Theorem plttr 18306

Description: The less-than relation is transitive. (psstr 4047 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltnlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		pltnlt.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltle 18297	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
4	3	3adant3r3 1186	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
5	1, 2	pltle 18297	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
6	5	3adant3r1 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
7		pltnlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8	7, 1	postr 18286	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
9	4, 6, 8	syl2and 609	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
10	7, 2	pltn2lp 18305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
11	10	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
12		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑌 < 𝑋 ↔ 𝑌 < 𝑍))
13	12	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
15	11, 14	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
16	15	necon2ad 2947	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍))
17	9, 16	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
18	1, 2	pltval 18296	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
19	18	3adant3r2 1185	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
20	17, 19	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Posetcpo 18273  ltcplt 18274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294

This theorem is referenced by:  pltletr  18307  plelttr  18308  pospo  18309  ofldchr  21556  archiabllem2c  33256  hlhgt2  39835  hl0lt1N  39836  lhp0lt  40449