Theorem grimprop 48504

Description: Properties of an isomorphism of graphs. (Contributed by AV, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimprop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimprop.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
grimprop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
grimprop.d	⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimprop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐻,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)   𝑊(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem grimprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimdmrel 48501	. . . . 5 ⊢ Rel dom GraphIso
2	1	ovrcl 7441	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
3	2	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
4	2	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐻 ∈ V)
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6	3, 4, 5	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)))
7		grimprop.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		grimprop.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
9		grimprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
10		grimprop.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	isgrim 48503	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ↔ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
12	11	biimpd 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
13	6, 12	mpcom 39	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457  dom cdm 5651   “ cima 5654  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Vtxcvtx 29251  iEdgciedg 29252   GraphIso cgrim 48496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-map 8814  df-grim 48499

This theorem is referenced by:  grimf1o  48505  grimuhgr  48508  grimcnv  48509  grimco  48510  uhgrimedgi  48511  uhgrimisgrgric  48552  clnbgrgrimlem  48554  clnbgrgrim  48555  grimedg  48556