Theorem parteq12 39452

Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
parteq12	⊢ ((𝑅 = 𝑆 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))

Proof of Theorem parteq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		parteq1 39450	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))
2		parteq2 39451	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑆 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))
3	1, 2	sylan9bb 518	1 ⊢ ((𝑅 = 𝑆 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   Part wpart 38797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-11 2198  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ec 8696  df-qs 8700  df-coss 39074  df-cnvrefrel 39180  df-dmqs 39296  df-funALTV 39340  df-disjALTV 39363  df-part 39442

This theorem is referenced by:  partsuc2  39455  partsuc  39456