Theorem 0no 27817

Description: Surreal zero is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0no	⊢ 0s ∈ No

Proof of Theorem 0no

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0s 27815	. 2 ⊢ 0s = (∅ |s ∅)
2		0elpw 5303	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3		nulsgts 27784	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝒫 No → ∅ <<s ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ <<s ∅
5		cutscl 27790	. . 3 ⊢ (∅ <<s ∅ → (∅ |s ∅) ∈ No )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ |s ∅) ∈ No
7	1, 6	eqeltri 2833	1 ⊢ 0s ∈ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   No csur 27619   <<s cslts 27765   |s ccuts 27767   0_s c0s 27813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1o 8407  df-2o 8408  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815

This theorem is referenced by:  1no  27818  0lt1s  27820  bday1  27822  cuteq0  27823  cutneg  27824  cuteq1  27825  gt0ne0s  27826  made0  27871  right1s  27904  0elold  27918  addsrid  27972  addslid  27976  addsproplem2  27978  addsfo  27991  ltaddspos1d  28019  ltaddspos2d  28020  addsgt0d  28022  ltsp1d  28023  addsge01d  28024  neg0s  28034  neg1s  28035  negsproplem2  28037  negsproplem6  28041  negscl  28044  negsid  28049  negsdi  28058  lt0negs2d  28059  subsfo  28073  negsval2  28074  subsid1  28076  posdifsd  28106  ltsubsposd  28107  subsge0d  28108  muls01  28120  mulsrid  28121  mulsproplem2  28125  mulsproplem3  28126  mulsproplem4  28127  mulsproplem5  28128  mulsproplem6  28129  mulsproplem7  28130  mulsproplem8  28131  mulscl  28142  ltmuls  28144  lemulsd  28146  muls02  28149  mulsgt0  28152  mulsge0d  28154  ltmulnegs1d  28184  mulscan2d  28187  lemuls1ad  28190  ltmuls12ad  28191  muls0ord  28193  precsexlem8  28222  precsexlem9  28223  precsexlem11  28225  recsex  28227  abs0s  28250  abssnid  28251  absmuls  28252  abssge0  28253  absnegs  28255  leabss  28256  0ons  28264  peano5n0s  28327  n0ssno  28328  0n0s  28337  peano2n0s  28338  dfn0s2  28340  n0sind  28341  n0cut  28342  n0sge0  28346  nnsgt0  28347  elnns2  28349  nnsge1  28351  nnsrecgt0d  28359  seqn0sfn  28368  n0subs  28371  n0lts1e0  28376  eucliddivs  28384  elzs2  28407  elnnzs  28409  elznns  28410  twocut  28431  nohalf  28432  pw2recs  28446  pw2gt0divsd  28453  pw2ge0divsd  28454  pw2divsnegd  28457  pw2divs0d  28463  halfcut  28466  bdaypw2n0bndlem  28471  bdaypw2n0bnd  28472  bdayfinbndlem1  28475  z12bdaylem1  28478  z12bday  28493  bdayfin  28495  recut  28502  elreno2  28503  0reno  28504  1reno  28505