Theorem partsuc 39035

Description: Property of the partition. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partsuc	⊢ (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴)

Proof of Theorem partsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressucdifsn 38657	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅 ↾ 𝐴)
2		sucdifsn 38655	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴
3		parteq12 39031	. 2 ⊢ ((((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴) → (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∖ cdif 3898  {csn 4580   ↾ cres 5626  suc csuc 6319   Part wpart 38418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-reg 9497

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-suc 6323  df-ec 8637  df-qs 8641  df-coss 38670  df-cnvrefrel 38776  df-dmqs 38892  df-funALTV 38937  df-disjALTV 38960  df-part 39021

This theorem is referenced by: (None)