Theorem bday0 28203

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0	⊢ (bday‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 28199	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6889	. . 3 ⊢ (bday‘ 0s ) = (bday‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5316	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulsgts 28168	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		cutbday 28176	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → (bday‘(∅ |s ∅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ (bday‘(∅ |s ∅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2783	. 2 ⊢ (bday‘ 0s ) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No)
9		nulslts 28167	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulsgts 28168	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3424	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 28141	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6049	. . . 4 ⊢ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = (bday “ dom bday)
17		imadmrn 6066	. . . 4 ⊢ (bday “ dom bday) = ran bday
18		bdayrn 28143	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4910	. 2 ⊢ ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6422	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2787	1 ⊢ (bday‘ 0s ) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∩ cint 4906   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  Oncon0 6362  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Nocsur 28003  bdaycbday 28005   <<s cslts 28149   |s ccuts 28151   0_s c0s 28197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 28006  df-lts 28007  df-bday 28008  df-slts 28150  df-cuts 28152  df-0s 28199

This theorem is used by:  bday0b  28205  bday1  28206  cuteq0  28207  left0s  28285  right0s  28286  0elold  28302  addsproplem2  28362  negsproplem2  28421  negsproplem6  28425  mulsproplem2  28509  mulsproplem3  28510  mulsproplem4  28511  mulsproplem5  28512  mulsproplem6  28513  mulsproplem7  28514  mulsproplem8  28515  mulsproplem12  28519  mulsproplem13  28520  mulsproplem14  28521  n0bday  28744  bdayn0sf1o  28762  bdaypw2n0bndlem  28855  bdaypw2n0bnd  28856  bdayfinbndlem2  28860