Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncmp 35638
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l = (le‘𝐾)
lplncmp.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1173 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
2 simp1 1172 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lplncmp.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
53, 4lplnbase 35610 . . . . . 6 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1170 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2826 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2826 . . . . . 6 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
93, 7, 8, 4islpln4 35607 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 581 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 224 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1258 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 35442 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1169 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 474 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 474 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1252 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑃)
183, 4lplnbase 35610 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1254 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾))
213, 8llnbase 35585 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1256 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1248 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 35354 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1498 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 17307 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1497 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 692 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 35633 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑌𝑃) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1498 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 35359 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1513 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 224 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1469 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3240 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 17305 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 581 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 4878 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 237 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 204 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3119   class class class wbr 4874  cfv 6124  Basecbs 16223  lecple 16313  Posetcpo 17294  ccvr 35338  HLchlt 35426  LLinesclln 35567  LPlanesclpl 35568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-lat 17400  df-clat 17462  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  35640  lplnnlt  35641  2llnjaN  35642  dalem-cly  35747  dalem44  35792
  Copyright terms: Public domain W3C validator