Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  parteq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem parteq1 37639
Description: Equality theorem for partition. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
parteq1 (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴𝑆 Part 𝐴))

Proof of Theorem parteq1
StepHypRef Expression
1 disjdmqseqeq1 37602 . 2 (𝑅 = 𝑆 → (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴)))
2 dfpart2 37634 . 2 (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3 dfpart2 37634 . 2 (𝑆 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑆 ∧ (dom 𝑆 / 𝑆) = 𝐴))
41, 2, 33bitr4g 313 1 (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 Part 𝐴𝑆 Part 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  dom cdm 5676   / cqs 8701   Disj wdisjALTV 37072   Part wpart 37077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ec 8704  df-qs 8708  df-coss 37276  df-cnvrefrel 37392  df-dmqs 37504  df-funALTV 37547  df-disjALTV 37570  df-part 37631
This theorem is referenced by:  parteq12  37641  parteq1i  37642  parteq1d  37643
  Copyright terms: Public domain W3C validator