Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvolcmp 35505
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l = (le‘𝐾)
lvolcmp.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvolcmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1167 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
2 simp1 1166 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lvolcmp.v . . . . . . 7 𝑉 = (LVols‘𝐾)
53, 4lvolbase 35466 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2765 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2765 . . . . . 6 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
93, 7, 8, 4islvol4 35462 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝑉 ↔ ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 223 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1252 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 35254 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑉)
183, 4lvolbase 35466 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1248 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾))
213, 8lplnbase 35422 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 35166 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1492 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 17221 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1491 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 690 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 35503 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑌𝑉) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1492 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 35171 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 223 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1463 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3177 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (∃𝑧 ∈ (LPlanes‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 17219 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 579 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 4813 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 236 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 203 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056   class class class wbr 4809  cfv 6068  Basecbs 16132  lecple 16223  Posetcpo 17208  ccvr 35150  HLchlt 35238  LPlanesclpl 35380  LVolsclvol 35381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388
This theorem is referenced by:  lvolnltN  35506  2lplnja  35507
  Copyright terms: Public domain W3C validator