Theorem rightge0 28094

Description: A surreal is non-negative iff all its right options are positive. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rightge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
rightge0.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
rightge0	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑥_𝑅   𝐴,𝑥_𝑅   𝐵,𝑥_𝑅

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥_𝑅)

Proof of Theorem rightge0

Dummy variable 𝑥_𝐿 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5324	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
2		nulsgts 28049	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ <<s ∅)
4		rightge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
5		df-0s 28080	. . . 4 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s = (∅ |s ∅))
7		rightge0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
8	3, 4, 6, 7	lesrecd 28073	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋)))
9		ral0 4457	. . 3 ⊢ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋
10	9	biantru 539	. 2 ⊢ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ↔ (∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅 ∧ ∀𝑥𝐿 ∈ ∅ 𝑥𝐿 <s 𝑋))
11	8, 10	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑅 ∈ 𝐵 0s <s 𝑥𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417   No csur 27884   <s clts 27885   ≤s cles 27988   <<s cslts 28030   |s ccuts 28032   0_s c0s 28078

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080

This theorem is used by: (None)