Theorem 1no 28201

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 28199	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 28200	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5411	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 28167	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 28173	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No)
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2856	1 ⊢ 1s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <<s cslts 28148   |s ccuts 28150   0_s c0s 28196   1_s c1s 28197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-1s 28199

This theorem is used by:  cuteq1  28208  right1s  28287  peano2no  28375  ltsp1d  28406  neg1s  28418  ltsm1d  28493  mulsrid  28504  mulslid  28533  divs1  28595  precsexlem8  28605  precsexlem9  28606  precsexlem10  28607  precsexlem11  28608  divsrecd  28625  divsdird  28626  1ons  28648  n0cut  28725  n0cut2  28726  n0on  28727  n0sge0  28729  n0s0suc  28733  nnsge1  28734  n0addscl  28735  n0mulscl  28736  1n0s  28739  nnsrecgt0d  28742  n0fincut  28746  n0s0m1  28753  n0subs  28754  n0ltsp1le  28756  n0lesltp1  28757  n0lesm1lt  28758  n0lts1e0  28759  n0p1nns  28762  dfnns2  28763  nnsind  28764  nn1m1nns  28765  nnm1n0s  28766  eucliddivs  28767  nnzs  28777  0zs  28779  elzn0s  28789  peano5uzs  28795  zcuts  28798  no2times  28808  n0seo  28812  zseo  28813  twocut  28814  nohalf  28815  expsval  28816  exps1  28819  expsp1  28820  expscl  28822  expadds  28826  pw2recs  28829  pw2divsrecd  28838  pw2divsdird  28839  pw2divsidd  28847  halfcut  28849  addhalfcut  28850  pw2cut  28851  pw2cutp1  28852  pw2cut2  28853  bdaypw2n0bndlem  28854  bdaypw2bnd  28856  bdayfinbndlem1  28858  z12bdaylem1  28861  z12bdaylem2  28862  recut  28885  elreno2  28886  0reno  28887  1reno  28888  renegscl  28889  readdscl  28890  remulscllem1  28891  remulscl  28893