MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limenpsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limenpsi 9191
Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
limenpsi.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limenpsi (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5335 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2 limenpsi.1 . . . . . . 7 Lim 𝐴
3 limsuc 7870 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴)
54biimpi 216 . . . . 5 (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)
6 nsuceq0 6469 . . . . 5 suc 𝑥 ≠ ∅
7 eldifsn 4791 . . . . 5 (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
85, 6, 7sylanblrc 590 . . . 4 (𝑥𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9 limord 6446 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
11 ordelon 6410 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1210, 11mpan 690 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
13 ordelon 6410 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
1410, 13mpan 690 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ On)
15 suc11 6493 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
1612, 14, 15syl2an 596 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
178, 16dom3 9035 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
181, 17mpdan 687 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19 difss 4146 . . 3 (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20 ssdomg 9039 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
2119, 20mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22 sbth 9132 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
2318, 21, 22syl2anc 584 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  suc csuc 6388  cen 8981  cdom 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-en 8985  df-dom 8986
This theorem is referenced by:  limensuci  9192  omenps  9693  infdifsn  9695  ominf4  10350
  Copyright terms: Public domain W3C validator