Theorem limenpsi 9147

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5302	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 ⊢ Lim 𝐴
3		limsuc 7851	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)
6		nsuceq0 6450	. . . . 5 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
7		eldifsn 4755	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8	5, 6, 7	sylanblrc 602	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9		limord 6426	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
11		ordelon 6388	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12	10, 11	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
13		ordelon 6388	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
14	10, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)
15		suc11 6474	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	12, 14, 15	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	dom3 8999	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
18	1, 17	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19		difss 4090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20		ssdomg 9003	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
21	19, 20	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22		sbth 9092	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-en 8950  df-dom 8951

This theorem is used by:  limensuci  9148  omenps  9631  infdifsn  9633  ominf4  10311