Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llncvrlpln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llncvrlpln 38732
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
llncvrlpln.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
4 simplr 765 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8lplni 38706 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1371 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
11 simpll1 1210 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1211 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 eqid 2730 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1413, 8lplnneat 38719 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
1511, 14sylancom 586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
16 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
17 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
1816, 17syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
19 simpll3 1212 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
215, 20, 6, 13isat2 38460 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
2211, 19, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ (0.β€˜πΎ)πΆπ‘Œ))
2318, 22sylibrd 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 = (0.β€˜πΎ) β†’ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)))
2423necon3bd 2952 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ π‘Œ ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ))
267, 8lplnnelln 38720 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑁)
2711, 26sylancom 586 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ 𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 38694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
2928adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
3027, 29mtbird 324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
31 eqid 2730 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
325, 31, 20, 13, 7llnle 38692 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 835 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
34 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)
35 simpll1 1210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 38535 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑁)
395, 7llnbase 38683 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
41 simpll2 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
42 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
43 simpr1 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
445, 31, 6cvrle 38451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
46 hlpos 38539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 18277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ ((𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5034, 45, 49mp2and 695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 38731 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘§πΆπ‘Œ)
53 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
545, 31, 6cvrcmp2 38457 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (π‘§πΆπ‘Œ ∧ π‘‹πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1386 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2832 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
58573exp2 1352 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑁))))
5958imp 405 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)))
6059rexlimdv 3151 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
6210, 61impbida 797 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ π‘Œ ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  0.cp0 18380  OPcops 38345   β‹– ccvr 38435  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LLinesclln 38665  LPlanesclpl 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673
This theorem is referenced by:  2lplnmN  38733  2llnmj  38734  lplncvrlvol  38790  2lplnm2N  38795  2lplnmj  38796
  Copyright terms: Public domain W3C validator