Theorem 0no 27805

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27803	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5301	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 27772	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 27778	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2832	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   No csur 27607   <<s cslts 27753   |s ccuts 27755   0_s c0s 27801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803

This theorem is referenced by:  1no  27806  0lt1s  27808  bday1  27810  cuteq0  27811  cutneg  27812  cuteq1  27813  gt0ne0s  27814  made0  27859  right1s  27892  0elold  27906  addsrid  27960  addslid  27964  addsproplem2  27966  addsfo  27979  ltaddspos1d  28007  ltaddspos2d  28008  addsgt0d  28010  ltsp1d  28011  addsge01d  28012  neg0s  28022  neg1s  28023  negsproplem2  28025  negsproplem6  28029  negscl  28032  negsid  28037  negsdi  28046  lt0negs2d  28047  subsfo  28061  negsval2  28062  subsid1  28064  posdifsd  28094  ltsubsposd  28095  subsge0d  28096  muls01  28108  mulsrid  28109  mulsproplem2  28113  mulsproplem3  28114  mulsproplem4  28115  mulsproplem5  28116  mulsproplem6  28117  mulsproplem7  28118  mulsproplem8  28119  mulscl  28130  ltmuls  28132  lemulsd  28134  muls02  28137  mulsgt0  28140  mulsge0d  28142  ltmulnegs1d  28172  mulscan2d  28175  lemuls1ad  28178  ltmuls12ad  28179  muls0ord  28181  precsexlem8  28210  precsexlem9  28211  precsexlem11  28213  recsex  28215  abs0s  28238  abssnid  28239  absmuls  28240  abssge0  28241  absnegs  28243  leabss  28244  0ons  28252  peano5n0s  28315  n0ssno  28316  0n0s  28325  peano2n0s  28326  dfn0s2  28328  n0sind  28329  n0cut  28330  n0sge0  28334  nnsgt0  28335  elnns2  28337  nnsge1  28339  nnsrecgt0d  28347  seqn0sfn  28356  n0subs  28359  n0lts1e0  28364  eucliddivs  28372  elzs2  28395  elnnzs  28397  elznns  28398  twocut  28419  nohalf  28420  pw2recs  28434  pw2gt0divsd  28441  pw2ge0divsd  28442  pw2divsnegd  28445  pw2divs0d  28451  halfcut  28454  bdaypw2n0bndlem  28459  bdaypw2n0bnd  28460  bdayfinbndlem1  28463  z12bdaylem1  28466  z12bday  28481  bdayfin  28483  recut  28490  elreno2  28491  0reno  28492  1reno  28493