Theorem 1no 27961

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27959	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27960	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5416	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27927	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27933	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2861	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400   No csur 27762   <<s cslts 27908   |s ccuts 27910   0_s c0s 27956   1_s c1s 27957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958  df-1s 27959

This theorem is referenced by:  cuteq1  27968  right1s  28047  peano2no  28135  ltsp1d  28166  neg1s  28178  ltsm1d  28253  mulsrid  28264  mulslid  28293  divs1  28355  precsexlem8  28365  precsexlem9  28366  precsexlem10  28367  precsexlem11  28368  divsrecd  28385  divsdird  28386  1ons  28408  n0cut  28485  n0cut2  28486  n0on  28487  n0sge0  28489  n0s0suc  28493  nnsge1  28494  n0addscl  28495  n0mulscl  28496  1n0s  28499  nnsrecgt0d  28502  n0fincut  28506  n0s0m1  28513  n0subs  28514  n0ltsp1le  28516  n0lesltp1  28517  n0lesm1lt  28518  n0lts1e0  28519  n0p1nns  28522  dfnns2  28523  nnsind  28524  nn1m1nns  28525  nnm1n0s  28526  eucliddivs  28527  nnzs  28537  0zs  28539  elzn0s  28549  peano5uzs  28555  zcuts  28558  no2times  28568  n0seo  28572  zseo  28573  twocut  28574  nohalf  28575  expsval  28576  exps1  28579  expsp1  28580  expscl  28582  expadds  28586  pw2recs  28589  pw2divsrecd  28598  pw2divsdird  28599  pw2divsidd  28607  halfcut  28609  addhalfcut  28610  pw2cut  28611  pw2cutp1  28612  pw2cut2  28613  bdaypw2n0bndlem  28614  bdaypw2bnd  28616  bdayfinbndlem1  28618  z12bdaylem1  28621  z12bdaylem2  28622  recut  28645  elreno2  28646  0reno  28647  1reno  28648  renegscl  28649  readdscl  28650  remulscllem1  28651  remulscl  28653