Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  partsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem partsuc 38256
Description: Property of the partition. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
partsuc (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅𝐴) Part 𝐴)

Proof of Theorem partsuc
StepHypRef Expression
1 ressucdifsn 37720 . 2 ((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅𝐴)
2 sucdifsn 37714 . 2 (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴
3 parteq12 38252 . 2 ((((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) = (𝑅𝐴) ∧ (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) = 𝐴) → (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅𝐴) Part 𝐴))
41, 2, 3mp2an 690 1 (((𝑅 ↾ suc 𝐴) ∖ (𝑅 ↾ {𝐴})) Part (suc 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑅𝐴) Part 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1533  cdif 3944  {csn 4630  cres 5682  suc csuc 6374   Part wpart 37692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-reg 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-suc 6378  df-ec 8731  df-qs 8735  df-coss 37887  df-cnvrefrel 38003  df-dmqs 38115  df-funALTV 38158  df-disjALTV 38181  df-part 38242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator