Theorem parteq1 38250

Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
parteq1	⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))

Proof of Theorem parteq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqseqeq1 38213	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴)))
2		dfpart2 38245	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dfpart2 38245	. 2 ⊢ (𝑆 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  dom cdm 5680   / cqs 8728   Disj wdisjALTV 37687   Part wpart 37692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ec 8731  df-qs 8735  df-coss 37887  df-cnvrefrel 38003  df-dmqs 38115  df-funALTV 38158  df-disjALTV 38181  df-part 38242

This theorem is referenced by:  parteq12  38252  parteq1i  38253  parteq1d  38254