Mathbox for ML < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxpsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxpsuc 34683
 Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxpsuc ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnord 7591 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2 ordge1n0 8126 . . . . 5 (Ord 𝑁 → (1o𝑁𝑁 ≠ ∅))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → (1o𝑁𝑁 ≠ ∅))
43biimprd 250 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1o𝑁))
54imdistani 571 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1o𝑁))
6 eqid 2824 . . 3 (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o𝑥𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨ 𝑦, (1st𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o𝑥𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨ 𝑦, (1st𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
76finxpsuclem 34682 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
85, 7syl 17 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  ifcif 4470  ⟨cop 4576  ∪ cuni 4841   × cxp 5556  Ord word 6193  suc csuc 6196  ‘cfv 6358   ∈ cmpo 7161  ωcom 7583  1st c1st 7690  1oc1o 8098  ↑↑cfinxp 34668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-finxp 34669 This theorem is referenced by:  finxp2o  34684  finxp3o  34685  finxp00  34687
 Copyright terms: Public domain W3C validator