Theorem parteq12 36990

Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
parteq12	⊢ ((𝑅 = 𝑆 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))

Proof of Theorem parteq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		parteq1 36988	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))
2		parteq2 36989	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑆 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))
3	1, 2	sylan9bb 511	1 ⊢ ((𝑅 = 𝑆 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   Part wpart 36420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ec 8531  df-qs 8535  df-coss 36625  df-cnvrefrel 36741  df-dmqs 36853  df-funALTV 36896  df-disjALTV 36919  df-part 36980

This theorem is referenced by:  partsuc2  36993  partsuc  36994