Theorem oege1 43884

Description: Any nonzero ordinal power is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.19 of [Schloeder] p. 10. See oewordi 8562. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oege1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem oege1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2		0ss 4355	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)
3	1, 2	eqsstrdi 3981	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
5		simpl1 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6		oe1 8514	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
8		1on 8451	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ∈ On)
10		simp2 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
11		simp1 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
12	9, 10, 11	3jca 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
13	12	anim1i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
14		eloni 6357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → Ord 𝐵)
16		simp3 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17		ordge1n0 8464	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐵 → (1o ⊆ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	biimprd 250	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝐵))
19	15, 16, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ⊆ 𝐵)
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 1o ⊆ 𝐵)
21		oewordi 8562	. . . . 5 ⊢ (((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (1o ⊆ 𝐵 → (𝐴 ↑o 1o) ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
22	13, 20, 21	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 1o) ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
23	7, 22	eqsstrrd 3972	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
24	23	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
25		on0eqel 6472	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
26	11, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
27	4, 24, 26	mpjaod 871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  Ord word 6346  Oncon0 6347  (class class class)co 7397  1_oc1o 8431   ↑_o coe 8437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-omul 8443  df-oexp 8444

This theorem is referenced by: (None)