Theorem rightge0 28237

Description: A surreal is non-negative iff all its right options are positive. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rightge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
rightge0.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
rightge0	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑥_𝑅   𝐴,𝑥_𝑅   𝐵,𝑥_𝑅

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥_𝑅)

Proof of Theorem rightge0

Dummy variable 𝑥_𝐿 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5321	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
2		nulsgts 28192	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ <<s ∅)
4		rightge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
5		df-0s 28223	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s = (∅ |s ∅))
7		rightge0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
8	3, 4, 6, 7	lesrecd 28216	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋)))
9		ral0 4457	. . 3 ⊢ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋
10	9	biantru 539	. 2 ⊢ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋))
11	8, 10	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   <s clts 28028   ≤s cles 28131   <<s cslts 28173   |s ccuts 28175   0_s c0s 28221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223

This theorem is used by: (None)