Theorem 0elsuc 7800

Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0elsuc	⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem 0elsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7779	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		nsuceq0 6416	. . 3 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅
3		ord0eln0 6387	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (∅ ∈ suc 𝐴 ↔ suc 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	mpbiri 260	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
5	1, 4	sylbi 219	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∅c0 4276  Ord word 6330  suc csuc 6333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-sb 2081  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-tr 5198  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-ord 6334  df-on 6335  df-suc 6337

This theorem is referenced by:  oesuclem  8478  nnaordex2  8593  ssttrcl  9656  ttrcltr  9657  ttrclss  9661  ttrclselem2  9667  axdc3lem2  10394  axdc3lem4  10396  fineqvnttrclse  35365  onov0suclim  43789  minregex  44048