Theorem limenpsi 9166

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V)
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 ⊢ Lim 𝐴
3		limsuc 7844	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)
6		nsuceq0 6437	. . . . 5 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
7		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (suc 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
8	5, 6, 7	sylanblrc 590	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}))
9		limord 6413	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
11		ordelon 6376	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
12	10, 11	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
13		ordelon 6376	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
14	10, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ On)
15		suc11 6461	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
16	12, 14, 15	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑥 = suc 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	dom3 9010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
18	1, 17	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}))
19		difss 4111	. . 3 ⊢ (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴
20		ssdomg 9014	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴))
21	19, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
22		sbth 9107	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119  Ord word 6351  Oncon0 6352  Lim wlim 6353  suc csuc 6354   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-en 8960  df-dom 8961

This theorem is referenced by:  limensuci  9167  omenps  9669  infdifsn  9671  ominf4  10326