Theorem n0i 4289

Description: If a class has elements, then it is not empty. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
n0i	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem n0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nel02 4288	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
2	1	con2i 140	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-dif 4050  df-nul 4282

This theorem is used by:  ne0i  4290  n0ii  4292  oprcl  4862  disjss3  5107  elfvdm  6950  mptrcl  7034  isomin  7376  ovrcl  7492  elfvov1  7493  elfvov2  7494  oalimcl  8606  omlimcl  8624  nnaordex2  8686  oaabs2  8696  ecexr  8760  elpmi  8904  elmapex  8906  pmresg  8936  pmsspw  8943  ixpssmap2g  8993  ixpssmapg  8994  resixpfo  9002  php3  9262  cantnfp1lem2  9717  cantnflem1  9727  cnfcom2lem  9739  rankxplim2  9934  rankxplim3  9935  cardlim  10090  alephnbtwn  10189  ttukeylem5  10630  r1wunlim  10861  ssnn0fi  14168  ruclem13  16454  ramtub  17234  elbasfv  17437  elbasov  17438  restsspw  17652  homarcl  18253  grpidval  18890  odlem2  19804  efgrelexlema  20014  subcmn  20102  dvdsrval  20642  ssdifidllem  21691  elocv  22029  pf1rcl  22722  matrcl  22782  0top  23356  ppttop  23380  pptbas  23381  restrcl  23530  ssrest  23549  iscnp2  23612  lmmo  23753  zfbas  24270  rnelfmlem  24326  isfcls  24383  isnghm  25097  iscau2  25653  itg2cnlem1  26137  itgsubstlem  26423  dchrrcl  27624  clwwlknnn  30681  0ringsubrg  33911  ssmxidllem  34102  eulerpartlemgvv  35119  erscottd  35884  indispconn  36207  cvmtop1  36233  cvmtop2  36234  mrsub0  36489  mrsubf  36490  mrsubccat  36491  mrsubcn  36492  mrsubco  36494  mrsubvrs  36495  msubf  36505  mclsrcl  36534  funpartlem  36921  tailfb  37380  nlpineqsn  38599  atbase  40612  llnbase  40832  lplnbase  40857  lvolbase  40901  osumcllem4N  41282  pexmidlem1N  41293  lhpbase  41321  mapco2g  43991  wepwsolem  44315  onov0suclim  44537  uneqsn  45286  relpmin  46206  ssfiunibd  46598  hoicvr  47831  0nelsetpreimafv  48745  termchomn0  50950