Theorem limenpsi 9179

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 ⊢ Lim 𝐴
3		limsuc 7864	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)
6		nsuceq0 6451	. . . . 5 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
7		eldifsn 4744	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8	5, 6, 7	sylanblrc 602	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9		limord 6427	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
11		ordelon 6389	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12	10, 11	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
13		ordelon 6389	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
14	10, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)
15		suc11 6475	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	12, 14, 15	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	dom3 9031	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
18	1, 17	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19		difss 4071	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20		ssdomg 9035	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
21	19, 20	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22		sbth 9124	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-en 8982  df-dom 8983

This theorem is used by:  limensuci  9180  omenps  9663  infdifsn  9665  ominf4  10397