Theorem elons2 28656

Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elons2	⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftssno 28271	. . . 4 ⊢ (L‘𝐴) ⊆ No
2		fvex 6906	. . . . 5 ⊢ (L‘𝐴) ∈ V
3	2	elpw 4563	. . . 4 ⊢ ((L‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ (L‘𝐴) ⊆ No)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ (L‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5		onno 28653	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No)
6		lrcut 28302	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = 𝐴)
8		elons 28651	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (R‘𝐴) = ∅))
9	8	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (R‘𝐴) = ∅)
10	9	oveq2d 7443	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = ((L‘𝐴) |s ∅))
11	7, 10	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ((L‘𝐴) |s ∅))
12		oveq1 7434	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (L‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = ((L‘𝐴) |s ∅))
13	12	rspceeqv 3601	. . 3 ⊢ (((L‘𝐴) ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ((L‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))
14	4, 11, 13	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15		nulsgts 28174	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → 𝑎 <<s ∅)
16	15	cutscld 28181	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No)
17		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
18	15, 17	cofcutr2d 28324	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19		rex0 4310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20		jcn 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
21	19, 20	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
22	21	con2i 140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
23	22	alimi 1843	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
24		df-ral 3080	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25		eq0 4299	. . . . . . 7 ⊢ ((R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
27	18, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28		elons 28651	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
29	16, 27, 28	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
31	29, 30	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
32	31	rexlimiv 3159	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
33	14, 32	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Nocsur 28009   ≤s cles 28113   |s ccuts 28157  Lcleft 28223  Rcright 28224  On_scons 28649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014  df-les 28114  df-slts 28156  df-cuts 28158  df-made 28225  df-old 28226  df-left 28228  df-right 28229  df-ons 28650

This theorem is used by:  elons2d  28657  n0on  28734