Theorem lplncvrlvol 37557

Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncvrlvol.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplncvrlvol.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
lplncvrlvol.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
lplncvrlvol.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplncvrlvol	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem lplncvrlvol

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
4		simplr 765	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
5		lplncvrlvol.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lplncvrlvol.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		lplncvrlvol.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8		lplncvrlvol.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	lvoli 37516	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1371	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		simpll1 1210	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpll2 1211	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	11	hllatd 37305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐾 ∈ Lat)
14		simpll3 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16	5, 15	latref 18074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
17	13, 14, 16	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
18	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
19		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
21		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
22	15, 21, 8	lvolnleat 37524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
23	18, 19, 20, 22	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌)
24	23	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑌))
25	17, 24	mt2d 136	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
26		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋𝐶𝑌)
27		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
28	26, 27	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
29		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
30	5, 29, 6, 21	isat2 37228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
31	11, 14, 30	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
32	28, 31	sylibrd 258	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
33	32	necon3bd 2956	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
34	25, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
36	35, 8	lvolnelln 37530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
37	11, 36	sylancom 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
38	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
39	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
41		simpllr 772	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐶𝑌)
42	5, 6, 21, 35	llni 37449	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl31anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ (LLines‘𝐾))
44	37, 43	mtand 812	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
45	7, 8	lvolnelpln 37531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑃)
46	11, 45	sylancom 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑃)
47	5, 6, 35, 7	llncvrlpln 37499	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (LLines‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
49	46, 48	mtbird 324	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))
50	5, 15, 29, 21, 35, 7	lplnle 37481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (LLines‘𝐾))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
51	11, 12, 34, 44, 49, 50	syl23anc 1375	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
52		simpr3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
53		simpll1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
54		hlop 37303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
56		simpr2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
57	5, 7	lplnbase 37475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑃 → 𝑧 ∈ 𝐵)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
59		simpll2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60		simpll3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
61		simpr1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
62	5, 15, 6	cvrle 37219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
64		hlpos 37307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
65	53, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
66	5, 15	postr 17953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
67	65, 58, 59, 60, 66	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
68	52, 63, 67	mp2and 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
69	15, 6, 7, 8	lplncvrlvol2 37556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
70	53, 56, 61, 68, 69	syl31anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
71		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
72	5, 15, 6	cvrcmp2 37225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
73	55, 58, 59, 60, 70, 71, 72	syl132anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
74	52, 73	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
75	74, 56	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
76	75	3exp2 1352	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ 𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃))))
77	76	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑧 ∈ 𝑃 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃)))
78	77	rexlimdv 3211	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑃))
79	51, 78	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑃)
80	10, 79	impbida 797	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  0.cp0 18056  Latclat 18064  OPcops 37113   ⋖ ccvr 37203  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LLinesclln 37432  LPlanesclpl 37433  LVolsclvol 37434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441

This theorem is referenced by:  2lplnmj  37563