Theorem lplncvrlvol 40245

Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncvrlvol.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplncvrlvol.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplncvrlvol.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplncvrlvol.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplncvrlvol	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1227	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1229	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4		simplr 778	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
5		lplncvrlvol.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lplncvrlvol.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplncvrlvol.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8		lplncvrlvol.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	lvoli 40204	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1394	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		simpll1 1227	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpll2 1228	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	11	hllatd 39993	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simpll3 1229	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16	5, 15	latref 18475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
17	13, 14, 16	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
18	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
19		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
20		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
21		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
22	15, 21, 8	lvolnleat 40212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1392	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
24	23	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌))
25	17, 24	mt2d 136	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
26		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋𝐶𝑌)
27		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
28	26, 27	syl5ibcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
29		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
30	5, 29, 6, 21	isat2 39916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
31	11, 14, 30	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
32	28, 31	sylibrd 261	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
33	32	necon3bd 2973	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
34	25, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
35		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
36	35, 8	lvolnelln 40218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
37	11, 36	sylancom 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
38	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
39	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
40		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
41		simpllr 785	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐶𝑌)
42	5, 6, 21, 35	llni 40137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl31anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
44	37, 43	mtand 825	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
45	7, 8	lvolnelpln 40219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑃)
46	11, 45	sylancom 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑃)
47	5, 6, 35, 7	llncvrlpln 40187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
48	47	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
49	46, 48	mtbird 327	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))
50	5, 15, 29, 21, 35, 7	lplnle 40169	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
51	11, 12, 34, 44, 49, 50	syl23anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
52		simpr3 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
53		simpll1 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
54		hlop 39991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
56		simpr2 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
57	5, 7	lplnbase 40163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑃 → 𝑧 ∈ 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
59		simpll2 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60		simpll3 1229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
61		simpr1 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	5, 15, 6	cvrle 39907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
64		hlpos 39995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
65	53, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
66	5, 15	postr 18354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
67	65, 58, 59, 60, 66	syl13anc 1393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
68	52, 63, 67	mp2and 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
69	15, 6, 7, 8	lplncvrlvol2 40244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
70	53, 56, 61, 68, 69	syl31anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
71		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
72	5, 15, 6	cvrcmp2 39913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
73	55, 58, 59, 60, 70, 71, 72	syl132anc 1409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
74	52, 73	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
75	74, 56	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
76	75	3exp2 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ 𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃))))
77	76	imp 410	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃)))
78	77	rexlimdv 3163	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃))
79	51, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑃)
80	10, 79	impbida 810	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  lecple 17295  Posetcpo 18341  0.cp0 18455  Latclat 18465  OPcops 39801   ⋖ ccvr 39891  Atomscatm 39892  HLchlt 39979  LLinesclln 40120  LPlanesclpl 40121  LVolsclvol 40122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-lat 18466  df-clat 18533  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129

This theorem is referenced by:  2lplnmj  40251