MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfpwsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfpwsdom 10581
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 10566. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1 ๐ต โˆˆ V
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ V
21cardid 10544 . . . . . . . 8 (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
32ensymi 9002 . . . . . . 7 (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
4 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V
54canth2 9132 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด)
64pw2en 9081 . . . . . . . . . . . . 13 ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰ˆ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
7 sdomentr 9113 . . . . . . . . . . . . 13 (((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐’ซ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰ˆ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))
9 mapdom1 9144 . . . . . . . . . . . 12 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
10 sdomdomtr 9112 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง (2o โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
118, 9, 10sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
12 ficard 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ V โ†’ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰)
14 fict 9650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰)
1513, 14sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰)
16 alephgeom 10079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ On โ†” ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
17 alephon 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On
18 ssdomg 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
2016, 19sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
21 domtr 9005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ฯ‰ โˆง ฯ‰ โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
2215, 20, 21syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
23 domnsym 9101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
2524expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
2625con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰))
27 cardidm 9956 . . . . . . . . . . . 12 (cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
28 iscard3 10090 . . . . . . . . . . . . 13 ((cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ (ฯ‰ โˆช ran โ„ต))
29 elun 4148 . . . . . . . . . . . . 13 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ (ฯ‰ โˆช ran โ„ต) โ†” ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆจ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
30 df-or 846 . . . . . . . . . . . . 13 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โˆจ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต) โ†” (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
3128, 29, 303bitri 296 . . . . . . . . . . . 12 ((cardโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†” (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
3227, 31mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต)
3311, 26, 32syl56 36 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต))
34 alephfnon 10062 . . . . . . . . . . 11 โ„ต Fn On
35 fvelrnb 6952 . . . . . . . . . . 11 (โ„ต Fn On โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆˆ ran โ„ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
3733, 36imbitrdi 250 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) โ†ฆ (harโ€˜(๐‘งโ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) โ†ฆ (harโ€˜(๐‘งโ€˜๐‘ฆ)))
3938pwcfsdom 10580 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ‰บ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
41 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ)) = (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
4240, 41oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ))) = ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4340, 42breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ‰บ ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) โ†‘m (cfโ€˜(โ„ตโ€˜๐‘ฅ))) โ†” (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
4439, 43mpbii 232 . . . . . . . . . 10 ((โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4544rexlimivw 3151 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On (โ„ตโ€˜๐‘ฅ) = (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
4637, 45syl6 35 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
4746imp 407 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
48 ensdomtr 9115 . . . . . . 7 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โˆง (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
493, 47, 48sylancr 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
50 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V
5150enref 8983 . . . . . . . 8 (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ˆ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))
52 mapen 9143 . . . . . . . 8 (((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ˆ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ†’ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
532, 51, 52mp2an 690 . . . . . . 7 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
54 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ V
55 mapxpen 9145 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ V โˆง (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V) โ†’ ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
5654, 17, 50, 55mp3an 1461 . . . . . . 7 ((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
5753, 56entri 9006 . . . . . 6 ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
58 sdomentr 9113 . . . . . 6 (((๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โˆง ((cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†‘m (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ˆ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
5949, 57, 58sylancl 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
604xpdom2 9069 . . . . . . . . . 10 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
6116biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
62 infxpen 10011 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6317, 61, 62sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
64 domentr 9011 . . . . . . . . . 10 ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
6560, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
66 nsuceq0 6447 . . . . . . . . . . 11 suc 1o โ‰  โˆ…
67 dom0 9104 . . . . . . . . . . 11 (suc 1o โ‰ผ โˆ… โ†” suc 1o = โˆ…)
6866, 67nemtbir 3038 . . . . . . . . . 10 ยฌ suc 1o โ‰ผ โˆ…
69 df-2o 8469 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
7069breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . 13 (2o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ ๐ต)
71 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = โˆ… โ†’ (suc 1o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7270, 71bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = โˆ… โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†” suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7372biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7473adantld 491 . . . . . . . . . 10 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ suc 1o โ‰ผ โˆ…))
7568, 74mtoi 198 . . . . . . . . 9 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ ยฌ (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…))
76 mapdom2 9150 . . . . . . . . 9 ((((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ยฌ (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))) = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…)) โ†’ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
7765, 75, 76syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))
78 domnsym 9101 . . . . . . . 8 ((๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))) โ‰ผ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))))
8079expl 458 . . . . . 6 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))))
8180com12 32 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰บ (๐ต โ†‘m ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))))
8259, 81mt2d 136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ ยฌ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
83 domtri 10553 . . . . . 6 (((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โˆˆ V โˆง (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V) โ†’ ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
8450, 4, 83mp2an 690 . . . . 5 ((cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
8584biimpri 227 . . . 4 (ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
8682, 85nsyl2 141 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง 2o โ‰ผ ๐ต) โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
8786ex 413 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
88 fndm 6652 . . . . . 6 (โ„ต Fn On โ†’ dom โ„ต = On)
8934, 88ax-mp 5 . . . . 5 dom โ„ต = On
9089eleq2i 2825 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” ๐ด โˆˆ On)
91 ndmfv 6926 . . . 4 (ยฌ ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
9290, 91sylnbir 330 . . 3 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
93 1n0 8490 . . . . . 6 1o โ‰  โˆ…
94 1oex 8478 . . . . . . 7 1o โˆˆ V
95940sdom 9109 . . . . . 6 (โˆ… โ‰บ 1o โ†” 1o โ‰  โˆ…)
9693, 95mpbir 230 . . . . 5 โˆ… โ‰บ 1o
97 id 22 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ…)
98 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) = (๐ต โ†‘m โˆ…))
99 map0e 8878 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โ†‘m โˆ…) = 1o)
10054, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โ†‘m โˆ…) = 1o
10198, 100eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)) = 1o)
102101fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) = (cardโ€˜1o))
103 1onn 8641 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ ฯ‰
104 cardnn 9960 . . . . . . . . . 10 (1o โˆˆ ฯ‰ โ†’ (cardโ€˜1o) = 1o)
105103, 104ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (cardโ€˜1o) = 1o
106102, 105eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))) = 1o)
107106fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = (cfโ€˜1o))
108 df-1o 8468 . . . . . . . . 9 1o = suc โˆ…
109108fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (cfโ€˜1o) = (cfโ€˜suc โˆ…)
110 0elon 6418 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ On
111 cfsuc 10254 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜suc โˆ…) = 1o)
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . 8 (cfโ€˜suc โˆ…) = 1o
113109, 112eqtri 2760 . . . . . . 7 (cfโ€˜1o) = 1o
114107, 113eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) = 1o)
11597, 114breq12d 5161 . . . . 5 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))) โ†” โˆ… โ‰บ 1o))
11696, 115mpbiri 257 . . . 4 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
117116a1d 25 . . 3 ((โ„ตโ€˜๐ด) = โˆ… โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
11892, 117syl 17 . 2 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด))))))
11987, 118pm2.61i 182 1 (2o โ‰ผ ๐ต โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (cfโ€˜(cardโ€˜(๐ต โ†‘m (โ„ตโ€˜๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โˆช cun 3946   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  ๐’ซ cpw 4602   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  Oncon0 6364  suc csuc 6366   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  ฯ‰com 7857  1oc1o 8461  2oc2o 8462   โ†‘m cmap 8822   โ‰ˆ cen 8938   โ‰ผ cdom 8939   โ‰บ csdm 8940  Fincfn 8941  harchar 9553  cardccrd 9932  โ„ตcale 9933  cfccf 9934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-smo 8348  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-card 9936  df-aleph 9937  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10113
This theorem is referenced by:  alephom  10582
  Copyright terms: Public domain W3C validator