Theorem bday0 27819

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0	⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27815	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ( bday ‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5303	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulsgts 27784	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		cutbday 27792	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ ( bday ‘(∅ |s ∅)) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2760	. 2 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No )
9		nulslts 27783	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulsgts 27784	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3413	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 27758	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6025	. . . 4 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ( bday “ dom bday )
17		imadmrn 6037	. . . 4 ⊢ ( bday “ dom bday ) = ran bday
18		bdayrn 27759	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4908	. 2 ⊢ ∩ ( bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6384	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2764	1 ⊢ ( bday ‘ 0s ) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∩ cint 4904   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635  Oncon0 6325  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   No csur 27619   bday cbday 27621   <<s cslts 27765   |s ccuts 27767   0_s c0s 27813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815

This theorem is referenced by:  bday0b  27821  bday1  27822  cuteq0  27823  left0s  27901  right0s  27902  0elold  27918  addsproplem2  27978  negsproplem2  28037  negsproplem6  28041  mulsproplem2  28125  mulsproplem3  28126  mulsproplem4  28127  mulsproplem5  28128  mulsproplem6  28129  mulsproplem7  28130  mulsproplem8  28131  mulsproplem12  28135  mulsproplem13  28136  mulsproplem14  28137  n0bday  28360  bdayn0sf1o  28378  bdaypw2n0bndlem  28471  bdaypw2n0bnd  28472  bdayfinbndlem2  28476