Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncvrlvol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncvrlvol 38475
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplncvrlvol.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
lplncvrlvol.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
lplncvrlvol.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1214 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
4 simplr 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 lplncvrlvol.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 lplncvrlvol.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 lplncvrlvol.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
8 lplncvrlvol.v . . . 4 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8lvoli 38434 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1373 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
11 simpll1 1212 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1213 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1311hllatd 38222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simpll3 1214 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
165, 15latref 18390 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1713, 14, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
1811adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
20 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
21 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
2215, 21, 8lvolnleat 38442 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
2423ex 413 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ Β¬ π‘Œ(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
2517, 24mt2d 136 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
26 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
27 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
2826, 27syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
305, 29, 6, 21isat2 38145 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
3111, 14, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
3228, 31sylibrd 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
3332necon3bd 2954 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)))
3425, 33mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ))
35 eqid 2732 . . . . . . 7 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
3635, 8lvolnelln 38448 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
3711, 36sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
3811adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3914adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
40 simpr 485 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
41 simpllr 774 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
425, 6, 21, 35llni 38367 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
4338, 39, 40, 41, 42syl31anc 1373 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
4437, 43mtand 814 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
457, 8lvolnelpln 38449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑃)
4611, 45sylancom 588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑃)
475, 6, 35, 7llncvrlpln 38417 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
4847adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
4946, 48mtbird 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
505, 15, 29, 21, 35, 7lplnle 38399 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (LLinesβ€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
5111, 12, 34, 44, 49, 50syl23anc 1377 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
52 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
53 simpll1 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54 hlop 38220 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
56 simpr2 1195 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑃)
575, 7lplnbase 38393 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑃 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
59 simpll2 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
60 simpll3 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61 simpr1 1194 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
625, 15, 6cvrle 38136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
64 hlpos 38224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6553, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
665, 15postr 18269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6765, 58, 59, 60, 66syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6852, 63, 67mp2and 697 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
6915, 6, 7, 8lplncvrlvol2 38474 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
7053, 56, 61, 68, 69syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
71 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
725, 15, 6cvrcmp2 38142 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (π‘§πΆπ‘Œ ∧ π‘‹πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
7355, 58, 59, 60, 70, 71, 72syl132anc 1388 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
7452, 73mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 = 𝑋)
7574, 56eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76753exp2 1354 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝑧 ∈ 𝑃 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃))))
7776imp 407 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑧 ∈ 𝑃 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)))
7877rexlimdv 3153 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑃))
7951, 78mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8010, 79impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ π‘Œ ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  0.cp0 18372  Latclat 18380  OPcops 38030   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LLinesclln 38350  LPlanesclpl 38351  LVolsclvol 38352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359
This theorem is referenced by:  2lplnmj  38481
  Copyright terms: Public domain W3C validator