Theorem ordge1n0 8540

Description: An ordinal greater than or equal to 1 is nonzero. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordge1n0	⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ordge1n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordgt0ge1 8539	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
2		ord0eln0 6445	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	bitr3d 284	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  Ord word 6387  1_oc1o 8507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-1o 8514

This theorem is used by:  om00  8621  bday1  28257  finxpsuc  38589  oege1  44569  nelsubc3  50516