Theorem 0no 28177

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 28175	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5317	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 28144	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 28150	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2857	1 ⊢ 0s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   No csur 27979   <<s cslts 28125   |s ccuts 28127   0_s c0s 28173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175

This theorem is used by:  1no  28178  0lt1s  28180  bday1  28182  cuteq0  28183  cutneg  28184  cuteq1  28185  gt0ne0s  28186  made0  28231  right1s  28264  0elold  28278  addsrid  28332  addslid  28336  addsproplem2  28338  addsfo  28351  ltaddspos1d  28379  ltaddspos2d  28380  addsgt0d  28382  ltsp1d  28383  addsge01d  28384  neg0s  28394  neg1s  28395  negsproplem2  28397  negsproplem6  28401  negscl  28404  negsid  28409  negsdi  28418  lt0negs2d  28419  subsfo  28433  negsval2  28434  subsid1  28436  posdifsd  28466  ltsubsposd  28467  subsge0d  28468  muls01  28480  mulsrid  28481  mulsproplem2  28485  mulsproplem3  28486  mulsproplem4  28487  mulsproplem5  28488  mulsproplem6  28489  mulsproplem7  28490  mulsproplem8  28491  mulscl  28502  ltmuls  28504  lemulsd  28506  muls02  28509  mulsgt0  28512  mulsge0d  28514  ltmulnegs1d  28544  mulscan2d  28547  lemuls1ad  28550  ltmuls12ad  28551  muls0ord  28553  precsexlem8  28582  precsexlem9  28583  precsexlem11  28585  recsex  28587  abs0s  28610  abssnid  28611  absmuls  28612  abssge0  28613  absnegs  28615  leabss  28616  0ons  28624  peano5n0s  28687  n0ssno  28688  0n0s  28697  peano2n0s  28698  dfn0s2  28700  n0sind  28701  n0cut  28702  n0sge0  28706  nnsgt0  28707  elnns2  28709  nnsge1  28711  nnsrecgt0d  28719  seqn0sfn  28728  n0subs  28731  n0lts1e0  28736  eucliddivs  28744  elzs2  28767  elnnzs  28769  elznns  28770  twocut  28791  nohalf  28792  pw2recs  28806  pw2gt0divsd  28813  pw2ge0divsd  28814  pw2divsnegd  28817  pw2divs0d  28823  halfcut  28826  bdaypw2n0bndlem  28831  bdaypw2n0bnd  28832  bdayfinbndlem1  28835  z12bdaylem1  28838  z12bday  28853  bdayfin  28855  recut  28862  elreno2  28863  0reno  28864  1reno  28865