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Theorem cvratlem 39423
Description: Lemma for cvrat 39424. (atcvatlem 32404 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat.s < = (lt‘𝐾)
cvrat.j = (join‘𝐾)
cvrat.z 0 = (0.‘𝐾)
cvrat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvratlem (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 39361 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
4 cvrat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 cvrat.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
7 cvrat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
84, 5, 6, 7atlex 39317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋)
983expia 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋0 → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋))
102, 3, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋0 → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋))
1113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simp22 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
13 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
145, 7atcmp 39312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃 = 𝑟))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃 = 𝑟))
16 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = 𝑟 → (𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑟(le‘𝐾)𝑋))
1716biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
1815, 17biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
1918com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
20 con3 153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))
2119, 20syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟)))
2221impd 410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))
23 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
244, 7atbase 39290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐵)
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14 = (join‘𝐾)
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
284, 5, 26, 27, 7cvr1 39412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
2923, 25, 12, 28syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
3022, 29sylibd 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
3130imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃))
32 hllat 39364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
344, 7atbase 39290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐵)
364, 26latjcom 18492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑟𝐵) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3733, 35, 25, 36syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3931, 38breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4039adantrrl 724 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟))
415, 26, 7hlatlej1 39376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4223, 12, 13, 41syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
445, 7atcmp 39312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑟𝐴𝑃𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟 = 𝑃))
4511, 13, 12, 44syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟 = 𝑃))
46 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
4746biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
4845, 47biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
50 con3 153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃))
5149, 50syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)))
5251imp32 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)
5352adantrrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)
54 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)𝑋)
55 simp21 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑋𝐵)
56 simp23 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
574, 7atbase 39290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐵)
594, 26latjcl 18484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
6033, 35, 58, 59syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
6123, 55, 603jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵))
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < = (lt‘𝐾)
635, 62pltle 18378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
6463imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
6561, 64sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
6665adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
67 hlpos 39367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
68673ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
694, 5postr 18366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7254, 66, 71mp2and 699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
7372adantrrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
744, 5, 26, 7hlexch1 39384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵) ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃) → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
75743expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵)) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))))
7675impd 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵)) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7953, 73, 78mp2and 699 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
804, 26latjcl 18484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑟𝐵) → (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)
8133, 35, 25, 80syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)
824, 5, 26latjle12 18495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8543, 79, 84mpbi2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
865, 26, 7hlatlej1 39376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
8723, 12, 56, 86syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
894, 5, 26latjle12 18495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9288, 73, 91mpbi2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
9333, 60, 813jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵))
954, 5latasymb 18487 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵) → (((𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (((𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟)))
9785, 92, 96mpbi2and 712 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟))
98 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
9998biimpcd 249 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
10099adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
101100ad2antll 729 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋 < (𝑃 𝑟))
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 39277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) ↔ 𝑟 = 𝑋))
104103biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
1051043expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)))
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)))
107106exp4a 431 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑟) → 𝑟 = 𝑋))))
108107com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 𝑟) → 𝑟 = 𝑋))))
109108imp4b 421 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
110109adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
11140, 102, 110mp2and 699 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟 = 𝑋)
112 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟𝐴)
113111, 112eqeltrrd 2842 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋𝐴)
114113exp45 438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
1151143expa 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
116115rexlimdva 3155 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
11710, 116syld 47 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋0 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
118117imp32 418 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  joincjn 18357  0.cp0 18468  Latclat 18476  ccvr 39263  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  cvrat  39424
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