Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplncmp 36736
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l = (le‘𝐾)
lplncmp.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplncmp ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
2 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 lplncmp.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
53, 4lplnbase 36708 . . . . . 6 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
653ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2821 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8 eqid 2821 . . . . . 6 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
93, 7, 8, 4islpln4 36705 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
102, 6, 9syl2anc 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
111, 10mpbid 235 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
12 simpr3 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
13 hlpos 36540 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ Poset)
1514adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
166adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑃)
183, 4lplnbase 36708 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾))
213, 8llnbase 36683 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
23 simpr2 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
24 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
263, 25, 7cvrle 36452 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → 𝑧 𝑋)
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑋)
283, 25postr 17541 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → ((𝑧 𝑋𝑋 𝑌) → 𝑧 𝑌))
3027, 12, 29mp2and 698 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧 𝑌)
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 36731 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑌𝑃) ∧ 𝑧 𝑌) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
333, 25, 7cvrcmp 36457 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1385 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
3512, 34mpbid 235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋𝑋 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
36353exp2 1351 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑧 ∈ (LLines‘𝐾) → (𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))))
3736rexlimdv 3269 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (∃𝑧 ∈ (LLines‘𝐾)𝑧( ⋖ ‘𝐾)𝑋 → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌)))
3811, 37mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
393, 25posref 17539 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 𝑋)
4014, 6, 39syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 𝑋)
41 breq2 5043 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 𝑋𝑋 𝑌))
4240, 41syl5ibcom 248 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌𝑋 𝑌))
4338, 42impbid 215 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3127   class class class wbr 5039  cfv 6328  Basecbs 16461  lecple 16550  Posetcpo 17528  ccvr 36436  HLchlt 36524  LLinesclln 36665  LPlanesclpl 36666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  36738  lplnnlt  36739  2llnjaN  36740  dalem-cly  36845  dalem44  36890
  Copyright terms: Public domain W3C validator