Theorem llncvrlpln 39559

Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llncvrlpln.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llncvrlpln.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llncvrlpln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llncvrlpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llncvrlpln	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1213	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1215	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑁)
4		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋𝐶𝑌)
5		llncvrlpln.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		llncvrlpln.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		llncvrlpln.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8		llncvrlpln.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	lplni 39533	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		simpll1 1213	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpll2 1214	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
14	13, 8	lplnneat 39546	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
15	11, 14	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
16		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
17		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
18	16, 17	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
19		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
21	5, 20, 6, 13	isat2 39287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
22	11, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
23	18, 22	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
24	23	necon3bd 2940	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
25	15, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
26	7, 8	lplnnelln 39547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑁)
27	11, 26	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ 𝑁)
28	5, 6, 13, 7	atcvrlln 39521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))
30	27, 29	mtbird 325	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
31		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
32	5, 31, 20, 13, 7	llnle 39519	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
33	11, 12, 25, 30, 32	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
34		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
35		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
36		hlop 39362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
38		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
39	5, 7	llnbase 39510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
41		simpll2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		simpll3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
43		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44	5, 31, 6	cvrle 39278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
46		hlpos 39366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
47	35, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
48	5, 31	postr 18288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
49	47, 40, 41, 42, 48	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
50	34, 45, 49	mp2and 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
51	31, 6, 7, 8	llncvrlpln2 39558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
52	35, 38, 43, 50, 51	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
53		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
54	5, 31, 6	cvrcmp2 39284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌 ∧ 𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
55	37, 40, 41, 42, 52, 53, 54	syl132anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑧 = 𝑋))
56	34, 55	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
57	56, 38	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑁)
58	57	3exp2 1355	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑁))))
59	58	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑁)))
60	59	rexlimdv 3133	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝑁))
61	33, 60	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑁)
62	10, 61	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  Posetcpo 18275  0.cp0 18389  OPcops 39172   ⋖ ccvr 39262  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LLinesclln 39492  LPlanesclpl 39493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500

This theorem is referenced by:  2lplnmN  39560  2llnmj  39561  lplncvrlvol  39617  2lplnm2N  39622  2lplnmj  39623