Theorem 1no 27816

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27814	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27815	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5391	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27782	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27788	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2833	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360   No csur 27617   <<s cslts 27763   |s ccuts 27765   0_s c0s 27811   1_s c1s 27812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-1s 27814

This theorem is referenced by:  cuteq1  27823  right1s  27902  peano2no  27990  ltsp1d  28021  neg1s  28033  ltsm1d  28108  mulsrid  28119  mulslid  28148  divs1  28210  precsexlem8  28220  precsexlem9  28221  precsexlem10  28222  precsexlem11  28223  divsrecd  28240  divsdird  28241  1ons  28263  n0cut  28340  n0cut2  28341  n0on  28342  n0sge0  28344  n0s0suc  28348  nnsge1  28349  n0addscl  28350  n0mulscl  28351  1n0s  28354  nnsrecgt0d  28357  n0fincut  28361  n0s0m1  28368  n0subs  28369  n0ltsp1le  28371  n0lesltp1  28372  n0lesm1lt  28373  n0lts1e0  28374  n0p1nns  28377  dfnns2  28378  nnsind  28379  nn1m1nns  28380  nnm1n0s  28381  eucliddivs  28382  nnzs  28392  0zs  28394  elzn0s  28404  peano5uzs  28410  zcuts  28413  no2times  28423  n0seo  28427  zseo  28428  twocut  28429  nohalf  28430  expsval  28431  exps1  28434  expsp1  28435  expscl  28437  expadds  28441  pw2recs  28444  pw2divsrecd  28453  pw2divsdird  28454  pw2divsidd  28462  halfcut  28464  addhalfcut  28465  pw2cut  28466  pw2cutp1  28467  pw2cut2  28468  bdaypw2n0bndlem  28469  bdaypw2bnd  28471  bdayfinbndlem1  28473  z12bdaylem1  28476  z12bdaylem2  28477  recut  28500  elreno2  28501  0reno  28502  1reno  28503  renegscl  28504  readdscl  28505  remulscllem1  28506  remulscl  28508