Theorem 1no 27806

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27804	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27805	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5392	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27772	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27778	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2832	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   No csur 27607   <<s cslts 27753   |s ccuts 27755   0_s c0s 27801   1_s c1s 27802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803  df-1s 27804

This theorem is referenced by:  cuteq1  27813  right1s  27892  peano2no  27980  ltsp1d  28011  neg1s  28023  ltsm1d  28098  mulsrid  28109  mulslid  28138  divs1  28200  precsexlem8  28210  precsexlem9  28211  precsexlem10  28212  precsexlem11  28213  divsrecd  28230  divsdird  28231  1ons  28253  n0cut  28330  n0cut2  28331  n0on  28332  n0sge0  28334  n0s0suc  28338  nnsge1  28339  n0addscl  28340  n0mulscl  28341  1n0s  28344  nnsrecgt0d  28347  n0fincut  28351  n0s0m1  28358  n0subs  28359  n0ltsp1le  28361  n0lesltp1  28362  n0lesm1lt  28363  n0lts1e0  28364  n0p1nns  28367  dfnns2  28368  nnsind  28369  nn1m1nns  28370  nnm1n0s  28371  eucliddivs  28372  nnzs  28382  0zs  28384  elzn0s  28394  peano5uzs  28400  zcuts  28403  no2times  28413  n0seo  28417  zseo  28418  twocut  28419  nohalf  28420  expsval  28421  exps1  28424  expsp1  28425  expscl  28427  expadds  28431  pw2recs  28434  pw2divsrecd  28443  pw2divsdird  28444  pw2divsidd  28452  halfcut  28454  addhalfcut  28455  pw2cut  28456  pw2cutp1  28457  pw2cut2  28458  bdaypw2n0bndlem  28459  bdaypw2bnd  28461  bdayfinbndlem1  28463  z12bdaylem1  28466  z12bdaylem2  28467  recut  28490  elreno2  28491  0reno  28492  1reno  28493  renegscl  28494  readdscl  28495  remulscllem1  28496  remulscl  28498