Theorem 1no 28040

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 28038	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 28039	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5430	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 28006	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 28012	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2862	1 ⊢ 1s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   No csur 27841   <<s cslts 27987   |s ccuts 27989   0_s c0s 28035   1_s c1s 28036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-slts 27988  df-cuts 27990  df-0s 28037  df-1s 28038

This theorem is used by:  cuteq1  28047  right1s  28126  peano2no  28214  ltsp1d  28245  neg1s  28257  ltsm1d  28332  mulsrid  28343  mulslid  28372  divs1  28434  precsexlem8  28444  precsexlem9  28445  precsexlem10  28446  precsexlem11  28447  divsrecd  28464  divsdird  28465  1ons  28487  n0cut  28564  n0cut2  28565  n0on  28566  n0sge0  28568  n0s0suc  28572  nnsge1  28573  n0addscl  28574  n0mulscl  28575  1n0s  28578  nnsrecgt0d  28581  n0fincut  28585  n0s0m1  28592  n0subs  28593  n0ltsp1le  28595  n0lesltp1  28596  n0lesm1lt  28597  n0lts1e0  28598  n0p1nns  28601  dfnns2  28602  nnsind  28603  nn1m1nns  28604  nnm1n0s  28605  eucliddivs  28606  nnzs  28616  0zs  28618  elzn0s  28628  peano5uzs  28634  zcuts  28637  no2times  28647  n0seo  28651  zseo  28652  twocut  28653  nohalf  28654  expsval  28655  exps1  28658  expsp1  28659  expscl  28661  expadds  28665  pw2recs  28668  pw2divsrecd  28677  pw2divsdird  28678  pw2divsidd  28686  halfcut  28688  addhalfcut  28689  pw2cut  28690  pw2cutp1  28691  pw2cut2  28692  bdaypw2n0bndlem  28693  bdaypw2bnd  28695  bdayfinbndlem1  28697  z12bdaylem1  28700  z12bdaylem2  28701  recut  28724  elreno2  28725  0reno  28726  1reno  28727  renegscl  28728  readdscl  28729  remulscllem1  28730  remulscl  28732