Theorem dfsucon 42274

Description: 𝐴 is called a successor ordinal if it is not a limit ordinal and not the empty set. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dfsucon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dfsucon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancomb 1100	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐴))
2		df-3an 1090	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ Lim 𝐴))
3		df-ne 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
4	3	anbi2i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
5	4	imbi1i 350	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6		pm5.6 1001	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) ↔ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
7		iman 403	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) ↔ ¬ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
8	5, 6, 7	3bitrri 298	. . . . . 6 ⊢ (¬ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
9		dflim3 7836	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
10	8, 9	xchnxbir 333	. . . . 5 ⊢ (¬ Lim 𝐴 ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
11	10	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ Lim 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
12	1, 2, 11	3bitri 297	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
13		pm3.35 802	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
14	12, 13	sylbi 216	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
15		eloni 6375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
16		ordsuc 7801	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝑥 ↔ Ord suc 𝑥)
17	15, 16	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord suc 𝑥)
18		nlimsuc 42192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → ¬ Lim suc 𝑥)
19		nsuceq0 6448	. . . . . 6 ⊢ suc 𝑥 ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → suc 𝑥 ≠ ∅)
21	17, 18, 20	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (Ord suc 𝑥 ∧ ¬ Lim suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
22		ordeq 6372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝑥))
23		limeq 6377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (Lim 𝐴 ↔ Lim suc 𝑥))
24	23	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ Lim 𝐴 ↔ ¬ Lim suc 𝑥))
25		neeq1 3004	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ suc 𝑥 ≠ ∅))
26	22, 24, 25	3anbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord suc 𝑥 ∧ ¬ Lim suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅)))
27	21, 26	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅)))
28	27	rexlimiv 3149	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
29	14, 28	impbii 208	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ∅c0 4323  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371

This theorem is referenced by: (None)