Theorem 1no 28083

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 28081	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 28082	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5423	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 28049	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 28055	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2858	1 ⊢ 1s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417   No csur 27884   <<s cslts 28030   |s ccuts 28032   0_s c0s 28078   1_s c1s 28079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-1s 28081

This theorem is used by:  cuteq1  28090  right1s  28169  peano2no  28257  ltsp1d  28288  neg1s  28300  ltsm1d  28375  mulsrid  28386  mulslid  28415  divs1  28477  precsexlem8  28487  precsexlem9  28488  precsexlem10  28489  precsexlem11  28490  divsrecd  28507  divsdird  28508  1ons  28530  n0cut  28607  n0cut2  28608  n0on  28609  n0sge0  28611  n0s0suc  28615  nnsge1  28616  n0addscl  28617  n0mulscl  28618  1n0s  28621  nnsrecgt0d  28624  n0fincut  28628  n0s0m1  28635  n0subs  28636  n0ltsp1le  28638  n0lesltp1  28639  n0lesm1lt  28640  n0lts1e0  28641  n0p1nns  28644  dfnns2  28645  nnsind  28646  nn1m1nns  28647  nnm1n0s  28648  eucliddivs  28649  nnzs  28659  0zs  28661  elzn0s  28671  peano5uzs  28677  zcuts  28680  no2times  28690  n0seo  28694  zseo  28695  twocut  28696  nohalf  28697  expsval  28698  exps1  28701  expsp1  28702  expscl  28704  expadds  28708  pw2recs  28711  pw2divsrecd  28720  pw2divsdird  28721  pw2divsidd  28729  halfcut  28731  addhalfcut  28732  pw2cut  28733  pw2cutp1  28734  pw2cut2  28735  bdaypw2n0bndlem  28736  bdaypw2bnd  28738  bdayfinbndlem1  28740  z12bdaylem1  28743  z12bdaylem2  28744  recut  28767  elreno2  28768  0reno  28769  1reno  28770  renegscl  28771  readdscl  28772  remulscllem1  28773  remulscl  28775