Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvratlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvratlem 38595
Description: Lemma for cvrat 38596. (atcvatlem 31905 analog.) (Contributed by NM, 22-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrat.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
cvrat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvratlem (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem cvratlem
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlatl 38533 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1192 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 cvrat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 eqid 2730 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6 cvrat.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
7 cvrat.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
84, 5, 6, 7atlex 38489 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)
983expia 1119 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
102, 3, 9syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
1113ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
12 simp22 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
13 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
145, 7atcmp 38484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ 𝑃 = π‘Ÿ))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ 𝑃 = π‘Ÿ))
16 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 = π‘Ÿ β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋))
1716biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))
1815, 17syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
1918com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
20 con3 153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
2119, 20syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ)))
2221impd 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ))
23 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
244, 7atbase 38462 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
25243ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
26 cvrat.j . . . . . . . . . . . . . 14 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
27 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
284, 5, 26, 27, 7cvr1 38584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃)))
2923, 25, 12, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Ÿ ↔ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃)))
3022, 29sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃)))
3130imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(π‘Ÿ ∨ 𝑃))
32 hllat 38536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
33323ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
344, 7atbase 38462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
3512, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
364, 26latjcom 18404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑃))
3733, 35, 25, 36syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑃))
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (π‘Ÿ ∨ 𝑃))
3931, 38breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
4039adantrrl 720 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
415, 26, 7hlatlej1 38548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
4223, 12, 13, 41syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
4342adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
445, 7atcmp 38484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘Ÿ = 𝑃))
4511, 13, 12, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ↔ π‘Ÿ = 𝑃))
46 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))
4746biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))
4845, 47syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)))
50 con3 153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃))
5149, 50syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃)))
5251imp32 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃)
5352adantrrl 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃)
54 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋)
55 simp21 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
56 simp23 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
574, 7atbase 38462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
594, 26latjcl 18396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
6033, 35, 58, 59syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
6123, 55, 603jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡))
62 cvrat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 < = (ltβ€˜πΎ)
635, 62pltle 18290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
6463imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
6561, 64sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
6665adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
67 hlpos 38539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
68673ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
694, 5postr 18277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
7068, 25, 55, 60, 69syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
7170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
7254, 66, 71mp2and 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
7372adantrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
744, 5, 26, 7hlexch1 38556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
75743expia 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))))
7675impd 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡)) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
7723, 13, 56, 35, 76syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
7877adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((Β¬ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑃 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
7953, 73, 78mp2and 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
804, 26latjcl 18396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
8133, 35, 25, 80syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
824, 5, 26latjle12 18407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
8333, 35, 58, 81, 82syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
8483adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
8543, 79, 84mpbi2and 708 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ))
865, 26, 7hlatlej1 38548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
8723, 12, 56, 86syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
8887adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
894, 5, 26latjle12 18407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9033, 35, 25, 60, 89syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9190adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((𝑃(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9288, 73, 91mpbi2and 708 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))
9333, 60, 813jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡))
9493adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡))
954, 5latasymb 18399 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ)(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
9785, 92, 96mpbi2and 708 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ))
98 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
9998biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
10099adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
101100ad2antll 725 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)))
10297, 101mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ))
1034, 5, 62, 27cvrnbtwn3 38449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) ↔ π‘Ÿ = 𝑋))
104103biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))
1051043expia 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋)))
10668, 25, 81, 55, 105syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ ((π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋)))
107106exp4a 430 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))))
108107com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))))
109108imp4b 420 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ ((π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))
110109adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ ((π‘Ÿ( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ π‘Ÿ) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ = 𝑋))
11140, 102, 110mp2and 695 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ = 𝑋)
112 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
113111, 112eqeltrrd 2832 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
114113exp45 437 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
1151143expa 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
116115rexlimdva 3153 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
11710, 116syld 47 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))))
118117imp32 417 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  joincjn 18268  0.cp0 18380  Latclat 18388   β‹– ccvr 38435  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524
This theorem is referenced by:  cvrat  38596
  Copyright terms: Public domain W3C validator