MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plttr 18282
Description: The less-than relation is transitive. (psstr 4102 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltnlt.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
plttr ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plttr
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 pltnlt.s . . . . . 6 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltle 18273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
433adant3r3 1185 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
51, 2pltle 18273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 < 𝑍𝑌(le‘𝐾)𝑍))
653adant3r1 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 < 𝑍𝑌(le‘𝐾)𝑍))
7 pltnlt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
87, 1postr 18260 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
94, 6, 8syl2and 609 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
107, 2pltn2lp 18281 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ¬ (𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋))
11103adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ¬ (𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋))
12 breq2 5148 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑍 → (𝑌 < 𝑋𝑌 < 𝑍))
1312anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍)))
1413notbid 318 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍)))
1511, 14syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 = 𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍)))
1615necon2ad 2956 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍) → 𝑋𝑍))
179, 16jcad 514 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍) → (𝑋(le‘𝐾)𝑍𝑋𝑍)))
181, 2pltval 18272 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍𝑋𝑍)))
19183adant3r2 1184 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍𝑋𝑍)))
2017, 19sylibrd 259 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5144  cfv 6535  Basecbs 17131  lecple 17191  Posetcpo 18247  ltcplt 18248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fv 6543  df-proset 18235  df-poset 18253  df-plt 18270
This theorem is referenced by:  pltletr  18283  plelttr  18284  pospo  18285  archiabllem2c  32312  ofldchr  32394  hlhgt2  38166  hl0lt1N  38167  lhp0lt  38780
  Copyright terms: Public domain W3C validator