MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enp1iOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enp1iOLD 9314
Description: Obsolete version of enp1i 9313 as of 6-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
enp1iOLD.1 𝑀 ∈ ω
enp1iOLD.2 𝑁 = suc 𝑀
enp1iOLD.3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
enp1iOLD.4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
enp1iOLD (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem enp1iOLD
StepHypRef Expression
1 nsuceq0 6467 . . . . 5 suc 𝑀 ≠ ∅
2 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 ↔ ∅ ≈ 𝑁))
3 enp1iOLD.2 . . . . . . . 8 𝑁 = suc 𝑀
4 ensym 9043 . . . . . . . . 9 (∅ ≈ 𝑁𝑁 ≈ ∅)
5 en0 9058 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≈ ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
64, 5sylib 218 . . . . . . . 8 (∅ ≈ 𝑁𝑁 = ∅)
73, 6eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (∅ ≈ 𝑁 → suc 𝑀 = ∅)
82, 7biimtrdi 253 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑁 → suc 𝑀 = ∅))
98necon3ad 2953 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (suc 𝑀 ≠ ∅ → ¬ 𝐴𝑁))
101, 9mpi 20 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴𝑁)
1110con2i 139 . . 3 (𝐴𝑁 → ¬ 𝐴 = ∅)
12 neq0 4352 . . 3 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1311, 12sylib 218 . 2 (𝐴𝑁 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
143breq2i 5151 . . . . 5 (𝐴𝑁𝐴 ≈ suc 𝑀)
15 enp1iOLD.1 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ω
16 dif1ennn 9201 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
1715, 16mp3an1 1450 . . . . . . 7 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀)
18 enp1iOLD.3 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 𝑀𝜑)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ suc 𝑀𝑥𝐴) → 𝜑)
2019ex 412 . . . . 5 (𝐴 ≈ suc 𝑀 → (𝑥𝐴𝜑))
2114, 20sylbi 217 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜑))
22 enp1iOLD.4 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylcom 30 . . 3 (𝐴𝑁 → (𝑥𝐴𝜓))
2423eximdv 1917 . 2 (𝐴𝑁 → (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥𝜓))
2513, 24mpd 15 1 (𝐴𝑁 → ∃𝑥𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  suc csuc 6386  ωcom 7887  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-er 8745  df-en 8986
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator