MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elsuc 7633
Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
0elsuc (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem 0elsuc
StepHypRef Expression
1 ordsuc 7612 . 2 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2 nsuceq0 6311 . . 3 suc 𝐴 ≠ ∅
3 ord0eln0 6285 . . 3 (Ord suc 𝐴 → (∅ ∈ suc 𝐴 ↔ suc 𝐴 ≠ ∅))
42, 3mpbiri 261 . 2 (Ord suc 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
51, 4sylbi 220 1 (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  wne 2941  c0 4252  Ord word 6230  suc csuc 6233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2159  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pr 5337  ax-un 7542
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2072  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3423  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5177  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-ord 6234  df-on 6235  df-suc 6237
This theorem is referenced by:  oesuclem  8273  axdc3lem2  10090  axdc3lem4  10092  ssttrcl  33540  ttrcltr  33541  ttrclss  33545  ttrclselem2  33551
  Copyright terms: Public domain W3C validator