Theorem 1no 28226

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 28224	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 28225	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5416	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 28192	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 28198	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No)
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2860	1 ⊢ 1s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   <<s cslts 28173   |s ccuts 28175   0_s c0s 28221   1_s c1s 28222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224

This theorem is used by:  cuteq1  28233  right1s  28312  peano2no  28400  ltsp1d  28431  neg1s  28443  ltsm1d  28518  mulsrid  28529  mulslid  28558  divs1  28620  precsexlem8  28630  precsexlem9  28631  precsexlem10  28632  precsexlem11  28633  divsrecd  28650  divsdird  28651  1ons  28673  n0cut  28750  n0cut2  28751  n0on  28752  n0sge0  28754  n0s0suc  28758  nnsge1  28759  n0addscl  28760  n0mulscl  28761  1n0s  28764  nnsrecgt0d  28767  n0fincut  28771  n0s0m1  28778  n0subs  28779  n0ltsp1le  28781  n0lesltp1  28782  n0lesm1lt  28783  n0lts1e0  28784  n0p1nns  28787  dfnns2  28788  nnsind  28789  nn1m1nns  28790  nnm1n0s  28791  eucliddivs  28792  nnzs  28802  0zs  28804  elzn0s  28814  peano5uzs  28820  zcuts  28823  no2times  28833  n0seo  28837  zseo  28838  twocut  28839  nohalf  28840  expsval  28841  exps1  28844  expsp1  28845  expscl  28847  expadds  28851  pw2recs  28854  pw2divsrecd  28863  pw2divsdird  28864  pw2divsidd  28872  halfcut  28874  addhalfcut  28875  pw2cut  28876  pw2cutp1  28877  pw2cut2  28878  bdaypw2n0bndlem  28879  bdaypw2bnd  28881  bdayfinbndlem1  28883  z12bdaylem1  28886  z12bdaylem2  28887  recut  28910  elreno2  28911  0reno  28912  1reno  28913  renegscl  28914  readdscl  28915  remulscllem1  28916  remulscl  28918