Theorem rightge0 27992

Description: A surreal is non-negative iff all its right options are positive. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rightge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
rightge0.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
rightge0	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑥_𝑅   𝐴,𝑥_𝑅   𝐵,𝑥_𝑅

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥_𝑅)

Proof of Theorem rightge0

Dummy variable 𝑥_𝐿 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5328	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
2		nulsgts 27947	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ <<s ∅)
4		rightge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
5		df-0s 27978	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s = (∅ |s ∅))
7		rightge0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
8	3, 4, 6, 7	lesrecd 27971	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋)))
9		ral0 4460	. . 3 ⊢ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋
10	9	biantru 538	. 2 ⊢ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋))
11	8, 10	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412   No csur 27782   <s clts 27783   ≤s cles 27886   <<s cslts 27928   |s ccuts 27930   0_s c0s 27976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-les 27887  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-0s 27978

This theorem is referenced by: (None)