Theorem 0elsuc 7775

Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0elsuc	⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem 0elsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7754	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		nsuceq0 6395	. . 3 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅
3		ord0eln0 6366	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (∅ ∈ suc 𝐴 ↔ suc 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	mpbiri 259	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
5	1, 4	sylbi 218	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  Ord word 6309  suc csuc 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316

This theorem is referenced by:  oesuclem  8450  nnaordex2  8565  ssttrcl  9627  ttrcltr  9628  ttrclss  9632  ttrclselem2  9638  axdc3lem2  10364  axdc3lem4  10366  fineqvnttrclse  35305  onov0suclim  43719  minregex  43978