MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limenpsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limenpsi 8423
Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
limenpsi.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limenpsi (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5045 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2 limenpsi.1 . . . . . . 7 Lim 𝐴
3 limsuc 7327 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴)
54biimpi 208 . . . . 5 (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)
6 nsuceq0 6056 . . . . 5 suc 𝑥 ≠ ∅
7 eldifsn 4550 . . . . 5 (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
85, 6, 7sylanblrc 584 . . . 4 (𝑥𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9 limord 6035 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
11 ordelon 6000 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1210, 11mpan 680 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
13 ordelon 6000 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
1410, 13mpan 680 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ On)
15 suc11 6079 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
1612, 14, 15syl2an 589 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
178, 16dom3 8285 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
181, 17mpdan 677 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19 difss 3960 . . 3 (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20 ssdomg 8287 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
2119, 20mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22 sbth 8368 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
2318, 21, 22syl2anc 579 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  cdif 3789  wss 3792  c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4886  Ord word 5975  Oncon0 5976  Lim wlim 5977  suc csuc 5978  cen 8238  cdom 8239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-en 8242  df-dom 8243
This theorem is referenced by:  limensuci  8424  omenps  8849  infdifsn  8851  ominf4  9469
  Copyright terms: Public domain W3C validator