Theorem 0no 28200

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 28198	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5316	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 28167	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 28173	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2856	1 ⊢ 0s ∈ No

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   <<s cslts 28148   |s ccuts 28150   0_s c0s 28196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198

This theorem is used by:  1no  28201  0lt1s  28203  bday1  28205  cuteq0  28206  cutneg  28207  cuteq1  28208  gt0ne0s  28209  made0  28254  right1s  28287  0elold  28301  addsrid  28355  addslid  28359  addsproplem2  28361  addsfo  28374  ltaddspos1d  28402  ltaddspos2d  28403  addsgt0d  28405  ltsp1d  28406  addsge01d  28407  neg0s  28417  neg1s  28418  negsproplem2  28420  negsproplem6  28424  negscl  28427  negsid  28432  negsdi  28441  lt0negs2d  28442  subsfo  28456  negsval2  28457  subsid1  28459  posdifsd  28489  ltsubsposd  28490  subsge0d  28491  muls01  28503  mulsrid  28504  mulsproplem2  28508  mulsproplem3  28509  mulsproplem4  28510  mulsproplem5  28511  mulsproplem6  28512  mulsproplem7  28513  mulsproplem8  28514  mulscl  28525  ltmuls  28527  lemulsd  28529  muls02  28532  mulsgt0  28535  mulsge0d  28537  ltmulnegs1d  28567  mulscan2d  28570  lemuls1ad  28573  ltmuls12ad  28574  muls0ord  28576  precsexlem8  28605  precsexlem9  28606  precsexlem11  28608  recsex  28610  abs0s  28633  abssnid  28634  absmuls  28635  abssge0  28636  absnegs  28638  leabss  28639  0ons  28647  peano5n0s  28710  n0ssno  28711  0n0s  28720  peano2n0s  28721  dfn0s2  28723  n0sind  28724  n0cut  28725  n0sge0  28729  nnsgt0  28730  elnns2  28732  nnsge1  28734  nnsrecgt0d  28742  seqn0sfn  28751  n0subs  28754  n0lts1e0  28759  eucliddivs  28767  elzs2  28790  elnnzs  28792  elznns  28793  twocut  28814  nohalf  28815  pw2recs  28829  pw2gt0divsd  28836  pw2ge0divsd  28837  pw2divsnegd  28840  pw2divs0d  28846  halfcut  28849  bdaypw2n0bndlem  28854  bdaypw2n0bnd  28855  bdayfinbndlem1  28858  z12bdaylem1  28861  z12bday  28876  bdayfin  28878  recut  28885  elreno2  28886  0reno  28887  1reno  28888