Theorem elons2 28135

Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elons2	⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftssno 27768	. . . 4 ⊢ ( L ‘𝐴) ⊆ No
2		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ V
3	2	elpw 4563	. . . 4 ⊢ (( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ ( L ‘𝐴) ⊆ No )
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5		onsno 28132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
6		lrcut 27791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
8		elons 28130	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ ( R ‘𝐴) = ∅))
9	8	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ( R ‘𝐴) = ∅)
10	9	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
11	7, 10	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))
12		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ( L ‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
13	12	rspceeqv 3608	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
14	4, 11, 13	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15		nulssgt 27686	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → 𝑎 <<s ∅)
16	15	scutcld 27691	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No )
17		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
18	15, 17	cofcutr2d 27810	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19		rex0 4319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20		jcn 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
21	19, 20	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
22	21	con2i 139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
23	22	alimi 1811	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
24		df-ral 3045	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25		eq0 4309	. . . . . . 7 ⊢ (( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
27	18, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28		elons 28130	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
29	16, 27, 28	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
31	29, 30	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
32	31	rexlimiv 3127	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
33	14, 32	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   No csur 27527   ≤s csle 27632   |s cscut 27670   L cleft 27729   R cright 27730  On_scons 28128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27530  df-slt 27531  df-bday 27532  df-sle 27633  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-made 27731  df-old 27732  df-left 27734  df-right 27735  df-ons 28129

This theorem is referenced by:  elons2d  28136  n0ons  28204