Theorem parteq12 39379

Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
parteq12	⊢ ((𝑅 = 𝑆 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))

Proof of Theorem parteq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		parteq1 39377	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))
2		parteq2 39378	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑆 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))
3	1, 2	sylan9bb 517	1 ⊢ ((𝑅 = 𝑆 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   Part wpart 38724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-sb 2092  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5102  df-opab 5164  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ec 8681  df-qs 8685  df-coss 39001  df-cnvrefrel 39107  df-dmqs 39223  df-funALTV 39267  df-disjALTV 39290  df-part 39369

This theorem is referenced by:  partsuc2  39382  partsuc  39383