Theorem 1no 27827

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27825	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27826	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5390	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27793	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27799	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2836	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363   No csur 27628   <<s cslts 27774   |s ccuts 27776   0_s c0s 27822   1_s c1s 27823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-0s 27824  df-1s 27825

This theorem is referenced by:  cuteq1  27834  right1s  27913  peano2no  28001  ltsp1d  28032  neg1s  28044  ltsm1d  28119  mulsrid  28130  mulslid  28159  divs1  28221  precsexlem8  28231  precsexlem9  28232  precsexlem10  28233  precsexlem11  28234  divsrecd  28251  divsdird  28252  1ons  28274  n0cut  28351  n0cut2  28352  n0on  28353  n0sge0  28355  n0s0suc  28359  nnsge1  28360  n0addscl  28361  n0mulscl  28362  1n0s  28365  nnsrecgt0d  28368  n0fincut  28372  n0s0m1  28379  n0subs  28380  n0ltsp1le  28382  n0lesltp1  28383  n0lesm1lt  28384  n0lts1e0  28385  n0p1nns  28388  dfnns2  28389  nnsind  28390  nn1m1nns  28391  nnm1n0s  28392  eucliddivs  28393  nnzs  28403  0zs  28405  elzn0s  28415  peano5uzs  28421  zcuts  28424  no2times  28434  n0seo  28438  zseo  28439  twocut  28440  nohalf  28441  expsval  28442  exps1  28445  expsp1  28446  expscl  28448  expadds  28452  pw2recs  28455  pw2divsrecd  28464  pw2divsdird  28465  pw2divsidd  28473  halfcut  28475  addhalfcut  28476  pw2cut  28477  pw2cutp1  28478  pw2cut2  28479  bdaypw2n0bndlem  28480  bdaypw2bnd  28482  bdayfinbndlem1  28484  z12bdaylem1  28487  z12bdaylem2  28488  recut  28511  elreno2  28512  0reno  28513  1reno  28514  renegscl  28515  readdscl  28516  remulscllem1  28517  remulscl  28519