Theorem elons2 28644

Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elons2	⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftssno 28259	. . . 4 ⊢ (L‘𝐴) ⊆ No
2		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (L‘𝐴) ∈ V
3	2	elpw 4561	. . . 4 ⊢ ((L‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ (L‘𝐴) ⊆ No)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ (L‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5		onno 28641	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No)
6		lrcut 28290	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = 𝐴)
8		elons 28639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (R‘𝐴) = ∅))
9	8	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (R‘𝐴) = ∅)
10	9	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = ((L‘𝐴) |s ∅))
11	7, 10	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ((L‘𝐴) |s ∅))
12		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (L‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = ((L‘𝐴) |s ∅))
13	12	rspceeqv 3599	. . 3 ⊢ (((L‘𝐴) ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ((L‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))
14	4, 11, 13	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15		nulsgts 28162	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → 𝑎 <<s ∅)
16	15	cutscld 28169	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No)
17		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
18	15, 17	cofcutr2d 28312	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19		rex0 4308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20		jcn 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
21	19, 20	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
22	21	con2i 140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
23	22	alimi 1844	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
24		df-ral 3078	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25		eq0 4297	. . . . . . 7 ⊢ ((R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
27	18, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28		elons 28639	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
29	16, 27, 28	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30		eleq1 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
31	29, 30	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
32	31	rexlimiv 3157	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
33	14, 32	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   ≤s cles 28101   |s ccuts 28145  Lcleft 28211  Rcright 28212  On_scons 28637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-1o 8476  df-2o 8477  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-ons 28638

This theorem is used by:  elons2d  28645  n0on  28722