Theorem 0elsuc 7853

Description: The successor of an ordinal class contains the empty set. (Contributed by NM, 4-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0elsuc	⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem 0elsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7832	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2		nsuceq0 6454	. . 3 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅
3		ord0eln0 6425	. . 3 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (∅ ∈ suc 𝐴 ↔ suc 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ∅ ∈ suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∅c0 4280  Ord word 6367  suc csuc 6370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374

This theorem is used by:  oesuclem  8544  nnaordex2  8659  ssttrcl  9726  ttrcltr  9727  ttrclss  9731  ttrclselem2  9737  axdc3lem2  10539  axdc3lem4  10541  fineqvnttrclse  35863  onov0suclim  44416  minregex  44675