Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llncvrlpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llncvrlpln 38429
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
llncvrlpln.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1213 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1215 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
4 simplr 768 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8lplni 38403 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
11 simpll1 1213 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1214 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1413, 8lplnneat 38416 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1511, 14sylancom 589 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
16 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
17 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
1816, 17syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
19 simpll3 1215 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
215, 20, 6, 13isat2 38157 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
2211, 19, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
2318, 22sylibrd 259 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
2423necon3bd 2955 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ))
267, 8lplnnelln 38417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑁)
2711, 26sylancom 589 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 38391 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
2928adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
3027, 29mtbird 325 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
31 eqid 2733 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
325, 31, 20, 13, 7llnle 38389 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 838 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
34 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
35 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 38232 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑁)
395, 7llnbase 38380 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
41 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
42 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
43 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
445, 31, 6cvrle 38148 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
46 hlpos 38236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 18273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5034, 45, 49mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 38428 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
53 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
545, 31, 6cvrcmp2 38154 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (π‘§πΆπ‘Œ ∧ π‘‹πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1389 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
58573exp2 1355 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑁))))
5958imp 408 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)))
6059rexlimdv 3154 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
6210, 61impbida 800 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  0.cp0 18376  OPcops 38042   β‹– ccvr 38132  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LLinesclln 38362  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370
This theorem is referenced by:  2lplnmN  38430  2llnmj  38431  lplncvrlvol  38487  2lplnm2N  38492  2lplnmj  38493
  Copyright terms: Public domain W3C validator