Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxpsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxpsuc 33733
Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxpsuc ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnord 7307 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2 ordge1n0 7818 . . . . 5 (Ord 𝑁 → (1𝑜𝑁𝑁 ≠ ∅))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → (1𝑜𝑁𝑁 ≠ ∅))
43biimprd 240 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1𝑜𝑁))
54imdistani 565 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1𝑜𝑁))
6 eqid 2799 . . 3 (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1𝑜𝑥𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨ 𝑦, (1st𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1𝑜𝑥𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨ 𝑦, (1st𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
76finxpsuclem 33732 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 1𝑜𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
85, 7syl 17 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  Vcvv 3385  wss 3769  c0 4115  ifcif 4277  cop 4374   cuni 4628   × cxp 5310  Ord word 5940  suc csuc 5943  cfv 6101  cmpt2 6880  ωcom 7299  1st c1st 7399  1𝑜c1o 7792  ↑↑cfinxp 33718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-finxp 33719
This theorem is referenced by:  finxp2o  33734  finxp3o  33735  finxp00  33737
  Copyright terms: Public domain W3C validator