Theorem limenpsi 9151

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5294	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 ⊢ Lim 𝐴
3		limsuc 7846	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)
6		nsuceq0 6443	. . . . 5 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
7		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8	5, 6, 7	sylanblrc 602	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9		limord 6419	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
11		ordelon 6381	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12	10, 11	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
13		ordelon 6381	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
14	10, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)
15		suc11 6467	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	12, 14, 15	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	dom3 9003	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
18	1, 17	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19		difss 4083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20		ssdomg 9007	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
21	19, 20	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22		sbth 9096	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
23	18, 21, 22	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  Ord word 6356  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359   ≈ cen 8950   ≼ cdom 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-en 8954  df-dom 8955

This theorem is used by:  limensuci  9152  omenps  9635  infdifsn  9637  ominf4  10315