Theorem partsuc 39565

Description: Property of the partition. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
partsuc	⊢ (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴)

Proof of Theorem partsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressucdifsn 39170	. 2 ⊢ ((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅 ↾ 𝐴)
2		sucdifsn 39168	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴
3		parteq12 39561	. 2 ⊢ ((((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅 ↾ 𝐴) ∧ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴) → (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅 ↾ 𝐴) Part 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∖ cdif 3903  {csn 4591   ↾ cres 5665  suc csuc 6366   Part wpart 38906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-11 2195  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-reg 9557

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6370  df-ec 8698  df-qs 8702  df-coss 39183  df-cnvrefrel 39289  df-dmqs 39405  df-funALTV 39449  df-disjALTV 39472  df-part 39551

This theorem is used by: (None)