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Theorem omndmul2 32736
Description: In an ordered monoid, the ordering is compatible with group power. This version does not require the monoid to be commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
omndmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘€)
omndmul2.2 Β· = (.gβ€˜π‘€)
omndmul2.3 0 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
omndmul2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))

Proof of Theorem omndmul2
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1086 . . 3 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 0 ≀ 𝑋))
2 anass 468 . . . 4 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ↔ (𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)))
32anbi1i 623 . . 3 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ↔ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) ∧ 0 ≀ 𝑋))
41, 3bitr4i 278 . 2 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ↔ (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋))
5 simplr 766 . . 3 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
76breq2d 5153 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ (0 Β· 𝑋)))
8 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
98breq2d 5153 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))
10 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
1110breq2d 5153 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
12 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑁 Β· 𝑋))
1312breq2d 5153 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ( 0 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋)))
14 omndtos 32729 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Toset)
15 tospos 18385 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Toset β†’ 𝑀 ∈ Poset)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Poset)
17 omndmnd 32728 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
18 omndmul.0 . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
19 omndmul2.3 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘€)
2018, 19mndidcl 18682 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
2117, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
22 omndmul.1 . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘€)
2318, 22posref 18283 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Poset ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 0 )
2416, 21, 23syl2anc 583 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd β†’ 0 ≀ 0 )
2524ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ 0 )
26 omndmul2.2 . . . . . . 7 Β· = (.gβ€˜π‘€)
2718, 19, 26mulg0 19002 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = 0 )
2827ad3antlr 728 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ (0 Β· 𝑋) = 0 )
2925, 28breqtrrd 5169 . . . 4 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (0 Β· 𝑋))
3016ad5antr 731 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ Poset)
3117ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3231, 20syl 17 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 0 ∈ 𝐡)
33 simplr 766 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
34 simp-5r 783 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3518, 26, 31, 33, 34mulgnn0cld 19022 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
36 simpr32 1261 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
37 1nn0 12492 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))) β†’ 1 ∈ β„•0)
3936, 38nn0addcld 12540 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
40393anassrs 1357 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
41403anassrs 1357 . . . . . . 7 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
4218, 26, 31, 41, 34mulgnn0cld 19022 . . . . . 6 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
4332, 35, 423jca 1125 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡))
44 simpr 484 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋))
45 simp-4l 780 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ oMnd)
4617ad4antr 729 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4746, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ 𝐡)
48 simp-4r 781 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
49 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5018, 26, 46, 49, 48mulgnn0cld 19022 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
51 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝑋)
52 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5318, 22, 52omndadd 32730 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) ≀ (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
5445, 47, 48, 50, 51, 53syl131anc 1380 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) ≀ (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
5518, 52, 19mndlid 18687 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = (𝑛 Β· 𝑋))
5646, 50, 55syl2anc 583 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = (𝑛 Β· 𝑋))
5737a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„•0)
5818, 26, 52mulgnn0dir 19031 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· 𝑋) = ((1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
5946, 57, 49, 48, 58syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 + 𝑛) Β· 𝑋) = ((1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
60 1cnd 11213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
61 simpr3 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
6261nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
6360, 62addcomd 11420 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑛 ∈ β„•0)) β†’ (1 + 𝑛) = (𝑛 + 1))
64633anassrs 1357 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 + 𝑛) = (𝑛 + 1))
6564oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 + 𝑛) Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
6618, 26mulg1 19008 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
6748, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 Β· 𝑋) = 𝑋)
6867oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)))
6959, 65, 683eqtr3rd 2775 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘€)(𝑛 Β· 𝑋)) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7054, 56, 693brtr3d 5172 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7170adantr 480 . . . . 5 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7218, 22postr 18285 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)) β†’ (( 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
7372imp 406 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)) ∧ ( 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))) β†’ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
7430, 43, 44, 71, 73syl22anc 836 . . . 4 ((((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ (𝑛 Β· 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
757, 9, 11, 13, 29, 74nn0indd 12663 . . 3 (((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))
765, 75mpdan 684 . 2 ((((𝑀 ∈ oMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))
774, 76sylbi 216 1 ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  lecple 17213  0gc0g 17394  Posetcpo 18272  Tosetctos 18381  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995  oMndcomnd 32721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996  df-omnd 32723
This theorem is referenced by:  omndmul3  32737
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