Theorem limenpsi 9124

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 ⊢ Lim 𝐴
3		limsuc 7829	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)
6		nsuceq0 6431	. . . . 5 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
7		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8	5, 6, 7	sylanblrc 599	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9		limord 6407	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
11		ordelon 6370	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12	10, 11	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
13		ordelon 6370	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
14	10, 13	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)
15		suc11 6455	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	12, 14, 15	syl2an 605	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	dom3 8977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
18	1, 17	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19		difss 4089	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20		ssdomg 8981	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
21	19, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22		sbth 9069	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
23	18, 21, 22	syl2anc 593	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582   class class class wbr 5100  Ord word 6345  Oncon0 6346  Lim wlim 6347  suc csuc 6348   ≈ cen 8924   ≼ cdom 8925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-en 8928  df-dom 8929

This theorem is referenced by:  limensuci  9125  omenps  9610  infdifsn  9612  ominf4  10269