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Theorem llncvrlpln 36812
 Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llncvrlpln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝐵)
3 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝑁)
4 simplr 768 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐶𝑌)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8lplni 36786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝑃)
11 simpll1 1209 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1210 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2822 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1413, 8lplnneat 36799 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
1511, 14sylancom 591 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
16 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
17 breq1 5045 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
1816, 17syl5ibcom 248 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
19 simpll3 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑌𝐵)
20 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
215, 20, 6, 13isat2 36541 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2211, 19, 21syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2318, 22sylibrd 262 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
2423necon3bd 3025 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
267, 8lplnnelln 36800 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
2711, 26sylancom 591 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 36774 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
2928adantr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
3027, 29mtbird 328 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
31 eqid 2822 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
325, 31, 20, 13, 7llnle 36772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 837 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
34 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
35 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 36616 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑁)
395, 7llnbase 36763 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
41 simpll2 1210 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
42 simpll3 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
43 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑃)
445, 31, 6cvrle 36532 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
4544adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
46 hlpos 36620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 17554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
5034, 45, 49mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 36811 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑌𝑃) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
53 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
545, 31, 6cvrcmp2 36538 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1385 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2915 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑁)
58573exp2 1351 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑃 → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))))
5958imp 410 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁)))
6059rexlimdv 3269 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝑁)
6210, 61impbida 800 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∃wrex 3131   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  Basecbs 16474  lecple 16563  Posetcpo 17541  0.cp0 17638  OPcops 36426   ⋖ ccvr 36516  Atomscatm 36517  HLchlt 36604  LLinesclln 36745  LPlanesclpl 36746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753 This theorem is referenced by:  2lplnmN  36813  2llnmj  36814  lplncvrlvol  36870  2lplnm2N  36875  2lplnmj  36876
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