Theorem partsuc 39389

Description: Property of the partition. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partsuc	⊢ (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴)

Proof of Theorem partsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressucdifsn 38994	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅 ↾ 𝐴)
2		sucdifsn 38992	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴
3		parteq12 39385	. 2 ⊢ ((((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴) → (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∖ cdif 3904  {csn 4585   ↾ cres 5653  suc csuc 6351   Part wpart 38730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394  ax-reg 9542

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6355  df-ec 8684  df-qs 8688  df-coss 39007  df-cnvrefrel 39113  df-dmqs 39229  df-funALTV 39273  df-disjALTV 39296  df-part 39375

This theorem is referenced by: (None)