Theorem 0no 27801

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27799	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5297	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 27768	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 27774	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2832	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   No csur 27603   <<s cslts 27749   |s ccuts 27751   0_s c0s 27797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799

This theorem is referenced by:  1no  27802  0lt1s  27804  bday1  27806  cuteq0  27807  cutneg  27808  cuteq1  27809  gt0ne0s  27810  made0  27855  right1s  27888  0elold  27902  addsrid  27956  addslid  27960  addsproplem2  27962  addsfo  27975  ltaddspos1d  28003  ltaddspos2d  28004  addsgt0d  28006  ltsp1d  28007  addsge01d  28008  neg0s  28018  neg1s  28019  negsproplem2  28021  negsproplem6  28025  negscl  28028  negsid  28033  negsdi  28042  lt0negs2d  28043  subsfo  28057  negsval2  28058  subsid1  28060  posdifsd  28090  ltsubsposd  28091  subsge0d  28092  muls01  28104  mulsrid  28105  mulsproplem2  28109  mulsproplem3  28110  mulsproplem4  28111  mulsproplem5  28112  mulsproplem6  28113  mulsproplem7  28114  mulsproplem8  28115  mulscl  28126  ltmuls  28128  lemulsd  28130  muls02  28133  mulsgt0  28136  mulsge0d  28138  ltmulnegs1d  28168  mulscan2d  28171  lemuls1ad  28174  ltmuls12ad  28175  muls0ord  28177  precsexlem8  28206  precsexlem9  28207  precsexlem11  28209  recsex  28211  abs0s  28234  abssnid  28235  absmuls  28236  abssge0  28237  absnegs  28239  leabss  28240  0ons  28248  peano5n0s  28311  n0ssno  28312  0n0s  28321  peano2n0s  28322  dfn0s2  28324  n0sind  28325  n0cut  28326  n0sge0  28330  nnsgt0  28331  elnns2  28333  nnsge1  28335  nnsrecgt0d  28343  seqn0sfn  28352  n0subs  28355  n0lts1e0  28360  eucliddivs  28368  elzs2  28391  elnnzs  28393  elznns  28394  twocut  28415  nohalf  28416  pw2recs  28430  pw2gt0divsd  28437  pw2ge0divsd  28438  pw2divsnegd  28441  pw2divs0d  28447  halfcut  28450  bdaypw2n0bndlem  28455  bdaypw2n0bnd  28456  bdayfinbndlem1  28459  z12bdaylem1  28462  z12bday  28477  bdayfin  28479  recut  28486  elreno2  28487  0reno  28488  1reno  28489