Theorem grimprop 47874

Description: Properties of an isomorphism of graphs. (Contributed by AV, 29-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimprop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grimprop.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
grimprop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
grimprop.d	⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grimprop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐻,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)   𝑊(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem grimprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimdmrel 47871	. . . . 5 ⊢ Rel dom GraphIso
2	1	ovrcl 7473	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
4	2	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐻 ∈ V)
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6	3, 4, 5	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)))
7		grimprop.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		grimprop.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
9		grimprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
10		grimprop.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (iEdg‘𝐻)
11	7, 8, 9, 10	isgrim 47873	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ↔ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
12	11	biimpd 229	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖))))))
13	6, 12	mpcom 38	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∃𝑗(𝑗:dom 𝐸–1-1-onto→dom 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐸(𝐷‘(𝑗‘𝑖)) = (𝐹 “ (𝐸‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479  dom cdm 5684   “ cima 5687  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Vtxcvtx 29014  iEdgciedg 29015   GraphIso cgrim 47866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-grim 47869

This theorem is referenced by:  grimf1o  47875  grimuhgr  47883  grimcnv  47884  grimco  47885  uhgrimisgrgric  47904  clnbgrgrimlem  47906  clnbgrgrim  47907  grimedg  47908