MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmquskerco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmquskerco 19314
Description: In the case of theorem ghmqusker 19317, the composition of the natural homomorphism 𝐿 with the constructed homomorphism 𝐽 equals the original homomorphism 𝐹. One says that 𝐹 factors through 𝑄. (Proposed by Saveliy Skresanov, 15-Feb-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmqusker.1 0 = (0g𝐻)
ghmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
ghmquskerco.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmquskerco.l 𝐿 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
Assertion
Ref Expression
ghmquskerco (𝜑𝐹 = (𝐽𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝐵,𝑞,𝑥   𝐹,𝑞,𝑥   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑥,𝐿   𝑄,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerco
StepHypRef Expression
1 ghmqusker.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
2 ghmquskerco.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
42, 3ghmf 19250 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
65ffnd 6737 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
71adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
87imaexd 7938 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
98uniexd 7760 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
109ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
11 eqid 2734 . . . . 5 (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) = (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
1211fnmpt 6708 . . . 4 (∀𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V → (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) Fn 𝐵)
1310, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) Fn 𝐵)
14 ovex 7463 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V
1514ecelqsi 8811 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)))
17 ghmqusker.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
192a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
20 ovexd 7465 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
21 reldmghm 19244 . . . . . . . . . . 11 Rel dom GrpHom
2221ovrcl 7471 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2322simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
241, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ V)
2518, 19, 20, 24qusbas 17591 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
2716, 26eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
28 ghmquskerco.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐿 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
30 ghmqusker.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞)))
32 imaeq2 6075 . . . . . 6 (𝑞 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → (𝐹𝑞) = (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
3332unieqd 4924 . . . . 5 (𝑞 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → (𝐹𝑞) = (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
3427, 29, 31, 33fmptco 7148 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐿) = (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))))
3534fneq1d 6661 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐿) Fn 𝐵 ↔ (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) Fn 𝐵))
3613, 35mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐿) Fn 𝐵)
37 ecexg 8747 . . . . . 6 ((𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
3814, 37ax-mp 5 . . . . 5 [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V
3938, 28fnmpti 6711 . . . 4 𝐿 Fn 𝐵
40 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
41 fvco2 7005 . . . 4 ((𝐿 Fn 𝐵𝑥𝐵) → ((𝐽𝐿)‘𝑥) = (𝐽‘(𝐿𝑥)))
4239, 40, 41sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐽𝐿)‘𝑥) = (𝐽‘(𝐿𝑥)))
4338a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
4429, 43fvmpt2d 7028 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐿𝑥) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
4544fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐽‘(𝐿𝑥)) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
46 ghmqusker.1 . . . 4 0 = (0g𝐻)
47 ghmqusker.k . . . 4 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4840, 2eleqtrdi 2848 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
4946, 7, 47, 17, 30, 48ghmquskerlem1 19313 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹𝑥))
5042, 45, 493eqtrrd 2779 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) = ((𝐽𝐿)‘𝑥))
516, 36, 50eqfnfvd 7053 1 (𝜑𝐹 = (𝐽𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  {csn 4630   cuni 4911  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  [cec 8741   / cqs 8742  Basecbs 17244  0gc0g 17485   /s cqus 17551   ~QG cqg 19152   GrpHom cghm 19242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243
This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33725  aks6d1c6lem5  42158
  Copyright terms: Public domain W3C validator