Theorem 1no 28178

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 28176	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 28177	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5412	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 28144	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 28150	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2857	1 ⊢ 1s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   No csur 27979   <<s cslts 28125   |s ccuts 28127   0_s c0s 28173   1_s c1s 28174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175  df-1s 28176

This theorem is used by:  cuteq1  28185  right1s  28264  peano2no  28352  ltsp1d  28383  neg1s  28395  ltsm1d  28470  mulsrid  28481  mulslid  28510  divs1  28572  precsexlem8  28582  precsexlem9  28583  precsexlem10  28584  precsexlem11  28585  divsrecd  28602  divsdird  28603  1ons  28625  n0cut  28702  n0cut2  28703  n0on  28704  n0sge0  28706  n0s0suc  28710  nnsge1  28711  n0addscl  28712  n0mulscl  28713  1n0s  28716  nnsrecgt0d  28719  n0fincut  28723  n0s0m1  28730  n0subs  28731  n0ltsp1le  28733  n0lesltp1  28734  n0lesm1lt  28735  n0lts1e0  28736  n0p1nns  28739  dfnns2  28740  nnsind  28741  nn1m1nns  28742  nnm1n0s  28743  eucliddivs  28744  nnzs  28754  0zs  28756  elzn0s  28766  peano5uzs  28772  zcuts  28775  no2times  28785  n0seo  28789  zseo  28790  twocut  28791  nohalf  28792  expsval  28793  exps1  28796  expsp1  28797  expscl  28799  expadds  28803  pw2recs  28806  pw2divsrecd  28815  pw2divsdird  28816  pw2divsidd  28824  halfcut  28826  addhalfcut  28827  pw2cut  28828  pw2cutp1  28829  pw2cut2  28830  bdaypw2n0bndlem  28831  bdaypw2bnd  28833  bdayfinbndlem1  28835  z12bdaylem1  28838  z12bdaylem2  28839  recut  28862  elreno2  28863  0reno  28864  1reno  28865  renegscl  28866  readdscl  28867  remulscllem1  28868  remulscl  28870