Theorem lltr 28135

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltr	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsleft 28133	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		sltsright 28134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sltstr 28060	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5324	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulsgts 28049	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 28128	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6718	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 28129	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6718	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5141	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 184	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537   No csur 27884   <<s cslts 28030   L cleft 28098   R cright 28099

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104

This theorem is used by:  madebdaylemlrcut  28172  madebday  28173  cutsfo  28178  ltsn0  28179  ltslpss  28181  leslss  28182  bdayiun  28188  cutpos  28206  cutminmax  28209  addsproplem2  28243  addsasslem1  28276  addsasslem2  28277  negsproplem2  28302  negsid  28314  mulsproplem5  28393  mulsproplem6  28394  mulsproplem7  28395  mulsproplem8  28396  addsdilem1  28424  mulsasslem1  28436  mulsasslem2  28437  precsexlem11  28490  oncutlt  28537  onsbnd  28554  n0fincut  28628  halfcut  28731  bdayfinbndlem1  28740  elreno2  28768