 . . . . . . . . . . 11 (suc 1o โ‰ผ โˆ… โ†” suc 1o = โˆ…)
6866, 67nemtbir 3039 . . . . . . . . . 10 ยฌ suc 1o โ‰ผ โˆ…
69 df-2o 8467 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
7069breq1i 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (2o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ ๐ต)
71 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = โˆ… โ†’ (suc 1o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7270, 71bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = โˆ… โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7372biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7473adantld 492 . . . . . . . . . 10 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7568, 74mtoi 198 . . . . . . . . 9 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ ยฌ (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…))
76 mapdom2 9148 . . . . . . . . 9 ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ยฌ (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…)) โ†’ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
7765, 75, 76syl2an 597 . . . . . . . 8 ((((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
78 domnsym 9099 . . . . . . . 8 ((๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
8079expl 459 . . . . . 6 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))))
8180com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))))
8259, 81mt2d 136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
83 domtri 10551 . . . . . 6 (((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V โˆง (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V) โ†’ ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
8450, 4, 83mp2an 691 . . . . 5 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
8584biimpri 227 . . . 4 (ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
8682, 85nsyl2 141 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
8786ex 414 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
88 fndm 6653 . . . . . 6 (โ„ต Fn On โ†’ dom โ„ต = On)
8934, 88ax-mp 5 . . . . 5 dom โ„ต = On
9089eleq2i 2826 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” ๐ด โˆˆ On)
91 ndmfv 6927 . . . 4 (ยฌ ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
9290, 91sylnbir 331 . . 3 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
93 1n0 8488 . . . . . 6 1o โ‰  โˆ…
94 1oex 8476 . . . . . . 7 1o โˆˆ V
95940sdom 9107 . . . . . 6 (โˆ… โ‰บ 1o โ†” 1o โ‰  โˆ…)
9693, 95mpbir 230 . . . . 5 โˆ… โ‰บ 1o
97 id 22 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
98 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) = (๐ต โ†‘m โˆ…))
99 map0e 8876 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โ†‘m โˆ…) = 1o)
10054, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โ†‘m โˆ…) = 1o
10198, 100eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) = 1o)
102101fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) = (cardโ€˜1o))
103 1onn 8639 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ ฯ‰
104 cardnn 9958 . . . . . . . . . 10 (1o โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜1o) = 1o)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cardโ€˜1o) = 1o
106102, 105eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) = 1o)
107106fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cfโ€˜1o))
108 df-1o 8466 . . . . . . . . 9 1o = suc โˆ…
109108fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (cfโ€˜1o) = (cfโ€˜suc โˆ…)
110 0elon 6419 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ On
111 cfsuc 10252 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜suc โˆ…) = 1o)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . 8 (cfโ€˜suc โˆ…) = 1o
113109, 112eqtri 2761 . . . . . . 7 (cfโ€˜1o) = 1o
114107, 113eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = 1o)
11597, 114breq12d 5162 . . . . 5 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ†” โˆ… โ‰บ 1o))
11696, 115mpbiri 258 . . . 4 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
117116a1d 25 . . 3 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
11892, 117syl 17 . 2 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
11987, 118pm2.61i 182 1 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  Oncon0 6365  suc csuc 6367   Fn wfn 6539  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ฯ‰com 7855  1oc1o 8459  2oc2o 8460   โ†‘m cmap 8820   โ‰ˆ cen 8936   โ‰ผ cdom 8937   โ‰บ csdm 8938  Fincfn 8939  harchar 9551  cardccrd 9930  โ„ตcale 9931  cfccf 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-smo 8346  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-har 9552  df-card 9934  df-aleph 9935  df-cf 9936  df-acn 9937  df-ac 10111
This theorem is referenced by:  alephom  10580
  Copyright terms: Public domain W3C validator