Theorem 1no 27818

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27816	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27817	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5399	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27784	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27790	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2833	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   No csur 27619   <<s cslts 27765   |s ccuts 27767   0_s c0s 27813   1_s c1s 27814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815  df-1s 27816

This theorem is referenced by:  cuteq1  27825  right1s  27904  peano2no  27992  ltsp1d  28023  neg1s  28035  ltsm1d  28110  mulsrid  28121  mulslid  28150  divs1  28212  precsexlem8  28222  precsexlem9  28223  precsexlem10  28224  precsexlem11  28225  divsrecd  28242  divsdird  28243  1ons  28265  n0cut  28342  n0cut2  28343  n0on  28344  n0sge0  28346  n0s0suc  28350  nnsge1  28351  n0addscl  28352  n0mulscl  28353  1n0s  28356  nnsrecgt0d  28359  n0fincut  28363  n0s0m1  28370  n0subs  28371  n0ltsp1le  28373  n0lesltp1  28374  n0lesm1lt  28375  n0lts1e0  28376  n0p1nns  28379  dfnns2  28380  nnsind  28381  nn1m1nns  28382  nnm1n0s  28383  eucliddivs  28384  nnzs  28394  0zs  28396  elzn0s  28406  peano5uzs  28412  zcuts  28415  no2times  28425  n0seo  28429  zseo  28430  twocut  28431  nohalf  28432  expsval  28433  exps1  28436  expsp1  28437  expscl  28439  expadds  28443  pw2recs  28446  pw2divsrecd  28455  pw2divsdird  28456  pw2divsidd  28464  halfcut  28466  addhalfcut  28467  pw2cut  28468  pw2cutp1  28469  pw2cut2  28470  bdaypw2n0bndlem  28471  bdaypw2bnd  28473  bdayfinbndlem1  28475  z12bdaylem1  28478  z12bdaylem2  28479  recut  28502  elreno2  28503  0reno  28504  1reno  28505  renegscl  28506  readdscl  28507  remulscllem1  28508  remulscl  28510