MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limenpsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limenpsi 9218
Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
limenpsi.1 Lim 𝐴
Assertion
Ref Expression
limenpsi (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5347 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2 limenpsi.1 . . . . . . 7 Lim 𝐴
3 limsuc 7886 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑥𝐴)
54biimpi 216 . . . . 5 (𝑥𝐴 → suc 𝑥𝐴)
6 nsuceq0 6478 . . . . 5 suc 𝑥 ≠ ∅
7 eldifsn 4811 . . . . 5 (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
85, 6, 7sylanblrc 589 . . . 4 (𝑥𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9 limord 6455 . . . . . . 7 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Ord 𝐴
11 ordelon 6419 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ On)
1210, 11mpan 689 . . . . 5 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
13 ordelon 6419 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
1410, 13mpan 689 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ On)
15 suc11 6502 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
1612, 14, 15syl2an 595 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦𝑥 = 𝑦))
178, 16dom3 9056 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
181, 17mpdan 686 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19 difss 4159 . . 3 (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20 ssdomg 9060 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
2119, 20mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22 sbth 9159 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
2318, 21, 22syl2anc 583 1 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  Vcvv 3488  cdif 3973  wss 3976  c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  Ord word 6394  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  suc csuc 6397  cen 9000  cdom 9001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-en 9004  df-dom 9005
This theorem is referenced by:  limensuci  9219  omenps  9724  infdifsn  9726  ominf4  10381
  Copyright terms: Public domain W3C validator