Theorem bday0 28197

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0	⊢ (bday‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 28193	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (bday‘ 0s ) = (bday‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5317	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulsgts 28162	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		cutbday 28170	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → (bday‘(∅ |s ∅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ (bday‘(∅ |s ∅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2784	. 2 ⊢ (bday‘ 0s ) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No)
9		nulslts 28161	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulsgts 28162	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3425	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 28135	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6050	. . . 4 ⊢ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = (bday “ dom bday)
17		imadmrn 6067	. . . 4 ⊢ (bday “ dom bday) = ran bday
18		bdayrn 28137	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4911	. 2 ⊢ ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6422	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2788	1 ⊢ (bday‘ 0s ) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∩ cint 4907   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 27997  bdaycbday 27999   <<s cslts 28143   |s ccuts 28145   0_s c0s 28191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8476  df-2o 8477  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193

This theorem is used by:  bday0b  28199  bday1  28200  cuteq0  28201  left0s  28279  right0s  28280  0elold  28296  addsproplem2  28356  negsproplem2  28415  negsproplem6  28419  mulsproplem2  28503  mulsproplem3  28504  mulsproplem4  28505  mulsproplem5  28506  mulsproplem6  28507  mulsproplem7  28508  mulsproplem8  28509  mulsproplem12  28513  mulsproplem13  28514  mulsproplem14  28515  n0bday  28738  bdayn0sf1o  28756  bdaypw2n0bndlem  28849  bdaypw2n0bnd  28850  bdayfinbndlem2  28854