Theorem rightge0 27813

Description: A surreal is non-negative iff all its right options are positive. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rightge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
rightge0.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
rightge0	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑥_𝑅   𝐴,𝑥_𝑅   𝐵,𝑥_𝑅

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥_𝑅)

Proof of Theorem rightge0

Dummy variable 𝑥_𝐿 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5297	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
2		nulsgts 27768	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ <<s ∅)
4		rightge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
5		df-0s 27799	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s = (∅ |s ∅))
7		rightge0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
8	3, 4, 6, 7	lesrecd 27792	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋)))
9		ral0 4438	. . 3 ⊢ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋
10	9	biantru 529	. 2 ⊢ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋))
11	8, 10	bitr4di 289	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   No csur 27603   <s clts 27604   ≤s cles 27708   <<s cslts 27749   |s ccuts 27751   0_s c0s 27797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799

This theorem is referenced by: (None)