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Theorem omndmul2 31969
Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul2.2 Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul2.3 0 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
omndmul2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))

Proof of Theorem omndmul2
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1090 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 0 ≀ 𝑋))
2 anass 470 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ↔ (𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)))
32anbi1i 625 . . 3 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 0 ≀ 𝑋))
41, 3bitr4i 278 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ↔ (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋))
5 simplr 768 . . 3 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
76breq2d 5118 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ (0 Β· 𝑋)))
8 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
98breq2d 5118 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))
10 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
1110breq2d 5118 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
12 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
1312breq2d 5118 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋)))
14 omndtos 31962 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
15 tospos 18314 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Poset)
17 omndmnd 31961 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
18 omndmul.0 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
19 omndmul2.3 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘€)
2018, 19mndidcl 18576 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
2117, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
22 omndmul.1 . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘€)
2318, 22posref 18212 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Poset ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 0 )
2416, 21, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 0 ≀ 0 )
2524ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ 0 )
26 omndmul2.2 . . . . . . 7 Β· = (.gβ€˜π‘€)
2718, 19, 26mulg0 18884 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = 0 )
2827ad3antlr 730 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ (0 Β· 𝑋) = 0 )
2925, 28breqtrrd 5134 . . . 4 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (0 Β· 𝑋))
3016ad5antr 733 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ Poset)
3117ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3231, 20syl 17 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 0 ∈ 𝐡)
33 simplr 768 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
34 simp-5r 785 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3518, 26, 31, 33, 34mulgnn0cld 18902 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
36 simpr32 1265 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
37 1nn0 12434 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))) β†’ 1 ∈ β„•0)
3936, 38nn0addcld 12482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
40393anassrs 1361 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
41403anassrs 1361 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
4218, 26, 31, 41, 34mulgnn0cld 18902 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
4332, 35, 423jca 1129 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡))
44 simpr 486 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋))
45 simp-4l 782 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
4617ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4746, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ 𝐡)
48 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
49 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5018, 26, 46, 49, 48mulgnn0cld 18902 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
51 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝑋)
52 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5318, 22, 52omndadd 31963 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) ≀ (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
5445, 47, 48, 50, 51, 53syl131anc 1384 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) ≀ (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
5518, 52, 19mndlid 18581 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = (𝑛 Β· 𝑋))
5646, 50, 55syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = (𝑛 Β· 𝑋))
5737a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„•0)
5818, 26, 52mulgnn0dir 18911 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· 𝑋) = ((1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
5946, 57, 49, 48, 58syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 + 𝑛) Β· 𝑋) = ((1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
60 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
61 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
6261nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
6360, 62addcomd 11362 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (1 + 𝑛) = (𝑛 + 1))
64633anassrs 1361 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 + 𝑛) = (𝑛 + 1))
6564oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 + 𝑛) Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
6618, 26mulg1 18888 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
6748, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
6867oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
6959, 65, 683eqtr3rd 2782 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7054, 56, 693brtr3d 5137 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7170adantr 482 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7218, 22postr 18214 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)) β†’ (( 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
7372imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)) ∧ ( 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))) β†’ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7430, 43, 44, 71, 73syl22anc 838 . . . 4 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
757, 9, 11, 13, 29, 74nn0indd 12605 . . 3 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))
765, 75mpdan 686 . 2 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))
774, 76sylbi 216 1 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  lecple 17145  0gc0g 17326  Posetcpo 18201  Tosetctos 18310  Mndcmnd 18561  .gcmg 18877  oMndcomnd 31954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-toset 18311  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mulg 18878  df-omnd 31956
This theorem is referenced by:  omndmul3  31970
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