Theorem onsbnd 28294

Description: The surreals of a given birthday are bounded above by that ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
onsbnd	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → 𝐵 ≤s 𝐴)

Proof of Theorem onsbnd

Dummy variables 𝑥_𝑅 𝑦_𝐿 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4453	. . 3 ⊢ ∀𝑥𝑅 ∈ ∅ 𝐵 <s 𝑥𝑅
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ∀𝑥𝑅 ∈ ∅ 𝐵 <s 𝑥𝑅)
3		leftssold 27884	. . . . . . 7 ⊢ ( L ‘𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝐵))
4		bdayon 27765	. . . . . . . 8 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On
5		madebdayim 27901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴)) → ( bday ‘𝐵) ⊆ ( bday ‘𝐴))
6	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( bday ‘𝐵) ⊆ ( bday ‘𝐴))
7		oldss 27883	. . . . . . . 8 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ On ∧ ( bday ‘𝐵) ⊆ ( bday ‘𝐴)) → ( O ‘( bday ‘𝐵)) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( O ‘( bday ‘𝐵)) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
9	3, 8	sstrid 3947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( L ‘𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
10		onleft 28273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ( L ‘𝐴))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ( L ‘𝐴))
12	9, 11	sseqtrd 3972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( L ‘𝐵) ⊆ ( L ‘𝐴))
13	12	sselda 3935	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) ∧ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘𝐵)) → 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘𝐴))
14		leftlt 27866	. . . 4 ⊢ (𝑦𝐿 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑦𝐿 <s 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) ∧ 𝑦𝐿 ∈ ( L ‘𝐵)) → 𝑦𝐿 <s 𝐴)
16	15	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ∀𝑦𝐿 ∈ ( L ‘𝐵)𝑦𝐿 <s 𝐴)
17		lltr 27875	. . . 4 ⊢ ( L ‘𝐵) <<s ( R ‘𝐵)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( L ‘𝐵) <<s ( R ‘𝐵))
19		leftssno 27886	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝐴) ⊆ No
20		fvex 6857	. . . . . 6 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ V
21	20	elpw 4560	. . . . 5 ⊢ (( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No ↔ ( L ‘𝐴) ⊆ No )
22	19, 21	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No
23		nulsgts 27789	. . . 4 ⊢ (( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No → ( L ‘𝐴) <<s ∅)
24	22, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → ( L ‘𝐴) <<s ∅)
25		madeno 27856	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ No )
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → 𝐵 ∈ No )
27		lrcut 27917	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → (( L ‘𝐵) |s ( R ‘𝐵)) = 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → (( L ‘𝐵) |s ( R ‘𝐵)) = 𝐵)
29	28	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → 𝐵 = (( L ‘𝐵) |s ( R ‘𝐵)))
30		oncutleft 28276	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → 𝐴 = (( L ‘𝐴) |s ∅))
32	18, 24, 29, 31	lesrecd 27813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ ∅ 𝐵 <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑦𝐿 ∈ ( L ‘𝐵)𝑦𝐿 <s 𝐴)))
33	2, 16, 32	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ ( M ‘( bday ‘𝐴))) → 𝐵 ≤s 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  Oncon0 6327  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   No csur 27624   <s clts 27625   bday cbday 27626   ≤s cles 27729   <<s cslts 27770   |s ccuts 27772   M cmade 27835   O cold 27836   L cleft 27838   R cright 27839  On_scons 28264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-1o 8409  df-2o 8410  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27730  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-made 27840  df-old 27841  df-left 27843  df-right 27844  df-ons 28265

This theorem is referenced by:  onsbnd2  28295  bdayfinbndlem1  28480