Theorem finxpsuc 38322

Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxpsuc	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7885	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2		ordge1n0 8502	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4	3	biimprd 251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝑁))
5	4	imdistani 579	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
7	6	finxpsuclem 38321	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
8	5, 7	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ifcif 4481  ⟨cop 4589  ∪ cuni 4866   × cxp 5648  Ord word 6361  suc csuc 6364  ‘cfv 6538   ∈ cmpo 7422  ωcom 7877  1^st c1st 7999  1_oc1o 8469  ↑↑cfinxp 38307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-en 8974  df-fin 8977  df-finxp 38308

This theorem is used by:  finxp2o  38323  finxp3o  38324  finxp00  38326