Theorem finxpsuc 35569

Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxpsuc	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7720	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2		ordge1n0 8324	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4	3	biimprd 247	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝑁))
5	4	imdistani 569	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
7	6	finxpsuclem 35568	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459  ⟨cop 4567  ∪ cuni 4839   × cxp 5587  Ord word 6265  suc csuc 6268  ‘cfv 6433   ∈ cmpo 7277  ωcom 7712  1^st c1st 7829  1_oc1o 8290  ↑↑cfinxp 35554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-en 8734  df-fin 8737  df-finxp 35555

This theorem is referenced by:  finxp2o  35570  finxp3o  35571  finxp00  35573