Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncvrlvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncvrlvol 35595
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplncvrlvol.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplncvrlvol.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplncvrlvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1269 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1273 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑌𝐵)
3 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝑃)
4 simplr 785 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
5 lplncvrlvol.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lplncvrlvol.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplncvrlvol.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8 lplncvrlvol.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
95, 6, 7, 8lvoli 35554 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1492 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑌𝑉)
11 simpll1 1269 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1271 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
1311hllatd 35343 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simpll3 1273 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌𝐵)
15 eqid 2765 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
165, 15latref 17335 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
1713, 14, 16syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
1811adantr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
19 simplr 785 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝑉)
20 simpr 477 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
21 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2215, 21, 8lvolnleat 35562 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
2423ex 401 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌))
2517, 24mt2d 133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
26 simplr 785 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝐶𝑌)
27 breq1 4814 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2826, 27syl5ibcom 236 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
29 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
305, 29, 6, 21isat2 35266 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
3111, 14, 30syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
3228, 31sylibrd 250 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
3332necon3bd 2951 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
3425, 33mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
35 eqid 2765 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3635, 8lvolnelln 35568 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
3711, 36sylancom 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
3811adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
3914adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
40 simpr 477 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
41 simpllr 793 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐶𝑌)
425, 6, 21, 35llni 35487 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
4338, 39, 40, 41, 42syl31anc 1492 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
4437, 43mtand 850 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
457, 8lvolnelpln 35569 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌𝑃)
4611, 45sylancom 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌𝑃)
475, 6, 35, 7llncvrlpln 35537 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌𝑃))
4847adantr 472 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌𝑃))
4946, 48mtbird 316 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))
505, 15, 29, 21, 35, 7lplnle 35519 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))) → ∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
5111, 12, 34, 44, 49, 50syl23anc 1496 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
52 simpr3 1252 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
53 simpll1 1269 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
54 hlop 35341 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
56 simpr2 1250 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑃)
575, 7lplnbase 35513 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝑧𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
59 simpll2 1271 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
60 simpll3 1273 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
61 simpr1 1248 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑉)
625, 15, 6cvrle 35257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
6362adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
64 hlpos 35345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
665, 15postr 17235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
6765, 58, 59, 60, 66syl13anc 1491 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
6852, 63, 67mp2and 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
6915, 6, 7, 8lplncvrlvol2 35594 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑃𝑌𝑉) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
7053, 56, 61, 68, 69syl31anc 1492 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
71 simplr 785 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
725, 15, 6cvrcmp2 35263 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
7355, 58, 59, 60, 70, 71, 72syl132anc 1507 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
7452, 73mpbid 223 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
7574, 56eqeltrrd 2845 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑃)
76753exp2 1463 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑉 → (𝑧𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃))))
7776imp 395 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑧𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃)))
7877rexlimdv 3177 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃))
7951, 78mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝑃)
8010, 79impbida 835 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056   class class class wbr 4811  cfv 6070  Basecbs 16146  lecple 16237  Posetcpo 17222  0.cp0 17319  Latclat 17327  OPcops 35151  ccvr 35241  Atomscatm 35242  HLchlt 35329  LLinesclln 35470  LPlanesclpl 35471  LVolsclvol 35472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-proset 17210  df-poset 17228  df-plt 17240  df-lub 17256  df-glb 17257  df-join 17258  df-meet 17259  df-p0 17321  df-lat 17328  df-clat 17390  df-oposet 35155  df-ol 35157  df-oml 35158  df-covers 35245  df-ats 35246  df-atl 35277  df-cvlat 35301  df-hlat 35330  df-llines 35477  df-lplanes 35478  df-lvols 35479
This theorem is referenced by:  2lplnmj  35601
  Copyright terms: Public domain W3C validator