Theorem parteq1 39212

Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
parteq1	⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))

Proof of Theorem parteq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqseqeq1 39172	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴)))
2		dfpart2 39207	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dfpart2 39207	. 2 ⊢ (𝑆 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  dom cdm 5624   / cqs 8635   Disj wdisjALTV 38554   Part wpart 38559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ec 8638  df-qs 8642  df-coss 38836  df-cnvrefrel 38942  df-dmqs 39058  df-funALTV 39102  df-disjALTV 39125  df-part 39204

This theorem is referenced by:  parteq12  39214  parteq1i  39215  parteq1d  39216