Theorem 1no 27880

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27878	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27879	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5410	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27846	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27852	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2857	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392   No csur 27681   <<s cslts 27827   |s ccuts 27829   0_s c0s 27875   1_s c1s 27876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-0s 27877  df-1s 27878

This theorem is referenced by:  cuteq1  27887  right1s  27966  peano2no  28054  ltsp1d  28085  neg1s  28097  ltsm1d  28172  mulsrid  28183  mulslid  28212  divs1  28274  precsexlem8  28284  precsexlem9  28285  precsexlem10  28286  precsexlem11  28287  divsrecd  28304  divsdird  28305  1ons  28327  n0cut  28404  n0cut2  28405  n0on  28406  n0sge0  28408  n0s0suc  28412  nnsge1  28413  n0addscl  28414  n0mulscl  28415  1n0s  28418  nnsrecgt0d  28421  n0fincut  28425  n0s0m1  28432  n0subs  28433  n0ltsp1le  28435  n0lesltp1  28436  n0lesm1lt  28437  n0lts1e0  28438  n0p1nns  28441  dfnns2  28442  nnsind  28443  nn1m1nns  28444  nnm1n0s  28445  eucliddivs  28446  nnzs  28456  0zs  28458  elzn0s  28468  peano5uzs  28474  zcuts  28477  no2times  28487  n0seo  28491  zseo  28492  twocut  28493  nohalf  28494  expsval  28495  exps1  28498  expsp1  28499  expscl  28501  expadds  28505  pw2recs  28508  pw2divsrecd  28517  pw2divsdird  28518  pw2divsidd  28526  halfcut  28528  addhalfcut  28529  pw2cut  28530  pw2cutp1  28531  pw2cut2  28532  bdaypw2n0bndlem  28533  bdaypw2bnd  28535  bdayfinbndlem1  28537  z12bdaylem1  28540  z12bdaylem2  28541  recut  28564  elreno2  28565  0reno  28566  1reno  28567  renegscl  28568  readdscl  28569  remulscllem1  28570  remulscl  28572