Theorem 0no 27980

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27978	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5328	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 27947	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 27953	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2859	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412   No csur 27782   <<s cslts 27928   |s ccuts 27930   0_s c0s 27976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-0s 27978

This theorem is referenced by:  1no  27981  0lt1s  27983  bday1  27985  cuteq0  27986  cutneg  27987  cuteq1  27988  gt0ne0s  27989  made0  28034  right1s  28067  0elold  28081  addsrid  28135  addslid  28139  addsproplem2  28141  addsfo  28154  ltaddspos1d  28182  ltaddspos2d  28183  addsgt0d  28185  ltsp1d  28186  addsge01d  28187  neg0s  28197  neg1s  28198  negsproplem2  28200  negsproplem6  28204  negscl  28207  negsid  28212  negsdi  28221  lt0negs2d  28222  subsfo  28236  negsval2  28237  subsid1  28239  posdifsd  28269  ltsubsposd  28270  subsge0d  28271  muls01  28283  mulsrid  28284  mulsproplem2  28288  mulsproplem3  28289  mulsproplem4  28290  mulsproplem5  28291  mulsproplem6  28292  mulsproplem7  28293  mulsproplem8  28294  mulscl  28305  ltmuls  28307  lemulsd  28309  muls02  28312  mulsgt0  28315  mulsge0d  28317  ltmulnegs1d  28347  mulscan2d  28350  lemuls1ad  28353  ltmuls12ad  28354  muls0ord  28356  precsexlem8  28385  precsexlem9  28386  precsexlem11  28388  recsex  28390  abs0s  28413  abssnid  28414  absmuls  28415  abssge0  28416  absnegs  28418  leabss  28419  0ons  28427  peano5n0s  28490  n0ssno  28491  0n0s  28500  peano2n0s  28501  dfn0s2  28503  n0sind  28504  n0cut  28505  n0sge0  28509  nnsgt0  28510  elnns2  28512  nnsge1  28514  nnsrecgt0d  28522  seqn0sfn  28531  n0subs  28534  n0lts1e0  28539  eucliddivs  28547  elzs2  28570  elnnzs  28572  elznns  28573  twocut  28594  nohalf  28595  pw2recs  28609  pw2gt0divsd  28616  pw2ge0divsd  28617  pw2divsnegd  28620  pw2divs0d  28626  halfcut  28629  bdaypw2n0bndlem  28634  bdaypw2n0bnd  28635  bdayfinbndlem1  28638  z12bdaylem1  28641  z12bday  28656  bdayfin  28658  recut  28665  elreno2  28666  0reno  28667  1reno  28668