Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hlatl 37124 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat) |
2 | 1 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat) |
3 | | simpr1 1196 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵) |
4 | | cvrat.b |
. . . . . 6
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
5 | | eqid 2738 |
. . . . . 6
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
6 | | cvrat.z |
. . . . . 6
⊢ 0 =
(0.‘𝐾) |
7 | | cvrat.a |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
8 | 4, 5, 6, 7 | atlex 37080 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋) |
9 | 8 | 3expia 1123 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋)) |
10 | 2, 3, 9 | syl2anc 587 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≠ 0 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋)) |
11 | 1 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat) |
12 | | simp22 1209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
13 | | simp3 1140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
14 | 5, 7 | atcmp 37075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟)) |
15 | 11, 12, 13, 14 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 ↔ 𝑃 = 𝑟)) |
16 | | breq1 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑃 = 𝑟 → (𝑃(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑟(le‘𝐾)𝑋)) |
17 | 16 | biimprd 251 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑃 = 𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) |
18 | 15, 17 | syl6bi 256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) |
19 | 18 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑃(le‘𝐾)𝑟 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) |
20 | | con3 156 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃(le‘𝐾)𝑟 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟)) |
21 | 19, 20 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟))) |
22 | 21 | impd 414 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟)) |
23 | | simp1 1138 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) |
24 | 4, 7 | atbase 37053 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ 𝐵) |
25 | 24 | 3ad2ant3 1137 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐵) |
26 | | cvrat.j |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
27 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ( ⋖
‘𝐾) = ( ⋖
‘𝐾) |
28 | 4, 5, 26, 27, 7 | cvr1 37174 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟 ↔ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 ∨ 𝑃))) |
29 | 23, 25, 12, 28 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑟 ↔ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 ∨ 𝑃))) |
30 | 22, 29 | sylibd 242 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 ∨ 𝑃))) |
31 | 30 | imp 410 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑟 ∨ 𝑃)) |
32 | | hllat 37127 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
33 | 32 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat) |
34 | 4, 7 | atbase 37053 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵) |
35 | 12, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
36 | 4, 26 | latjcom 17966 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑟 ∨ 𝑃)) |
37 | 33, 35, 25, 36 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑟 ∨ 𝑃)) |
38 | 37 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑟 ∨ 𝑃)) |
39 | 31, 38 | breqtrrd 5090 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
40 | 39 | adantrrl 724 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
41 | 5, 26, 7 | hlatlej1 37139 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
42 | 23, 12, 13, 41 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
43 | 42 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
44 | 5, 7 | atcmp 37075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑟 = 𝑃)) |
45 | 11, 13, 12, 44 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 ↔ 𝑟 = 𝑃)) |
46 | | breq1 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) |
47 | 46 | biimpd 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑟 = 𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) |
48 | 45, 47 | syl6bi 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) |
49 | 48 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟(le‘𝐾)𝑃 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) |
50 | | con3 156 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑟(le‘𝐾)𝑃 → 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃)) |
51 | 49, 50 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃))) |
52 | 51 | imp32 422 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋)) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃) |
53 | 52 | adantrrl 724 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃) |
54 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)𝑋) |
55 | | simp21 1208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵) |
56 | | simp23 1210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴) |
57 | 4, 7 | atbase 37053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵) |
59 | 4, 26 | latjcl 17958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) |
60 | 33, 35, 58, 59 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) |
61 | 23, 55, 60 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)) |
62 | | cvrat.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ < =
(lt‘𝐾) |
63 | 5, 62 | pltle 17852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
64 | 63 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
65 | 61, 64 | sylan 583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
66 | 65 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
67 | | hlpos 37130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset) |
68 | 67 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset) |
69 | 4, 5 | postr 17840 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
70 | 68, 25, 55, 60, 69 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
71 | 70 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
72 | 54, 66, 71 | mp2and 699 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
73 | 72 | adantrrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
74 | 4, 5, 26, 7 | hlexch1 37146 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃) → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
75 | 74 | 3expia 1123 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 → (𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)))) |
76 | 75 | impd 414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
77 | 23, 13, 56, 35, 76 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
78 | 77 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((¬ 𝑟(le‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
79 | 53, 73, 78 | mp2and 699 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
80 | 4, 26 | latjcl 17958 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵) |
81 | 33, 35, 25, 80 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵) |
82 | 4, 5, 26 | latjle12 17969 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
83 | 33, 35, 58, 81, 82 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
84 | 83 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟))) |
85 | 43, 79, 84 | mpbi2and 712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) |
86 | 5, 26, 7 | hlatlej1 37139 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
87 | 23, 12, 56, 86 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
88 | 87 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
89 | 4, 5, 26 | latjle12 17969 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
90 | 33, 35, 25, 60, 89 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
91 | 90 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) |
92 | 88, 73, 91 | mpbi2and 712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) |
93 | 33, 60, 81 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)) |
94 | 93 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵)) |
95 | 4, 5 | latasymb 17961 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵) → (((𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ (𝑃 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟))) |
96 | 94, 95 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (((𝑃 ∨ 𝑄)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ (𝑃 ∨ 𝑟)(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟))) |
97 | 85, 92, 96 | mpbi2and 712 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟)) |
98 | | breq2 5066 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟))) |
99 | 98 | biimpcd 252 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟))) |
100 | 99 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟))) |
101 | 100 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑟) → 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟))) |
102 | 97, 101 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) |
103 | 4, 5, 62, 27 | cvrnbtwn3 37040 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) ↔ 𝑟 = 𝑋)) |
104 | 103 | biimpd 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟)) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)) |
105 | 104 | 3expia 1123 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑟 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑟) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))) |
106 | 68, 25, 81, 55, 105 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) → ((𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋))) |
107 | 106 | exp4a 435 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟) → 𝑟 = 𝑋)))) |
108 | 107 | com23 86 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟) → 𝑟 = 𝑋)))) |
109 | 108 | imp4b 425 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟(le‘𝐾)𝑋) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)) |
110 | 109 | adantrr 717 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → ((𝑟( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑟) ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑟)) → 𝑟 = 𝑋)) |
111 | 40, 102, 110 | mp2and 699 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟 = 𝑋) |
112 | | simpl3 1195 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑟 ∈ 𝐴) |
113 | 111, 112 | eqeltrrd 2840 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐴) |
114 | 113 | exp45 442 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))) |
115 | 114 | 3expa 1120 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))) |
116 | 115 | rexlimdva 3210 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 𝑟(le‘𝐾)𝑋 → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))) |
117 | 10, 116 | syld 47 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≠ 0 → (𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)))) |
118 | 117 | imp32 422 |
1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 < (𝑃 ∨ 𝑄))) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑋 → 𝑋 ∈ 𝐴)) |