Theorem 1no 27981

Description: Surreal one is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
1no	⊢ 1s ∈ No

Proof of Theorem 1no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1s 27979	. 2 ⊢ 1s = ({ 0s } |s ∅)
2		0no 27980	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
3		snelpwi 5427	. . . . 5 ⊢ ( 0s ∈ No → { 0s } ∈ 𝒫 No )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ { 0s } ∈ 𝒫 No
5		nulsgts 27947	. . . 4 ⊢ ({ 0s } ∈ 𝒫 No → { 0s } <<s ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ { 0s } <<s ∅
7		cutscl 27953	. . 3 ⊢ ({ 0s } <<s ∅ → ({ 0s } |s ∅) ∈ No )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({ 0s } |s ∅) ∈ No
9	1, 8	eqeltri 2859	1 ⊢ 1s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  {csn 4590   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412   No csur 27782   <<s cslts 27928   |s ccuts 27930   0_s c0s 27976   1_s c1s 27977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-0s 27978  df-1s 27979

This theorem is referenced by:  cuteq1  27988  right1s  28067  peano2no  28155  ltsp1d  28186  neg1s  28198  ltsm1d  28273  mulsrid  28284  mulslid  28313  divs1  28375  precsexlem8  28385  precsexlem9  28386  precsexlem10  28387  precsexlem11  28388  divsrecd  28405  divsdird  28406  1ons  28428  n0cut  28505  n0cut2  28506  n0on  28507  n0sge0  28509  n0s0suc  28513  nnsge1  28514  n0addscl  28515  n0mulscl  28516  1n0s  28519  nnsrecgt0d  28522  n0fincut  28526  n0s0m1  28533  n0subs  28534  n0ltsp1le  28536  n0lesltp1  28537  n0lesm1lt  28538  n0lts1e0  28539  n0p1nns  28542  dfnns2  28543  nnsind  28544  nn1m1nns  28545  nnm1n0s  28546  eucliddivs  28547  nnzs  28557  0zs  28559  elzn0s  28569  peano5uzs  28575  zcuts  28578  no2times  28588  n0seo  28592  zseo  28593  twocut  28594  nohalf  28595  expsval  28596  exps1  28599  expsp1  28600  expscl  28602  expadds  28606  pw2recs  28609  pw2divsrecd  28618  pw2divsdird  28619  pw2divsidd  28627  halfcut  28629  addhalfcut  28630  pw2cut  28631  pw2cutp1  28632  pw2cut2  28633  bdaypw2n0bndlem  28634  bdaypw2bnd  28636  bdayfinbndlem1  28638  z12bdaylem1  28641  z12bdaylem2  28642  recut  28665  elreno2  28666  0reno  28667  1reno  28668  renegscl  28669  readdscl  28670  remulscllem1  28671  remulscl  28673