Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolcmp 36755
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l = (le‘𝐾)
lvolcmp.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolcmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
2 simp1 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2823 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lvolcmp.v . . . . . . 7 𝑉 = (LVols‘𝐾)
53, 4lvolbase 36716 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2823 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2823 . . . . . 6 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
93, 7, 8, 4islvol4 36712 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 586 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 234 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 36504 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1129 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 483 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 483 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1189 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑉)
183, 4lvolbase 36716 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾))
213, 8lplnbase 36672 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1187 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 36416 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 17565 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 697 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 36753 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 36421 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1384 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 234 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1350 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3285 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 17563 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 586 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 5072 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 247 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 214 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wrex 3141   class class class wbr 5068  cfv 6357  Basecbs 16485  lecple 16574  Posetcpo 17552  ccvr 36400  HLchlt 36488  LPlanesclpl 36630  LVolsclvol 36631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638
This theorem is referenced by:  lvolnltN  36756  2lplnja  36757
  Copyright terms: Public domain W3C validator