Theorem grimprop 48631

Description: Properties of an isomorphism of graphs. (Contributed by AV, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimprop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimprop.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
grimprop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
grimprop.d	⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimprop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐻,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)   𝑊(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem grimprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimdmrel 48628	. . . . 5 ⊢ Rel dom GraphIso
2	1	ovrcl 7453	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
3	2	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
4	2	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐻 ∈ V)
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6	3, 4, 5	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)))
7		grimprop.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		grimprop.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
9		grimprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
10		grimprop.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	isgrim 48630	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ↔ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
12	11	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
13	6, 12	mpcom 39	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  dom cdm 5663   “ cima 5666  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328   GraphIso cgrim 48623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8827  df-grim 48626

This theorem is referenced by:  grimf1o  48632  grimuhgr  48635  grimcnv  48636  grimco  48637  uhgrimedgi  48638  uhgrimisgrgric  48679  clnbgrgrimlem  48681  clnbgrgrim  48682  grimedg  48683