Theorem enp1iOLD 9314

Description: Obsolete version of enp1i 9313 as of 6-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1iOLD.1	⊢ 𝑀 ∈ ω
enp1iOLD.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1iOLD.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1iOLD.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1iOLD	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1iOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6459	. . . . 5 ⊢ suc 𝑀 ≠ ∅
2		breq1 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3		enp1iOLD.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
4		ensym 9034	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 ≈ ∅)
5		en0 9049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 = ∅)
7	3, 6	eqtr3id 2780	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
8	2, 7	biimtrdi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
9	8	necon3ad 2943	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁))
10	1, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁)
11	10	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12		neq0 4348	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14	3	breq2i 5161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
15		enp1iOLD.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ω
16		dif1ennn 9199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
17	15, 16	mp3an1 1445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18		enp1iOLD.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
20	19	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
21	14, 20	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
22		enp1iOLD.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
23	21, 22	sylcom 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜓))
24	23	eximdv 1913	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝜓))
25	13, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3944  ∅c0 4325  {csn 4633   class class class wbr 5153  suc csuc 6378  ωcom 7876   ≈ cen 8971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-er 8734  df-en 8975

This theorem is referenced by: (None)