Theorem 0no 27879

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27877	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5311	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 27846	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 27852	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2857	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392   No csur 27681   <<s cslts 27827   |s ccuts 27829   0_s c0s 27875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-0s 27877

This theorem is referenced by:  1no  27880  0lt1s  27882  bday1  27884  cuteq0  27885  cutneg  27886  cuteq1  27887  gt0ne0s  27888  made0  27933  right1s  27966  0elold  27980  addsrid  28034  addslid  28038  addsproplem2  28040  addsfo  28053  ltaddspos1d  28081  ltaddspos2d  28082  addsgt0d  28084  ltsp1d  28085  addsge01d  28086  neg0s  28096  neg1s  28097  negsproplem2  28099  negsproplem6  28103  negscl  28106  negsid  28111  negsdi  28120  lt0negs2d  28121  subsfo  28135  negsval2  28136  subsid1  28138  posdifsd  28168  ltsubsposd  28169  subsge0d  28170  muls01  28182  mulsrid  28183  mulsproplem2  28187  mulsproplem3  28188  mulsproplem4  28189  mulsproplem5  28190  mulsproplem6  28191  mulsproplem7  28192  mulsproplem8  28193  mulscl  28204  ltmuls  28206  lemulsd  28208  muls02  28211  mulsgt0  28214  mulsge0d  28216  ltmulnegs1d  28246  mulscan2d  28249  lemuls1ad  28252  ltmuls12ad  28253  muls0ord  28255  precsexlem8  28284  precsexlem9  28285  precsexlem11  28287  recsex  28289  abs0s  28312  abssnid  28313  absmuls  28314  abssge0  28315  absnegs  28317  leabss  28318  0ons  28326  peano5n0s  28389  n0ssno  28390  0n0s  28399  peano2n0s  28400  dfn0s2  28402  n0sind  28403  n0cut  28404  n0sge0  28408  nnsgt0  28409  elnns2  28411  nnsge1  28413  nnsrecgt0d  28421  seqn0sfn  28430  n0subs  28433  n0lts1e0  28438  eucliddivs  28446  elzs2  28469  elnnzs  28471  elznns  28472  twocut  28493  nohalf  28494  pw2recs  28508  pw2gt0divsd  28515  pw2ge0divsd  28516  pw2divsnegd  28519  pw2divs0d  28525  halfcut  28528  bdaypw2n0bndlem  28533  bdaypw2n0bnd  28534  bdayfinbndlem1  28537  z12bdaylem1  28540  z12bday  28555  bdayfin  28557  recut  28564  elreno2  28565  0reno  28566  1reno  28567