Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oege1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oege1 41891
Description: Any non-zero ordinal power is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.19 of [Schloeder] p. 10. See oewordi 8576. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oege1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem oege1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2 0ss 4393 . . . 4 ∅ ⊆ (𝐴o 𝐵)
31, 2eqsstrdi 4033 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵)))
5 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6 oe1 8529 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐴o 1o) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 1o) = 𝐴)
8 1on 8462 . . . . . . . 8 1o ∈ On
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ∈ On)
10 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
11 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
129, 10, 113jca 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
1312anim1i 615 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
14 eloni 6364 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → Ord 𝐵)
16 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17 ordge1n0 8478 . . . . . . . 8 (Ord 𝐵 → (1o𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817biimprd 247 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 1o𝐵))
1915, 16, 18sylc 65 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o𝐵)
2019adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 1o𝐵)
21 oewordi 8576 . . . . 5 (((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (1o𝐵 → (𝐴o 1o) ⊆ (𝐴o 𝐵)))
2213, 20, 21sylc 65 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 1o) ⊆ (𝐴o 𝐵))
237, 22eqsstrrd 4018 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
2423ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵)))
25 on0eqel 6478 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
2611, 25syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
274, 24, 26mpjaod 858 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wss 3945  c0 4319  Ord word 6353  Oncon0 6354  (class class class)co 7394  1oc1o 8443  o coe 8449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-oadd 8454  df-omul 8455  df-oexp 8456
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator