Theorem lltr 27868

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltr	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsleft 27866	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		sltsright 27867	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4719	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sltstr 27793	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5293	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulsgts 27782	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27861	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27862	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ‘cfv 6492   No csur 27617   <<s cslts 27763   L cleft 27831   R cright 27832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27905  madebday  27906  cutsfo  27911  ltsn0  27912  ltslpss  27914  leslss  27915  bdayiun  27921  cutpos  27939  cutminmax  27942  addsproplem2  27976  addsasslem1  28009  addsasslem2  28010  negsproplem2  28035  negsid  28047  mulsproplem5  28126  mulsproplem6  28127  mulsproplem7  28128  mulsproplem8  28129  addsdilem1  28157  mulsasslem1  28169  mulsasslem2  28170  precsexlem11  28223  oncutlt  28270  onsbnd  28287  n0fincut  28361  halfcut  28464  bdayfinbndlem1  28473  elreno2  28501