Theorem lltr 28278

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltr	⊢ (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴)

Proof of Theorem lltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsleft 28276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s {𝐴})
2		sltsright 28277	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s (R‘𝐴))
3		snnzg 4735	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sltstr 28203	. . 3 ⊢ (((L‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s (R‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴))
6		0elpw 5321	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulsgts 28192	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 28271	. . . . . 6 ⊢ L:No⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6743	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No)
12		ndmfv 6940	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → (L‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) = ∅)
14		rightf 28272	. . . . . 6 ⊢ R:No⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6743	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No)
17		ndmfv 6940	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → (R‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5140	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  Nocsur 28027   <<s cslts 28173  Lcleft 28241  Rcright 28242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247

This theorem is used by:  madebdaylemlrcut  28315  madebday  28316  cutsfo  28321  ltsn0  28322  ltslpss  28324  leslss  28325  bdayiun  28331  cutpos  28349  cutminmax  28352  addsproplem2  28386  addsasslem1  28419  addsasslem2  28420  negsproplem2  28445  negsid  28457  mulsproplem5  28536  mulsproplem6  28537  mulsproplem7  28538  mulsproplem8  28539  addsdilem1  28567  mulsasslem1  28579  mulsasslem2  28580  precsexlem11  28633  oncutlt  28680  onsbnd  28697  n0fincut  28771  halfcut  28874  bdayfinbndlem1  28883  elreno2  28911