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Theorem cvratlem 37185
Description: Lemma for cvrat 37186. (atcvatlem 30479 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat.s < = (lt‘𝐾)
cvrat.j = (join‘𝐾)
cvrat.z 0 = (0.‘𝐾)
cvrat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvratlem (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 37124 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
4 cvrat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 eqid 2738 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 cvrat.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
7 cvrat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
84, 5, 6, 7atlex 37080 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋)
983expia 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋0 → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋))
102, 3, 9syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋0 → ∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋))
1113ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
12 simp22 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
13 simp3 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
145, 7atcmp 37075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃 = 𝑟))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃 = 𝑟))
16 breq1 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = 𝑟 → (𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑟(le‘𝐾)𝑋))
1716biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
1815, 17syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
1918com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
20 con3 156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))
2119, 20syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟)))
2221impd 414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))
23 simp1 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
244, 7atbase 37053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟𝐵)
25243ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐵)
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14 = (join‘𝐾)
27 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
284, 5, 26, 27, 7cvr1 37174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐵𝑃𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
2923, 25, 12, 28syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
3022, 29sylibd 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃)))
3130imp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 𝑃))
32 hllat 37127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
33323ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
344, 7atbase 37053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐵)
364, 26latjcom 17966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑟𝐵) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3733, 35, 25, 36syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3837adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 𝑟) = (𝑟 𝑃))
3931, 38breqtrrd 5090 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4039adantrrl 724 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟))
415, 26, 7hlatlej1 37139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4223, 12, 13, 41syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
4342adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
445, 7atcmp 37075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑟𝐴𝑃𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟 = 𝑃))
4511, 13, 12, 44syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟 = 𝑃))
46 breq1 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
4746biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋))
4845, 47syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑃(le‘𝐾)𝑋)))
50 con3 156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃))
5149, 50syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)))
5251imp32 422 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)
5352adantrrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)
54 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)𝑋)
55 simp21 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑋𝐵)
56 simp23 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
574, 7atbase 37053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐵)
594, 26latjcl 17958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
6033, 35, 58, 59syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
6123, 55, 603jca 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵))
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < = (lt‘𝐾)
635, 62pltle 17852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
6463imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
6561, 64sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
6665adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
67 hlpos 37130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
68673ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
694, 5postr 17840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
7254, 66, 71mp2and 699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
7372adantrrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
744, 5, 26, 7hlexch1 37146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵) ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃) → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
75743expia 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵)) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))))
7675impd 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑄𝐴𝑃𝐵)) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7877adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
7953, 73, 78mp2and 699 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
804, 26latjcl 17958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑟𝐵) → (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)
8133, 35, 25, 80syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)
824, 5, 26latjle12 17969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑄𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8483adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)) ↔ (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟)))
8543, 79, 84mpbi2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟))
865, 26, 7hlatlej1 37139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
8723, 12, 56, 86syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
8887adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
894, 5, 26latjle12 17969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9190adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
9288, 73, 91mpbi2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))
9333, 60, 813jca 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵))
9493adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵))
954, 5latasymb 17961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵) → (((𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (((𝑃 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ (𝑃 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟)))
9785, 92, 96mpbi2and 712 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟))
98 breq2 5066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
9998biimpcd 252 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < (𝑃 𝑄) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
10099adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
101100ad2antll 729 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 𝑟)))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋 < (𝑃 𝑟))
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 37040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) ↔ 𝑟 = 𝑋))
104103biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
1051043expia 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟𝐵 ∧ (𝑃 𝑟) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)))
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)))
107106exp4a 435 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑟) → 𝑟 = 𝑋))))
108107com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 𝑟) → 𝑟 = 𝑋))))
109108imp4b 425 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
110109adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))
11140, 102, 110mp2and 699 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟 = 𝑋)
112 simpl3 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟𝐴)
113111, 112eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋𝐴)
114113exp45 442 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
1151143expa 1120 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
116115rexlimdva 3210 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (∃𝑟𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
11710, 116syld 47 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋0 → (𝑋 < (𝑃 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))))
118117imp32 422 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋0𝑋 < (𝑃 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  wrex 3063   class class class wbr 5062  cfv 6389  (class class class)co 7222  Basecbs 16773  lecple 16822  Posetcpo 17827  ltcplt 17828  joincjn 17831  0.cp0 17942  Latclat 17950  ccvr 37026  Atomscatm 37027  AtLatcal 37028  HLchlt 37114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-id 5464  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-proset 17815  df-poset 17833  df-plt 17849  df-lub 17865  df-glb 17866  df-join 17867  df-meet 17868  df-p0 17944  df-lat 17951  df-clat 18018  df-oposet 36940  df-ol 36942  df-oml 36943  df-covers 37030  df-ats 37031  df-atl 37062  df-cvlat 37086  df-hlat 37115
This theorem is referenced by:  cvrat  37186
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