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Theorem llncvrlpln 39257
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llncvrlpln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝐵)
3 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝑁)
4 simplr 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐶𝑌)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8lplni 39231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝑃)
11 simpll1 1209 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1210 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1413, 8lplnneat 39244 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
1511, 14sylancom 586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
16 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
17 breq1 5156 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
1816, 17syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
19 simpll3 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑌𝐵)
20 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
215, 20, 6, 13isat2 38985 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2211, 19, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2318, 22sylibrd 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
2423necon3bd 2944 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
267, 8lplnnelln 39245 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
2711, 26sylancom 586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 39219 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
2928adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
3027, 29mtbird 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
31 eqid 2726 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
325, 31, 20, 13, 7llnle 39217 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 837 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
34 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
35 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 39060 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑁)
395, 7llnbase 39208 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
41 simpll2 1210 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
42 simpll3 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
43 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑃)
445, 31, 6cvrle 38976 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
46 hlpos 39064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 18345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
5034, 45, 49mp2and 697 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 39256 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑌𝑃) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
53 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
545, 31, 6cvrcmp2 38982 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1385 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2827 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑁)
58573exp2 1351 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑃 → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))))
5958imp 405 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁)))
6059rexlimdv 3143 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝑁)
6210, 61impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060   class class class wbr 5153  cfv 6554  Basecbs 17213  lecple 17273  Posetcpo 18332  0.cp0 18448  OPcops 38870  ccvr 38960  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  LLinesclln 39190  LPlanesclpl 39191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198
This theorem is referenced by:  2lplnmN  39258  2llnmj  39259  lplncvrlvol  39315  2lplnm2N  39320  2lplnmj  39321
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