Theorem 0elsuc 7682

Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0elsuc	⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem 0elsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7661	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		nsuceq0 6346	. . 3 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅
3		ord0eln0 6320	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (∅ ∈ suc 𝐴 ↔ suc 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	mpbiri 257	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
5	1, 4	sylbi 216	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256  Ord word 6265  suc csuc 6268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272

This theorem is referenced by:  oesuclem  8355  ssttrcl  9473  ttrcltr  9474  ttrclss  9478  ttrclselem2  9484  axdc3lem2  10207  axdc3lem4  10209  minregex  41141