MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om00 8526
Description: The product of two ordinal numbers is zero iff at least one of them is zero. Proposition 8.22 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
om00 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))

Proof of Theorem om00
StepHypRef Expression
1 neanior 3034 . . . . 5 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†” ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
2 eloni 6331 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
3 ordge1n0 8444 . . . . . . . . . 10 (Ord ๐ด โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
54biimprd 248 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ 1o โŠ† ๐ด))
65adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ 1o โŠ† ๐ด))
7 on0eln0 6377 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
9 omword1 8524 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต))
109ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
118, 10sylbird 260 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ‰  โˆ… โ†’ ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
126, 11anim12d 610 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โˆง ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต))))
13 sstr 3956 . . . . . 6 ((1o โŠ† ๐ด โˆง ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)) โ†’ 1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต))
1412, 13syl6 35 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ 1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
151, 14biimtrrid 242 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ 1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
16 omcl 8486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
17 eloni 6331 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
18 ordge1n0 8444 . . . . 5 (Ord (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต) โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
1916, 17, 183syl 18 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต) โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
2015, 19sylibd 238 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
2120necon4bd 2960 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
22 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
23 om0r 8489 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
2422, 23sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
2524ex 414 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
2625adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
27 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo โˆ…))
28 om0 8467 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2927, 28sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
3029ex 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3130adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3226, 31jaod 858 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3321, 32impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  Ord word 6320  Oncon0 6321  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  om00el  8527  omlimcl  8529  oeoe  8550
  Copyright terms: Public domain W3C validator