MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elons2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elons2 28281
Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
elons2 (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leftssno 27919 . . . 4 ( L ‘𝐴) ⊆ No
2 fvex 6919 . . . . 5 ( L ‘𝐴) ∈ V
32elpw 4604 . . . 4 (( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ ( L ‘𝐴) ⊆ No )
41, 3mpbir 231 . . 3 ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5 onsno 28278 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ons𝐴 No )
6 lrcut 27941 . . . . 5 (𝐴 No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
8 elons 28276 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 No ∧ ( R ‘𝐴) = ∅))
98simprbi 496 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ons → ( R ‘𝐴) = ∅)
109oveq2d 7447 . . . 4 (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
117, 10eqtr3d 2779 . . 3 (𝐴 ∈ Ons𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))
12 oveq1 7438 . . . 4 (𝑎 = ( L ‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
1312rspceeqv 3645 . . 3 ((( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
144, 11, 13sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15 nulssgt 27843 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑎 <<s ∅)
1615scutcld 27848 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No )
17 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
1815, 17cofcutr2d 27960 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19 rex0 4360 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20 jcn 162 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
2119, 20mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
2221con2i 139 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
2322alimi 1811 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
24 df-ral 3062 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25 eq0 4350 . . . . . . 7 (( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
2623, 24, 253imtr4i 292 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
2718, 26syl 17 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 No → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28 elons 28276 . . . . 5 ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
2916, 27, 28sylanbrc 583 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30 eleq1 2829 . . . 4 (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
3129, 30syl5ibrcom 247 . . 3 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
3231rexlimiv 3148 . 2 (∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
3314, 32impbii 209 1 (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   No csur 27684   ≤s csle 27789   |s cscut 27827   L cleft 27884   R cright 27885  Onscons 28274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-ons 28275
This theorem is referenced by:  elons2d  28282  n0ons  28339
  Copyright terms: Public domain W3C validator