Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncvrlvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncvrlvol 39144
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplncvrlvol.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lplncvrlvol.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
lplncvrlvol.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
4 simplr 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 lplncvrlvol.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 lplncvrlvol.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 lplncvrlvol.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
8 lplncvrlvol.v . . . 4 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8lvoli 39103 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
11 simpll1 1209 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1210 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1311hllatd 38891 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simpll3 1211 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 eqid 2725 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
165, 15latref 18430 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1713, 14, 16syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1811adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
20 simpr 483 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
21 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
2215, 21, 8lvolnleat 39111 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2423ex 411 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
2517, 24mt2d 136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
26 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
27 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
2826, 27syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
29 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
305, 29, 6, 21isat2 38814 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
3111, 14, 30syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
3228, 31sylibrd 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
3332necon3bd 2944 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)))
3425, 33mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ))
35 eqid 2725 . . . . . . 7 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
3635, 8lvolnelln 39117 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
3711, 36sylancom 586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
3811adantr 479 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3914adantr 479 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
40 simpr 483 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
41 simpllr 774 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
425, 6, 21, 35llni 39036 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
4338, 39, 40, 41, 42syl31anc 1370 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
4437, 43mtand 814 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
457, 8lvolnelpln 39118 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑃)
4611, 45sylancom 586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑃)
475, 6, 35, 7llncvrlpln 39086 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
4847adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
4946, 48mtbird 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
505, 15, 29, 21, 35, 7lplnle 39068 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
5111, 12, 34, 44, 49, 50syl23anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
52 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
53 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54 hlop 38889 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
56 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
575, 7lplnbase 39062 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑃 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
59 simpll2 1210 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 simpll3 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
625, 15, 6cvrle 38805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
64 hlpos 38893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
665, 15postr 18309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6765, 58, 59, 60, 66syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6852, 63, 67mp2and 697 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
6915, 6, 7, 8lplncvrlvol2 39143 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
7053, 56, 61, 68, 69syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
71 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
725, 15, 6cvrcmp2 38811 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (π‘§πΆπ‘Œ ∧ π‘‹πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
7355, 58, 59, 60, 70, 71, 72syl132anc 1385 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
7452, 73mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 = 𝑋)
7574, 56eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76753exp2 1351 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝑧 ∈ 𝑃 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃))))
7776imp 405 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑧 ∈ 𝑃 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)))
7877rexlimdv 3143 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃))
7951, 78mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8010, 79impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  Basecbs 17177  lecple 17237  Posetcpo 18296  0.cp0 18412  Latclat 18420  OPcops 38699   β‹– ccvr 38789  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LLinesclln 39019  LPlanesclpl 39020  LVolsclvol 39021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028
This theorem is referenced by:  2lplnmj  39150
  Copyright terms: Public domain W3C validator