Theorem finxpsuc 37967

Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxpsuc	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7870	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2		ordge1n0 8479	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑁 → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (1o ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4	3	biimprd 251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝑁))
5	4	imdistani 578	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁))
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨∪ 𝑦, (1st ‘𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
7	6	finxpsuclem 37966	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 1o ⊆ 𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
8	5, 7	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4490  ⟨cop 4598  ∪ cuni 4874   × cxp 5660  Ord word 6360  suc csuc 6363  ‘cfv 6537   ∈ cmpo 7413  ωcom 7862  1^st c1st 7984  1_oc1o 8446  ↑↑cfinxp 37952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-en 8944  df-fin 8947  df-finxp 37953

This theorem is referenced by:  finxp2o  37968  finxp3o  37969  finxp00  37971