Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncvrlvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncvrlvol 36304
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplncvrlvol.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplncvrlvol.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplncvrlvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1205 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑌𝐵)
3 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝑃)
4 simplr 765 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
5 lplncvrlvol.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lplncvrlvol.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplncvrlvol.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8 lplncvrlvol.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
95, 6, 7, 8lvoli 36263 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1366 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑌𝑉)
11 simpll1 1205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
1311hllatd 36052 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simpll3 1207 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌𝐵)
15 eqid 2797 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
165, 15latref 17496 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
1713, 14, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
1811adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
19 simplr 765 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝑉)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
21 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2215, 21, 8lvolnleat 36271 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1364 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
2423ex 413 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌))
2517, 24mt2d 138 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
26 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝐶𝑌)
27 breq1 4971 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2826, 27syl5ibcom 246 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
29 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
305, 29, 6, 21isat2 35975 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
3111, 14, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
3228, 31sylibrd 260 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
3332necon3bd 3000 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
3425, 33mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
35 eqid 2797 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3635, 8lvolnelln 36277 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
3711, 36sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
3811adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
3914adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
40 simpr 485 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
41 simpllr 772 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐶𝑌)
425, 6, 21, 35llni 36196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
4338, 39, 40, 41, 42syl31anc 1366 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
4437, 43mtand 812 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
457, 8lvolnelpln 36278 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌𝑃)
4611, 45sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌𝑃)
475, 6, 35, 7llncvrlpln 36246 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌𝑃))
4847adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌𝑃))
4946, 48mtbird 326 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))
505, 15, 29, 21, 35, 7lplnle 36228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))) → ∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
5111, 12, 34, 44, 49, 50syl23anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
52 simpr3 1189 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
53 simpll1 1205 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
54 hlop 36050 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
56 simpr2 1188 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑃)
575, 7lplnbase 36222 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝑧𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
59 simpll2 1206 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
60 simpll3 1207 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
61 simpr1 1187 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑉)
625, 15, 6cvrle 35966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
64 hlpos 36054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
665, 15postr 17396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
6765, 58, 59, 60, 66syl13anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
6852, 63, 67mp2and 695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
6915, 6, 7, 8lplncvrlvol2 36303 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑃𝑌𝑉) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
7053, 56, 61, 68, 69syl31anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
71 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
725, 15, 6cvrcmp2 35972 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
7355, 58, 59, 60, 70, 71, 72syl132anc 1381 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
7452, 73mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
7574, 56eqeltrrd 2886 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑃)
76753exp2 1347 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑉 → (𝑧𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃))))
7776imp 407 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑧𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃)))
7877rexlimdv 3248 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃))
7951, 78mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝑃)
8010, 79impbida 797 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wrex 3108   class class class wbr 4968  cfv 6232  Basecbs 16316  lecple 16405  Posetcpo 17383  0.cp0 17480  Latclat 17488  OPcops 35860  ccvr 35950  Atomscatm 35951  HLchlt 36038  LLinesclln 36179  LPlanesclpl 36180  LVolsclvol 36181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039  df-llines 36186  df-lplanes 36187  df-lvols 36188
This theorem is referenced by:  2lplnmj  36310
  Copyright terms: Public domain W3C validator