Theorem bday0 28254

Description: Calculate the birthday of surreal zero. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bday0	⊢ (bday‘ 0s ) = ∅

Proof of Theorem bday0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 28250	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2	1	fveq2i 6919	. . 3 ⊢ (bday‘ 0s ) = (bday‘(∅ |s ∅))
3		0elpw 5324	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
4		nulsgts 28219	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
5		cutbday 28227	. . . 4 ⊢ (∅ <<s ∅ → (bday‘(∅ |s ∅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. . 3 ⊢ (bday‘(∅ |s ∅)) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
7	2, 6	eqtri 2786	. 2 ⊢ (bday‘ 0s ) = ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)})
8		snelpwi 5419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ No → {𝑥} ∈ 𝒫 No)
9		nulslts 28218	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → ∅ <<s {𝑥})
10		nulsgts 28219	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → {𝑥} <<s ∅)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ 𝒫 No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
12	8, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ No → (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅))
13	12	rabeqc 3428	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = No
14		bdaydm 28192	. . . . . 6 ⊢ dom bday = No
15	13, 14	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)} = dom bday
16	15	imaeq2i 6068	. . . 4 ⊢ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = (bday “ dom bday)
17		imadmrn 6085	. . . 4 ⊢ (bday “ dom bday) = ran bday
18		bdayrn 28194	. . . 4 ⊢ ran bday = On
19	16, 17, 18	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = On
20	19	inteqi 4916	. 2 ⊢ ∩ (bday “ {𝑥 ∈ No ∣ (∅ <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s ∅)}) = ∩ On
21		inton 6448	. 2 ⊢ ∩ On = ∅
22	7, 20, 21	3eqtri 2790	1 ⊢ (bday‘ 0s ) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∩ cint 4912   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ran crn 5659   “ cima 5661  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054  bdaycbday 28056   <<s cslts 28200   |s ccuts 28202   0_s c0s 28248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250

This theorem is used by:  bday0b  28256  bday1  28257  cuteq0  28258  left0s  28336  right0s  28337  0elold  28353  addsproplem2  28413  negsproplem2  28472  negsproplem6  28476  mulsproplem2  28560  mulsproplem3  28561  mulsproplem4  28562  mulsproplem5  28563  mulsproplem6  28564  mulsproplem7  28565  mulsproplem8  28566  mulsproplem12  28570  mulsproplem13  28571  mulsproplem14  28572  n0bday  28795  bdayn0sf1o  28813  bdaypw2n0bndlem  28906  bdaypw2n0bnd  28907  bdayfinbndlem2  28911