Theorem plttr 18397

Description: The less-than relation is transitive. (psstr 4063 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltnlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		pltnlt.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltle 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
4	3	3adant3r3 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
5	1, 2	pltle 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
6	5	3adant3r1 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
7		pltnlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8	7, 1	postr 18377	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
9	4, 6, 8	syl2and 619	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
10	7, 2	pltn2lp 18396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
11	10	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
12		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑌 < 𝑋 ↔ 𝑌 < 𝑍))
13	12	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
14	13	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
15	11, 14	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
16	15	necon2ad 2973	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍))
17	9, 16	jcad 521	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
18	1, 2	pltval 18387	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
19	18	3adant3r2 1202	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
20	17, 19	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  lecple 17318  Posetcpo 18364  ltcplt 18365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385

This theorem is referenced by:  pltletr  18398  plelttr  18399  pospo  18400  ofldchr  21707  archiabllem2c  33496  hlhgt2  40144  hl0lt1N  40145  lhp0lt  40758