Theorem dfsucon 44618

Description: 𝐴 is called a successor ordinal if it is not a limit ordinal and not the empty set. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dfsucon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dfsucon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancomb 1116	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐴))
2		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ Lim 𝐴))
3		df-ne 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
4	3	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
5	4	imbi1i 352	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6		pm5.6 1017	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) ↔ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
7		iman 407	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) ↔ ¬ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
8	5, 6, 7	3bitrri 301	. . . . . 6 ⊢ (¬ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
9		dflim3 7859	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
10	8, 9	xchnxbir 336	. . . . 5 ⊢ (¬ Lim 𝐴 ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
11	10	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ Lim 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
12	1, 2, 11	3bitri 300	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
13		pm3.35 815	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
14	12, 13	sylbi 220	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
15		eloni 6372	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
16		ordsuc 7826	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ Ord suc 𝑥)
17	15, 16	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord suc 𝑥)
18		nlimsuc 44536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → ¬ Lim suc 𝑥)
19		nsuceq0 6448	. . . . . 6 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → suc 𝑥 ≠ ∅)
21	17, 18, 20	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (Ord suc 𝑥 ∧ ¬ Lim suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
22		ordeq 6369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝑥))
23		limeq 6374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (Lim 𝐴 ↔ Lim suc 𝑥))
24	23	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ Lim 𝐴 ↔ ¬ Lim suc 𝑥))
25		neeq1 3017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ suc 𝑥 ≠ ∅))
26	22, 24, 25	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord suc 𝑥 ∧ ¬ Lim suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅)))
27	21, 26	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
28	27	rexlimiv 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
29	14, 28	impbii 212	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368

This theorem is used by: (None)