Theorem parteq1 37449

Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
parteq1	⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))

Proof of Theorem parteq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdmqseqeq1 37412	. 2 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴)))
2		dfpart2 37444	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dfpart2 37444	. 2 ⊢ (𝑆 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴 ↔ 𝑆 Part 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  dom cdm 5669   / cqs 8685   Disj wdisjALTV 36882   Part wpart 36887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ec 8688  df-qs 8692  df-coss 37086  df-cnvrefrel 37202  df-dmqs 37314  df-funALTV 37357  df-disjALTV 37380  df-part 37441

This theorem is referenced by:  parteq12  37451  parteq1i  37452  parteq1d  37453