Theorem oege1 43734

Description: Any nonzero ordinal power is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.19 of [Schloeder] p. 10. See oewordi 8527. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oege1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem oege1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
2		0ss 4340	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)
3	1, 2	eqsstrdi 3966	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
5		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
6		oe1 8479	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 1o) = 𝐴)
8		1on 8417	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ∈ On)
10		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
11		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
12	9, 10, 11	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
13	12	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
14		eloni 6333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
15	10, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → Ord 𝐵)
16		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
17		ordge1n0 8429	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐵 → (1o ⊆ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 1o ⊆ 𝐵))
19	15, 16, 18	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 1o ⊆ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 1o ⊆ 𝐵)
21		oewordi 8527	. . . . 5 ⊢ (((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (1o ⊆ 𝐵 → (𝐴 ↑o 1o) ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
22	13, 20, 21	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o 1o) ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
23	7, 22	eqsstrrd 3957	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))
24	23	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵)))
25		on0eqel 6448	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
26	11, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
27	4, 24, 26	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  Ord word 6322  Oncon0 6323  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398   ↑_o coe 8404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-oexp 8411

This theorem is referenced by: (None)