Theorem lplncvrlvol 39013

Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncvrlvol.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplncvrlvol.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplncvrlvol.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplncvrlvol.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplncvrlvol	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
5		lplncvrlvol.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lplncvrlvol.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplncvrlvol.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8		lplncvrlvol.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	lvoli 38972	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1371	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		simpll1 1210	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpll2 1211	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	11	hllatd 38760	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simpll3 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16	5, 15	latref 18418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
17	13, 14, 16	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
18	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
19		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
21		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
22	15, 21, 8	lvolnleat 38980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
24	23	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌))
25	17, 24	mt2d 136	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
26		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋𝐶𝑌)
27		breq1 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
28	26, 27	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
29		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
30	5, 29, 6, 21	isat2 38683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
31	11, 14, 30	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
32	28, 31	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
33	32	necon3bd 2949	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
34	25, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
35		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
36	35, 8	lvolnelln 38986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
37	11, 36	sylancom 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
38	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
39	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
41		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐶𝑌)
42	5, 6, 21, 35	llni 38905	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl31anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
44	37, 43	mtand 815	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
45	7, 8	lvolnelpln 38987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑃)
46	11, 45	sylancom 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑃)
47	5, 6, 35, 7	llncvrlpln 38955	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
49	46, 48	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))
50	5, 15, 29, 21, 35, 7	lplnle 38937	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
51	11, 12, 34, 44, 49, 50	syl23anc 1375	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
52		simpr3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
53		simpll1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
54		hlop 38758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
56		simpr2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
57	5, 7	lplnbase 38931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑃 → 𝑧 ∈ 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
59		simpll2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60		simpll3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
61		simpr1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	5, 15, 6	cvrle 38674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
64		hlpos 38762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
65	53, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
66	5, 15	postr 18297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
67	65, 58, 59, 60, 66	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
68	52, 63, 67	mp2and 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
69	15, 6, 7, 8	lplncvrlvol2 39012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
70	53, 56, 61, 68, 69	syl31anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
71		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
72	5, 15, 6	cvrcmp2 38680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
73	55, 58, 59, 60, 70, 71, 72	syl132anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
74	52, 73	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
75	74, 56	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
76	75	3exp2 1352	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ 𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃))))
77	76	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃)))
78	77	rexlimdv 3148	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃))
79	51, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑃)
80	10, 79	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17165  lecple 17225  Posetcpo 18284  0.cp0 18400  Latclat 18408  OPcops 38568   ⋖ ccvr 38658  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LLinesclln 38888  LPlanesclpl 38889  LVolsclvol 38890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897

This theorem is referenced by:  2lplnmj  39019