Theorem lltr 28253

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltr	⊢ (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴)

Proof of Theorem lltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsleft 28251	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s {𝐴})
2		sltsright 28252	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s (R‘𝐴))
3		snnzg 4731	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sltstr 28178	. . 3 ⊢ (((L‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s (R‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴))
6		0elpw 5316	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulsgts 28167	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 28246	. . . . . 6 ⊢ L:No⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6721	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No)
12		ndmfv 6917	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → (L‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) = ∅)
14		rightf 28247	. . . . . 6 ⊢ R:No⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6721	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No)
17		ndmfv 6917	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → (R‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5136	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ (L‘𝐴) <<s (R‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  Nocsur 28002   <<s cslts 28148  Lcleft 28216  Rcright 28217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222

This theorem is used by:  madebdaylemlrcut  28290  madebday  28291  cutsfo  28296  ltsn0  28297  ltslpss  28299  leslss  28300  bdayiun  28306  cutpos  28324  cutminmax  28327  addsproplem2  28361  addsasslem1  28394  addsasslem2  28395  negsproplem2  28420  negsid  28432  mulsproplem5  28511  mulsproplem6  28512  mulsproplem7  28513  mulsproplem8  28514  addsdilem1  28542  mulsasslem1  28554  mulsasslem2  28555  precsexlem11  28608  oncutlt  28655  onsbnd  28672  n0fincut  28746  halfcut  28849  bdayfinbndlem1  28858  elreno2  28886