Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfsucon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfsucon 43536
Description: 𝐴 is called a successor ordinal if it is not a limit ordinal and not the empty set. (Contributed by RP, 11-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
dfsucon ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dfsucon
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1099 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐴))
2 df-3an 1089 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ Lim 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ Lim 𝐴))
3 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
43anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
54imbi1i 349 . . . . . . 7 (((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) ↔ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6 pm5.6 1004 . . . . . . 7 (((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥) ↔ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
7 iman 401 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) ↔ ¬ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
85, 6, 73bitrri 298 . . . . . 6 (¬ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
9 dflim3 7868 . . . . . 6 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
108, 9xchnxbir 333 . . . . 5 (¬ Lim 𝐴 ↔ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
1110anbi2i 623 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ Lim 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
121, 2, 113bitri 297 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)))
13 pm3.35 803 . . 3 (((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
1412, 13sylbi 217 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
15 eloni 6394 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
16 ordsuc 7833 . . . . . 6 (Ord 𝑥 ↔ Ord suc 𝑥)
1715, 16sylib 218 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → Ord suc 𝑥)
18 nlimsuc 43454 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → ¬ Lim suc 𝑥)
19 nsuceq0 6467 . . . . . 6 suc 𝑥 ≠ ∅
2019a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → suc 𝑥 ≠ ∅)
2117, 18, 203jca 1129 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (Ord suc 𝑥 ∧ ¬ Lim suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅))
22 ordeq 6391 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝑥))
23 limeq 6396 . . . . . 6 (𝐴 = suc 𝑥 → (Lim 𝐴 ↔ Lim suc 𝑥))
2423notbid 318 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ Lim 𝐴 ↔ ¬ Lim suc 𝑥))
25 neeq1 3003 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ suc 𝑥 ≠ ∅))
2622, 24, 253anbi123d 1438 . . . 4 (𝐴 = suc 𝑥 → ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅) ↔ (Ord suc 𝑥 ∧ ¬ Lim suc 𝑥 ∧ suc 𝑥 ≠ ∅)))
2721, 26syl5ibrcom 247 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅)))
2827rexlimiv 3148 . 2 (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → (Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2914, 28impbii 209 1 ((Ord 𝐴 ∧ ¬ Lim 𝐴𝐴 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  c0 4333  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator