MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plttr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plttr 18299
Description: The less-than relation is transitive. (psstr 4104 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltnlt.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pltnlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
plttr ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋 < 𝑍))
Proof of Theorem plttr
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 pltnlt.s . . . . . 6 < = (ltβ€˜πΎ)
31, 2pltle 18290 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
433adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
51, 2pltle 18290 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑍))
653adant3r1 1182 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ < 𝑍 β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑍))
7 pltnlt.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
87, 1postr 18277 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)𝑍) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑍))
94, 6, 8syl2and 608 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑍))
107, 2pltn2lp 18298 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋))
11103adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋))
12 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑍 β†’ (π‘Œ < 𝑋 ↔ π‘Œ < 𝑍))
1312anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑍 β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋) ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍)))
1413notbid 317 . . . . 5 (𝑋 = 𝑍 β†’ (Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑋) ↔ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍)))
1511, 14syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 = 𝑍 β†’ Β¬ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍)))
1615necon2ad 2955 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋 β‰  𝑍))
179, 16jcad 513 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
181, 2pltval 18289 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
19183adant3r2 1183 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 < 𝑍 ↔ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑍 ∧ 𝑋 β‰  𝑍)))
2017, 19sylibrd 258 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < 𝑍) β†’ 𝑋 < 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287
This theorem is referenced by:  pltletr  18300  plelttr  18301  pospo  18302  archiabllem2c  32599  ofldchr  32690  hlhgt2  38563  hl0lt1N  38564  lhp0lt  39177
  Copyright terms: Public domain W3C validator