Theorem bday0 27828

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0	⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27824	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5291	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulsgts 27793	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		cutbday 27801	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2763	. 2 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9		nulslts 27792	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulsgts 27793	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3404	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 27767	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6017	. . . 4 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17		imadmrn 6029	. . . 4 ⊢ ( bday “ dom bday ) = ran bday
18		bdayrn 27768	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2767	. . 3 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4888	. 2 ⊢ ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6376	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2767	1 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562  ∩ cint 4884   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   No csur 27628   bday cbday 27630   <<s cslts 27774   |s ccuts 27776   0_s c0s 27822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-0s 27824

This theorem is referenced by:  bday0b  27830  bday1  27831  cuteq0  27832  left0s  27910  right0s  27911  0elold  27927  addsproplem2  27987  negsproplem2  28046  negsproplem6  28050  mulsproplem2  28134  mulsproplem3  28135  mulsproplem4  28136  mulsproplem5  28137  mulsproplem6  28138  mulsproplem7  28139  mulsproplem8  28140  mulsproplem12  28144  mulsproplem13  28145  mulsproplem14  28146  n0bday  28369  bdayn0sf1o  28387  bdaypw2n0bndlem  28480  bdaypw2n0bnd  28481  bdayfinbndlem2  28485