Theorem ovrcl 7455

Description: Reverse closure for an operation value. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovrcl	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem ovrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4286	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7452	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl2 142	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  dom cdm 5655  Rel wrel 5660  (class class class)co 7414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7417

This theorem is used by:  ghmquskerco  19412  smatrcl  34307  grimprop  48800  grimuhgr  48804  grimcnv  48805  grimco  48806  uhgrimisgrgric  48848  grlimprop  48901  grlimprop2  48903