Theorem ordge1n0 8485

Description: An ordinal greater than or equal to 1 is nonzero. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordge1n0	⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ordge1n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordgt0ge1 8484	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
2		ord0eln0 6421	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	bitr3d 284	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (1o ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  Ord word 6363  1_oc1o 8452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-1o 8459

This theorem is used by:  om00  8566  bday1  28058  finxpsuc  38101  oege1  44091  nelsubc3  49906