Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncvrlvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncvrlvol 39599
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplncvrlvol.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplncvrlvol.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplncvrlvol.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1213 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑌𝐵)
3 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝑃)
4 simplr 769 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
5 lplncvrlvol.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lplncvrlvol.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplncvrlvol.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8 lplncvrlvol.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
95, 6, 7, 8lvoli 39558 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑌𝑉)
11 simpll1 1211 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1212 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝐵)
1311hllatd 39346 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simpll3 1213 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌𝐵)
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
165, 15latref 18499 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
1713, 14, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
1811adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
19 simplr 769 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝑉)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
21 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2215, 21, 8lvolnleat 39566 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
2423ex 412 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌))
2517, 24mt2d 136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
26 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝐶𝑌)
27 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2826, 27syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
29 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
305, 29, 6, 21isat2 39269 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
3111, 14, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
3228, 31sylibrd 259 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
3332necon3bd 2952 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
3425, 33mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
35 eqid 2735 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3635, 8lvolnelln 39572 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
3711, 36sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
3811adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
3914adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
40 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
41 simpllr 776 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐶𝑌)
425, 6, 21, 35llni 39491 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
4338, 39, 40, 41, 42syl31anc 1372 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
4437, 43mtand 816 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
457, 8lvolnelpln 39573 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌𝑃)
4611, 45sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑌𝑃)
475, 6, 35, 7llncvrlpln 39541 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌𝑃))
4847adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌𝑃))
4946, 48mtbird 325 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))
505, 15, 29, 21, 35, 7lplnle 39523 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))) → ∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
5111, 12, 34, 44, 49, 50syl23anc 1376 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → ∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
52 simpr3 1195 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
53 simpll1 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
54 hlop 39344 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
56 simpr2 1194 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑃)
575, 7lplnbase 39517 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑃𝑧𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
59 simpll2 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
60 simpll3 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
61 simpr1 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑉)
625, 15, 6cvrle 39260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
64 hlpos 39348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
665, 15postr 18378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
6765, 58, 59, 60, 66syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
6852, 63, 67mp2and 699 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
6915, 6, 7, 8lplncvrlvol2 39598 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑃𝑌𝑉) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
7053, 56, 61, 68, 69syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
71 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
725, 15, 6cvrcmp2 39266 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
7355, 58, 59, 60, 70, 71, 72syl132anc 1387 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
7452, 73mpbid 232 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
7574, 56eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑉𝑧𝑃𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑃)
76753exp2 1353 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑉 → (𝑧𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃))))
7776imp 406 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑧𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃)))
7877rexlimdv 3151 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → (∃𝑧𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑃))
7951, 78mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑉) → 𝑋𝑃)
8010, 79impbida 801 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  0.cp0 18481  Latclat 18489  OPcops 39154  ccvr 39244  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475  LVolsclvol 39476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483
This theorem is referenced by:  2lplnmj  39605
  Copyright terms: Public domain W3C validator