Theorem finxpsuc 37734

Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxpsuc	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2		ordge1n0 8424	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4	3	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝑁))
5	4	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
7	6	finxpsuclem 37733	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  ⟨cop 4574  ∪ cuni 4851   × cxp 5624  Ord word 6318  suc csuc 6321  ‘cfv 6494   ∈ cmpo 7364  ωcom 7812  1^st c1st 7935  1_oc1o 8393  ↑↑cfinxp 37719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-en 8889  df-fin 8892  df-finxp 37720

This theorem is referenced by:  finxp2o  37735  finxp3o  37736  finxp00  37738