Theorem plttr 18308

Description: The less-than relation is transitive. (psstr 4073 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltnlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		pltnlt.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltle 18299	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
4	3	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
5	1, 2	pltle 18299	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
6	5	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
7		pltnlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8	7, 1	postr 18288	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
9	4, 6, 8	syl2and 608	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
10	7, 2	pltn2lp 18307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
11	10	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
12		breq2 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑌 < 𝑋 ↔ 𝑌 < 𝑍))
13	12	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
15	11, 14	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
16	15	necon2ad 2941	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍))
17	9, 16	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
18	1, 2	pltval 18298	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
19	18	3adant3r2 1184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
20	17, 19	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  Posetcpo 18275  ltcplt 18276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296

This theorem is referenced by:  pltletr  18309  plelttr  18310  pospo  18311  archiabllem2c  33156  ofldchr  33299  hlhgt2  39390  hl0lt1N  39391  lhp0lt  40004