MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elons2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elons2 28296
Description: A surreal is ordinal iff it is the cut of some set of surreals and the empty set. Definition from [Conway] p. 27. (Contributed by Scott Fenton, 19-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
elons2 (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
Distinct variable group:   𝐴,𝑎

Proof of Theorem elons2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leftssno 27934 . . . 4 ( L ‘𝐴) ⊆ No
2 fvex 6920 . . . . 5 ( L ‘𝐴) ∈ V
32elpw 4609 . . . 4 (( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ ( L ‘𝐴) ⊆ No )
41, 3mpbir 231 . . 3 ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No
5 onsno 28293 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ons𝐴 No )
6 lrcut 27956 . . . . 5 (𝐴 No → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = 𝐴)
8 elons 28291 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 No ∧ ( R ‘𝐴) = ∅))
98simprbi 496 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ons → ( R ‘𝐴) = ∅)
109oveq2d 7447 . . . 4 (𝐴 ∈ Ons → (( L ‘𝐴) |s ( R ‘𝐴)) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
117, 10eqtr3d 2777 . . 3 (𝐴 ∈ Ons𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))
12 oveq1 7438 . . . 4 (𝑎 = ( L ‘𝐴) → (𝑎 |s ∅) = (( L ‘𝐴) |s ∅))
1312rspceeqv 3645 . . 3 ((( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
144, 11, 13sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ Ons → ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
15 nulssgt 27858 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 No 𝑎 <<s ∅)
1615scutcld 27863 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ No )
17 eqidd 2736 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) = (𝑎 |s ∅))
1815, 17cofcutr2d 27975 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 No → ∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)
19 rex0 4366 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥
20 jcn 162 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → (¬ ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥)))
2119, 20mpi 20 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ¬ (𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
2221con2i 139 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
2322alimi 1808 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥) → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
24 df-ral 3060 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) → ∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥))
25 eq0 4356 . . . . . . 7 (( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅)))
2623, 24, 253imtr4i 292 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ( R ‘(𝑎 |s ∅))∃𝑦 ∈ ∅ 𝑦 ≤s 𝑥 → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
2718, 26syl 17 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 No → ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅)
28 elons 28291 . . . . 5 ((𝑎 |s ∅) ∈ Ons ↔ ((𝑎 |s ∅) ∈ No ∧ ( R ‘(𝑎 |s ∅)) = ∅))
2916, 27, 28sylanbrc 583 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝑎 |s ∅) ∈ Ons)
30 eleq1 2827 . . . 4 (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝑎 |s ∅) ∈ Ons))
3129, 30syl5ibrcom 247 . . 3 (𝑎 ∈ 𝒫 No → (𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons))
3231rexlimiv 3146 . 2 (∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅) → 𝐴 ∈ Ons)
3314, 32impbii 209 1 (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑎 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑎 |s ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   No csur 27699   ≤s csle 27804   |s cscut 27842   L cleft 27899   R cright 27900  Onscons 28289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-ons 28290
This theorem is referenced by:  elons2d  28297  n0ons  28354
  Copyright terms: Public domain W3C validator