Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvratlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvratlem 38292
Description: Lemma for cvrat 38293. (atcvatlem 31638 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrat.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
cvrat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvratlem (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 38230 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 cvrat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6 cvrat.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
7 cvrat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
84, 5, 6, 7atlex 38186 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)
983expia 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
102, 3, 9syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
1113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
12 simp22 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
13 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
145, 7atcmp 38181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ 𝑃 = π‘Ÿ))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ 𝑃 = π‘Ÿ))
16 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = π‘Ÿ β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
1716biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))
1815, 17syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
1918com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
20 con3 153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
2119, 20syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
2221impd 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
23 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
244, 7atbase 38159 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
284, 5, 26, 27, 7cvr1 38281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃)))
2923, 25, 12, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃)))
3022, 29sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃)))
3130imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃))
32 hllat 38233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
344, 7atbase 38159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
364, 26latjcom 18400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑃))
3733, 35, 25, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑃))
3837adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑃))
3931, 38breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
4039adantrrl 723 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
415, 26, 7hlatlej1 38245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
4223, 12, 13, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
445, 7atcmp 38181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘Ÿ = 𝑃))
4511, 13, 12, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘Ÿ = 𝑃))
46 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))
4746biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))
4845, 47syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
50 con3 153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃))
5149, 50syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃)))
5251imp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃)
5352adantrrl 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃)
54 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)
55 simp21 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
56 simp23 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
574, 7atbase 38159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
594, 26latjcl 18392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
6033, 35, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
6123, 55, 603jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡))
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < = (ltβ€˜πΎ)
635, 62pltle 18286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
6463imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
6561, 64sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
6665adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
67 hlpos 38236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
68673ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
694, 5postr 18273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
7254, 66, 71mp2and 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
7372adantrrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
744, 5, 26, 7hlexch1 38253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
75743expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))))
7675impd 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡)) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
7953, 73, 78mp2and 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
804, 26latjcl 18392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
8133, 35, 25, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
824, 5, 26latjle12 18403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
8483adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
8543, 79, 84mpbi2and 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
865, 26, 7hlatlej1 38245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
8723, 12, 56, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
8887adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
894, 5, 26latjle12 18403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9190adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9288, 73, 91mpbi2and 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
9333, 60, 813jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡))
9493adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡))
954, 5latasymb 18395 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
9785, 92, 96mpbi2and 711 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ))
98 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
9998biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
10099adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
101100ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ))
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 38146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ π‘Ÿ = 𝑋))
104103biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))
1051043expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋)))
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋)))
107106exp4a 433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))))
108107com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))))
109108imp4b 423 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ ((π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))
110109adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))
11140, 102, 110mp2and 698 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ = 𝑋)
112 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
113111, 112eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
114113exp45 440 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
1151143expa 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
116115rexlimdva 3156 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
11710, 116syld 47 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
118117imp32 420 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  ltcplt 18261  joincjn 18264  0.cp0 18376  Latclat 18384   β‹– ccvr 38132  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134  HLchlt 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221
This theorem is referenced by:  cvrat  38293
  Copyright terms: Public domain W3C validator