Theorem bday0 27824

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0	⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27820	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6847	. . 3 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5305	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulsgts 27789	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		cutbday 27797	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2760	. 2 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9		nulslts 27788	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulsgts 27789	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3413	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 27763	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6027	. . . 4 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17		imadmrn 6039	. . . 4 ⊢ ( bday “ dom bday ) = ran bday
18		bdayrn 27764	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4908	. 2 ⊢ ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6386	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2764	1 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∩ cint 4904   class class class wbr 5100  dom cdm 5634  ran crn 5635   “ cima 5637  Oncon0 6327  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   No csur 27624   bday cbday 27626   <<s cslts 27770   |s ccuts 27772   0_s c0s 27818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1o 8409  df-2o 8410  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-0s 27820

This theorem is referenced by:  bday0b  27826  bday1  27827  cuteq0  27828  left0s  27906  right0s  27907  0elold  27923  addsproplem2  27983  negsproplem2  28042  negsproplem6  28046  mulsproplem2  28130  mulsproplem3  28131  mulsproplem4  28132  mulsproplem5  28133  mulsproplem6  28134  mulsproplem7  28135  mulsproplem8  28136  mulsproplem12  28140  mulsproplem13  28141  mulsproplem14  28142  n0bday  28365  bdayn0sf1o  28383  bdaypw2n0bndlem  28476  bdaypw2n0bnd  28477  bdayfinbndlem2  28481