Theorem grimprop 48925

Description: Properties of an isomorphism of graphs. (Contributed by AV, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimprop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimprop.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
grimprop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
grimprop.d	⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimprop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐻,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖, 𝑗)   𝐸(𝑖, 𝑗)   𝑉(𝑖, 𝑗)   𝑊(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem grimprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimdmrel 48922	. . . . 5 ⊢ Rel dom GraphIso
2	1	ovrcl 7453	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
3	2	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
4	2	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐻 ∈ V)
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6	3, 4, 5	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)))
7		grimprop.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		grimprop.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
9		grimprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
10		grimprop.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	isgrim 48924	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ↔ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
12	11	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
13	6, 12	mpcom 39	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  dom cdm 5651   “ cima 5654  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29556  iEdgciedg 29557   GraphIso cgrim 48917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-grim 48920

This theorem is used by:  grimf1o  48926  grimuhgr  48929  grimcnv  48930  grimco  48931  uhgrimedgi  48932  uhgrimisgrgric  48973  clnbgrgrimlem  48975  clnbgrgrim  48976  grimedg  48977