Theorem 1no 27802

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27800	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27801	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5396	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27768	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27774	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2832	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   No csur 27603   <<s cslts 27749   |s ccuts 27751   0_s c0s 27797   1_s c1s 27798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800

This theorem is referenced by:  cuteq1  27809  right1s  27888  peano2no  27976  ltsp1d  28007  neg1s  28019  ltsm1d  28094  mulsrid  28105  mulslid  28134  divs1  28196  precsexlem8  28206  precsexlem9  28207  precsexlem10  28208  precsexlem11  28209  divsrecd  28226  divsdird  28227  1ons  28249  n0cut  28326  n0cut2  28327  n0on  28328  n0sge0  28330  n0s0suc  28334  nnsge1  28335  n0addscl  28336  n0mulscl  28337  1n0s  28340  nnsrecgt0d  28343  n0fincut  28347  n0s0m1  28354  n0subs  28355  n0ltsp1le  28357  n0lesltp1  28358  n0lesm1lt  28359  n0lts1e0  28360  n0p1nns  28363  dfnns2  28364  nnsind  28365  nn1m1nns  28366  nnm1n0s  28367  eucliddivs  28368  nnzs  28378  0zs  28380  elzn0s  28390  peano5uzs  28396  zcuts  28399  no2times  28409  n0seo  28413  zseo  28414  twocut  28415  nohalf  28416  expsval  28417  exps1  28420  expsp1  28421  expscl  28423  expadds  28427  pw2recs  28430  pw2divsrecd  28439  pw2divsdird  28440  pw2divsidd  28448  halfcut  28450  addhalfcut  28451  pw2cut  28452  pw2cutp1  28453  pw2cut2  28454  bdaypw2n0bndlem  28455  bdaypw2bnd  28457  bdayfinbndlem1  28459  z12bdaylem1  28462  z12bdaylem2  28463  recut  28486  elreno2  28487  0reno  28488  1reno  28489  renegscl  28490  readdscl  28491  remulscllem1  28492  remulscl  28494