Theorem enp1iOLD 9182

Description: Obsolete version of enp1i 9181 as of 6-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
enp1iOLD.1	⊢ 𝑀 ∈ ω
enp1iOLD.2	⊢ 𝑁 = suc 𝑀
enp1iOLD.3	⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
enp1iOLD.4	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
enp1iOLD	⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1iOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsuceq0 6398	. . . . 5 ⊢ suc 𝑀 ≠ ∅
2		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3		enp1iOLD.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = suc 𝑀
4		ensym 8901	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 ≈ ∅)
5		en0 8915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → 𝑁 = ∅)
7	3, 6	eqtr3id 2791	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
8	2, 7	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
9	8	necon3ad 2954	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁))
10	1, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≈ 𝑁)
11	10	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12		neq0 4303	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14	3	breq2i 5111	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑀)
15		enp1iOLD.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ω
16		dif1ennn 9063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
17	15, 16	mp3an1 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18		enp1iOLD.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀 → 𝜑)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≈ suc 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
20	19	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
21	14, 20	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
22		enp1iOLD.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝜓))
23	21, 22	sylcom 30	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜓))
24	23	eximdv 1920	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝜓))
25	13, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑁 → ∃𝑥𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3905  ∅c0 4280  {csn 4584   class class class wbr 5103  suc csuc 6317  ωcom 7794   ≈ cen 8838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7795  df-er 8606  df-en 8842

This theorem is referenced by: (None)