Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oege1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oege1 43296
Description: Any non-zero ordinal power is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.19 of [Schloeder] p. 10. See oewordi 8628. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oege1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem oege1
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2 0ss 4406 . . . 4 ∅ ⊆ (𝐴o 𝐵)
31, 2eqsstrdi 4050 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵)))
5 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6 oe1 8581 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝐴o 1o) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 1o) = 𝐴)
8 1on 8517 . . . . . . . 8 1o ∈ On
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ∈ On)
10 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
11 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
129, 10, 113jca 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
1312anim1i 615 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
14 eloni 6396 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → Ord 𝐵)
16 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17 ordge1n0 8531 . . . . . . . 8 (Ord 𝐵 → (1o𝐵𝐵 ≠ ∅))
1817biimprd 248 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 1o𝐵))
1915, 16, 18sylc 65 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o𝐵)
2019adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 1o𝐵)
21 oewordi 8628 . . . . 5 (((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (1o𝐵 → (𝐴o 1o) ⊆ (𝐴o 𝐵)))
2213, 20, 21sylc 65 . . . 4 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴o 1o) ⊆ (𝐴o 𝐵))
237, 22eqsstrrd 4035 . . 3 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
2423ex 412 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵)))
25 on0eqel 6510 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
2611, 25syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
274, 24, 26mpjaod 860 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339  Ord word 6385  Oncon0 6386  (class class class)co 7431  1oc1o 8498  o coe 8504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator