Theorem oege1 43283

Description: Any non-zero ordinal power is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.19 of [Schloeder] p. 10. See oewordi 8509. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oege1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem oege1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2		0ss 4351	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)
3	1, 2	eqsstrdi 3980	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
5		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6		oe1 8462	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
8		1on 8400	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ∈ On)
10		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
11		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
12	9, 10, 11	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
13	12	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
14		eloni 6317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → Ord 𝐵)
16		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17		ordge1n0 8412	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐵 → (1o ⊆ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝐵))
19	15, 16, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ⊆ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 1o ⊆ 𝐵)
21		oewordi 8509	. . . . 5 ⊢ (((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (1o ⊆ 𝐵 → (𝐴 ↑o 1o) ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
22	13, 20, 21	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 1o) ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
23	7, 22	eqsstrrd 3971	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
24	23	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
25		on0eqel 6432	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
26	11, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
27	4, 24, 26	mpjaod 860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  Ord word 6306  Oncon0 6307  (class class class)co 7349  1_oc1o 8381   ↑_o coe 8387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-oexp 8394

This theorem is referenced by: (None)