Theorem lltr 27858

Description: The left options of a surreal are strictly less than the right options of the same surreal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.) (Revised by Scott Fenton, 21-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lltr	⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Proof of Theorem lltr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsleft 27856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})
2		sltsright 27857	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))
3		snnzg 4731	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ≠ ∅)
4		sltstr 27783	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) <<s {𝐴} ∧ {𝐴} <<s ( R ‘𝐴) ∧ {𝐴} ≠ ∅) → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
6		0elpw 5301	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
7		nulsgts 27772	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ∅ <<s ∅)
9		leftf 27851	. . . . . 6 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
10	9	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom L = No
11	10	eleq2i 2828	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
12		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom L → ( L ‘𝐴) = ∅)
13	11, 12	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = ∅)
14		rightf 27852	. . . . . 6 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
15	14	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom R = No
16	15	eleq2i 2828	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
17		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom R → ( R ‘𝐴) = ∅)
18	16, 17	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
19	8, 13, 18	3brtr4d 5130	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴))
20	5, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( L ‘𝐴) <<s ( R ‘𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492   No csur 27607   <<s cslts 27753   L cleft 27821   R cright 27822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827

This theorem is referenced by:  madebdaylemlrcut  27895  madebday  27896  cutsfo  27901  ltsn0  27902  ltslpss  27904  leslss  27905  bdayiun  27911  cutpos  27929  cutminmax  27932  addsproplem2  27966  addsasslem1  27999  addsasslem2  28000  negsproplem2  28025  negsid  28037  mulsproplem5  28116  mulsproplem6  28117  mulsproplem7  28118  mulsproplem8  28119  addsdilem1  28147  mulsasslem1  28159  mulsasslem2  28160  precsexlem11  28213  oncutlt  28260  onsbnd  28277  n0fincut  28351  halfcut  28454  bdayfinbndlem1  28463  elreno2  28491