MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmquskerco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmquskerco 19302
Description: In the case of theorem ghmqusker 19305, the composition of the natural homomorphism 𝐿 with the constructed homomorphism 𝐽 equals the original homomorphism 𝐹. One says that 𝐹 factors through 𝑄. (Proposed by Saveliy Skresanov, 15-Feb-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmqusker.1 0 = (0g𝐻)
ghmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
ghmquskerco.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmquskerco.l 𝐿 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
Assertion
Ref Expression
ghmquskerco (𝜑𝐹 = (𝐽𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝐵,𝑞,𝑥   𝐹,𝑞,𝑥   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑥,𝐿   𝑄,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerco
StepHypRef Expression
1 ghmqusker.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
2 ghmquskerco.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
42, 3ghmf 19238 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
65ffnd 6737 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
71adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
87imaexd 7938 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
98uniexd 7762 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
109ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V)
11 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) = (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
1211fnmpt 6708 . . . 4 (∀𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) ∈ V → (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) Fn 𝐵)
1310, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) Fn 𝐵)
14 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V
1514ecelqsi 8813 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)))
17 ghmqusker.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
192a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
20 ovexd 7466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
21 reldmghm 19232 . . . . . . . . . . 11 Rel dom GrpHom
2221ovrcl 7472 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2322simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ V)
241, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ V)
2518, 19, 20, 24qusbas 17590 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐵 / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
2716, 26eleqtrd 2843 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ (Base‘𝑄))
28 ghmquskerco.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐿 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
30 ghmqusker.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞)))
32 imaeq2 6074 . . . . . 6 (𝑞 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → (𝐹𝑞) = (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
3332unieqd 4920 . . . . 5 (𝑞 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → (𝐹𝑞) = (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
3427, 29, 31, 33fmptco 7149 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐿) = (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))))
3534fneq1d 6661 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐿) Fn 𝐵 ↔ (𝑥𝐵 (𝐹 “ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))) Fn 𝐵))
3613, 35mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐿) Fn 𝐵)
37 ecexg 8749 . . . . . 6 ((𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
3814, 37ax-mp 5 . . . . 5 [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V
3938, 28fnmpti 6711 . . . 4 𝐿 Fn 𝐵
40 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
41 fvco2 7006 . . . 4 ((𝐿 Fn 𝐵𝑥𝐵) → ((𝐽𝐿)‘𝑥) = (𝐽‘(𝐿𝑥)))
4239, 40, 41sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐽𝐿)‘𝑥) = (𝐽‘(𝐿𝑥)))
4338a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
4429, 43fvmpt2d 7029 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐿𝑥) = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
4544fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐽‘(𝐿𝑥)) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
46 ghmqusker.1 . . . 4 0 = (0g𝐻)
47 ghmqusker.k . . . 4 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4840, 2eleqtrdi 2851 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
4946, 7, 47, 17, 30, 48ghmquskerlem1 19301 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹𝑥))
5042, 45, 493eqtrrd 2782 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) = ((𝐽𝐿)‘𝑥))
516, 36, 50eqfnfvd 7054 1 (𝜑𝐹 = (𝐽𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626   cuni 4907  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  0gc0g 17484   /s cqus 17550   ~QG cqg 19140   GrpHom cghm 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231
This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33761  aks6d1c6lem5  42178
  Copyright terms: Public domain W3C validator