MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enp1iOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enp1iOLD 9312
Description: Obsolete version of enp1i 9311 as of 6-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
enp1iOLD.1 𝑀 ∈ ω
enp1iOLD.2 𝑁 = suc 𝑀
enp1iOLD.3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
enp1iOLD.4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
enp1iOLD (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1iOLD
StepHypRef Expression
1 nsuceq0 6469 . . . . 5 suc 𝑀 ≠ ∅
2 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3 enp1iOLD.2 . . . . . . . 8 𝑁 = suc 𝑀
4 ensym 9042 . . . . . . . . 9 (∅ ≈ 𝑁𝑁 ≈ ∅)
5 en0 9057 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
64, 5sylib 218 . . . . . . . 8 (∅ ≈ 𝑁𝑁 = ∅)
73, 6eqtr3id 2789 . . . . . . 7 (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
82, 7biimtrdi 253 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
98necon3ad 2951 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴𝑁))
101, 9mpi 20 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴𝑁)
1110con2i 139 . . 3 (𝐴𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12 neq0 4358 . . 3 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1311, 12sylib 218 . 2 (𝐴𝑁 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
143breq2i 5156 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 ≈ suc 𝑀)
15 enp1iOLD.1 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ω
16 dif1ennn 9200 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1715, 16mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18 enp1iOLD.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → 𝜑)
2019ex 412 . . . . 5 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥𝐴𝜑))
2114, 20sylbi 217 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜑))
22 enp1iOLD.4 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylcom 30 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜓))
2423eximdv 1915 . 2 (𝐴𝑁 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥𝜓))
2513, 24mpd 15 1 (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  suc csuc 6388  ωcom 7887  cen 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-er 8744  df-en 8985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator