Theorem 0pos 18276

Description: Technical lemma to simplify the statement of ipopos 18491. The empty set is (rather pathologically) a poset under our definitions, since it has an empty base set (str0 17121) and any relation partially orders an empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0pos	⊢ ∅ ∈ Poset

Proof of Theorem 0pos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5297	. 2 ⊢ ∅ ∈ V
2		ral0 4504	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ ∅ ∀𝑏 ∈ ∅ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎∅𝑎 ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑐) → 𝑎∅𝑐))
3		base0 17148	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
4		pleid 17311	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
5	4	str0 17121	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
6	3, 5	ispos 18269	. 2 ⊢ (∅ ∈ Poset ↔ (∅ ∈ V ∧ ∀𝑎 ∈ ∅ ∀𝑏 ∈ ∅ ∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎∅𝑎 ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑎) → 𝑎 = 𝑏) ∧ ((𝑎∅𝑏 ∧ 𝑏∅𝑐) → 𝑎∅𝑐))))
7	1, 2, 6	mpbir2an 708	1 ⊢ ∅ ∈ Poset

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Vcvv 3466  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  ndxcnx 17125  lecple 17203  Posetcpo 18262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-dec 12675  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ple 17216  df-poset 18268

This theorem is referenced by:  ipopos  18491  ipolub00  47806