Theorem plttr 18246

Description: The less-than relation is transitive. (psstr 4057 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltnlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltnlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
plttr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem plttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		pltnlt.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltle 18237	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
4	3	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐾)𝑌))
5	1, 2	pltle 18237	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
6	5	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑌(le‘𝐾)𝑍))
7		pltnlt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8	7, 1	postr 18226	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑌(le‘𝐾)𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
9	4, 6, 8	syl2and 608	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋(le‘𝐾)𝑍))
10	7, 2	pltn2lp 18245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
11	10	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋))
12		breq2 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (𝑌 < 𝑋 ↔ 𝑌 < 𝑍))
13	12	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑍 → (¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑋) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
15	11, 14	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 = 𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
16	15	necon2ad 2943	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍))
17	9, 16	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
18	1, 2	pltval 18236	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
19	18	3adant3r2 1184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍)))
20	17, 19	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  ltcplt 18214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234

This theorem is referenced by:  pltletr  18247  plelttr  18248  pospo  18249  ofldchr  21514  archiabllem2c  33162  hlhgt2  39434  hl0lt1N  39435  lhp0lt  40048