MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om00 8574
Description: The product of two ordinal numbers is zero iff at least one of them is zero. Proposition 8.22 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
om00 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))

Proof of Theorem om00
StepHypRef Expression
1 neanior 3035 . . . . 5 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†” ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
2 eloni 6374 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
3 ordge1n0 8493 . . . . . . . . . 10 (Ord ๐ด โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ๐ด โ‰  โˆ…))
54biimprd 247 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ 1o โŠ† ๐ด))
65adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ‰  โˆ… โ†’ 1o โŠ† ๐ด))
7 on0eln0 6420 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
9 omword1 8572 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต))
109ex 413 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
118, 10sylbird 259 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ‰  โˆ… โ†’ ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
126, 11anim12d 609 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โˆง ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต))))
13 sstr 3990 . . . . . 6 ((1o โŠ† ๐ด โˆง ๐ด โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)) โ†’ 1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต))
1412, 13syl6 35 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ 1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
151, 14biimtrrid 242 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ 1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต)))
16 omcl 8535 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
17 eloni 6374 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
18 ordge1n0 8493 . . . . 5 (Ord (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต) โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
1916, 17, 183syl 18 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† (๐ด ยทo ๐ต) โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
2015, 19sylibd 238 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
2120necon4bd 2960 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
22 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (โˆ… ยทo ๐ต))
23 om0r 8538 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐ต) = โˆ…)
2422, 23sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
2524ex 413 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
2625adantl 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
27 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo โˆ…))
28 om0 8516 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
2927, 28sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
3029ex 413 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3130adantr 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3226, 31jaod 857 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…))
3321, 32impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7408  1oc1o 8458   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  om00el  8575  omlimcl  8577  oeoe  8598
  Copyright terms: Public domain W3C validator