Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncmp 39545
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l = (le‘𝐾)
lplncmp.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
2 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lplncmp.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
53, 4lplnbase 39517 . . . . . 6 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2735 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
93, 7, 8, 4islpln4 39514 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 232 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 39348 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑃)
183, 4lplnbase 39517 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1193 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾))
213, 8llnbase 39492 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 39260 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 18378 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 699 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 39540 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑌𝑃) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 39265 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1387 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1353 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3151 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 18376 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 5152 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 245 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 212 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ccvr 39244  HLchlt 39332  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  39547  lplnnlt  39548  2llnjaN  39549  dalem-cly  39654  dalem44  39699
  Copyright terms: Public domain W3C validator