Theorem 0no 27960

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27958	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5317	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 27927	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 27933	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2861	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400   No csur 27762   <<s cslts 27908   |s ccuts 27910   0_s c0s 27956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958

This theorem is referenced by:  1no  27961  0lt1s  27963  bday1  27965  cuteq0  27966  cutneg  27967  cuteq1  27968  gt0ne0s  27969  made0  28014  right1s  28047  0elold  28061  addsrid  28115  addslid  28119  addsproplem2  28121  addsfo  28134  ltaddspos1d  28162  ltaddspos2d  28163  addsgt0d  28165  ltsp1d  28166  addsge01d  28167  neg0s  28177  neg1s  28178  negsproplem2  28180  negsproplem6  28184  negscl  28187  negsid  28192  negsdi  28201  lt0negs2d  28202  subsfo  28216  negsval2  28217  subsid1  28219  posdifsd  28249  ltsubsposd  28250  subsge0d  28251  muls01  28263  mulsrid  28264  mulsproplem2  28268  mulsproplem3  28269  mulsproplem4  28270  mulsproplem5  28271  mulsproplem6  28272  mulsproplem7  28273  mulsproplem8  28274  mulscl  28285  ltmuls  28287  lemulsd  28289  muls02  28292  mulsgt0  28295  mulsge0d  28297  ltmulnegs1d  28327  mulscan2d  28330  lemuls1ad  28333  ltmuls12ad  28334  muls0ord  28336  precsexlem8  28365  precsexlem9  28366  precsexlem11  28368  recsex  28370  abs0s  28393  abssnid  28394  absmuls  28395  abssge0  28396  absnegs  28398  leabss  28399  0ons  28407  peano5n0s  28470  n0ssno  28471  0n0s  28480  peano2n0s  28481  dfn0s2  28483  n0sind  28484  n0cut  28485  n0sge0  28489  nnsgt0  28490  elnns2  28492  nnsge1  28494  nnsrecgt0d  28502  seqn0sfn  28511  n0subs  28514  n0lts1e0  28519  eucliddivs  28527  elzs2  28550  elnnzs  28552  elznns  28553  twocut  28574  nohalf  28575  pw2recs  28589  pw2gt0divsd  28596  pw2ge0divsd  28597  pw2divsnegd  28600  pw2divs0d  28606  halfcut  28609  bdaypw2n0bndlem  28614  bdaypw2n0bnd  28615  bdayfinbndlem1  28618  z12bdaylem1  28621  z12bday  28636  bdayfin  28638  recut  28645  elreno2  28646  0reno  28647  1reno  28648