Theorem elons2 28211

Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elons2	⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftssno 27844	. . . 4 ⊢ ( L ‘𝐴) ⊆ No
2		fvex 6889	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ V
3	2	elpw 4579	. . . 4 ⊢ (( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ ( L ‘𝐴) ⊆ No )
4	1, 3	mpbir 231	. . 3 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5		onsno 28208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
6		lrcut 27867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
8		elons 28206	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ ( R ‘𝐴) = ∅))
9	8	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ( R ‘𝐴) = ∅)
10	9	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
11	7, 10	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))
12		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ( L ‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
13	12	rspceeqv 3624	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
14	4, 11, 13	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15		nulssgt 27762	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → 𝑎 <<s ∅)
16	15	scutcld 27767	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No )
17		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
18	15, 17	cofcutr2d 27886	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19		rex0 4335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20		jcn 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
21	19, 20	mpi 20	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
22	21	con2i 139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
23	22	alimi 1811	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
24		df-ral 3052	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25		eq0 4325	. . . . . . 7 ⊢ (( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
27	18, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28		elons 28206	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
29	16, 27, 28	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
31	29, 30	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
32	31	rexlimiv 3134	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
33	14, 32	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   No csur 27603   ≤s csle 27708   |s cscut 27746   L cleft 27805   R cright 27806  On_scons 28204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-ons 28205

This theorem is referenced by:  elons2d  28212  n0ons  28280