Theorem elons2 28701

Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elons2	⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))

Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leftssno 28316	. . . 4 ⊢ (L‘𝐴) ⊆ No
2		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ (L‘𝐴) ∈ V
3	2	elpw 4564	. . . 4 ⊢ ((L‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ (L‘𝐴) ⊆ No)
4	1, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ (L‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5		onno 28698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No)
6		lrcut 28347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = 𝐴)
8		elons 28696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (R‘𝐴) = ∅))
9	8	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (R‘𝐴) = ∅)
10	9	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ((L‘𝐴) |s (R‘𝐴)) = ((L‘𝐴) |s ∅))
11	7, 10	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ((L‘𝐴) |s ∅))
12		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (L‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = ((L‘𝐴) |s ∅))
13	12	rspceeqv 3602	. . 3 ⊢ (((L‘𝐴) ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ((L‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))
14	4, 11, 13	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15		nulsgts 28219	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → 𝑎 <<s ∅)
16	15	cutscld 28226	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No)
17		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
18	15, 17	cofcutr2d 28369	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19		rex0 4311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20		jcn 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
21	19, 20	mpi 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
22	21	con2i 140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
23	22	alimi 1844	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
24		df-ral 3081	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25		eq0 4300	. . . . . . 7 ⊢ ((R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅)))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (R‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
27	18, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28		elons 28696	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ (R‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
29	16, 27, 28	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
31	29, 30	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
32	31	rexlimiv 3160	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
33	14, 32	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No𝐴 = (𝑎 |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   ≤s cles 28158   |s ccuts 28202  Lcleft 28268  Rcright 28269  On_scons 28694

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-ons 28695

This theorem is used by:  elons2d  28702  n0on  28779