Theorem grimprop 49196

Description: Properties of an isomorphism of graphs. (Contributed by AV, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimprop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimprop.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
grimprop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
grimprop.d	⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimprop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸⟶1-1ontodom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐻,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖, 𝑗)   𝐸(𝑖, 𝑗)   𝑉(𝑖, 𝑗)   𝑊(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem grimprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimdmrel 49193	. . . . 5 ⊢ Rel dom GraphIso
2	1	ovrcl 7487	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
3	2	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
4	2	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐻 ∈ V)
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6	3, 4, 5	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)))
7		grimprop.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		grimprop.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
9		grimprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
10		grimprop.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	isgrim 49195	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ↔ (𝐹:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸⟶1-1ontodom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
12	11	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸⟶1-1ontodom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
13	6, 12	mpcom 39	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸⟶1-1ontodom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  dom cdm 5656   “ cima 5659  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Vtxcvtx 29607  iEdgciedg 29608   GraphIso cgrim 49188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-map 8880  df-grim 49191

This theorem is used by:  grimf1o  49197  grimuhgr  49200  grimcnv  49201  grimco  49202  uhgrimedgi  49203  uhgrimisgrgric  49244  clnbgrgrimlem  49246  clnbgrgrim  49247  grimedg  49248