Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oege1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oege1 43324
Description: Any non-zero ordinal power is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.19 of [Schloeder] p. 10. See oewordi 8630. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oege1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem oege1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2 0ss 4399 . . . 4 ∅ ⊆ (𝐴o 𝐵)
31, 2eqsstrdi 4027 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵)))
5 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6 oe1 8583 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐴o 1o) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 1o) = 𝐴)
8 1on 8519 . . . . . . . 8 1o ∈ On
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ∈ On)
10 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
11 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
129, 10, 113jca 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
1312anim1i 615 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
14 eloni 6393 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → Ord 𝐵)
16 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17 ordge1n0 8533 . . . . . . . 8 (Ord 𝐵 → (1o𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817biimprd 248 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 1o𝐵))
1915, 16, 18sylc 65 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o𝐵)
2019adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 1o𝐵)
21 oewordi 8630 . . . . 5 (((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (1o𝐵 → (𝐴o 1o) ⊆ (𝐴o 𝐵)))
2213, 20, 21sylc 65 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 1o) ⊆ (𝐴o 𝐵))
237, 22eqsstrrd 4018 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
2423ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵)))
25 on0eqel 6507 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
2611, 25syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
274, 24, 26mpjaod 860 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wss 3950  c0 4332  Ord word 6382  Oncon0 6383  (class class class)co 7432  1oc1o 8500  o coe 8506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-oexp 8513
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator