Theorem 0elsuc 7768

Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0elsuc	⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem 0elsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7747	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		nsuceq0 6392	. . 3 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅
3		ord0eln0 6363	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (∅ ∈ suc 𝐴 ↔ suc 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284  Ord word 6306  suc csuc 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313

This theorem is referenced by:  oesuclem  8443  nnaordex2  8557  ssttrcl  9611  ttrcltr  9612  ttrclss  9616  ttrclselem2  9622  axdc3lem2  10345  axdc3lem4  10347  fineqvnttrclse  35083  onov0suclim  43257  minregex  43517