| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | ordtNEW.l |
. . . . 5
⊢ ≤ =
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
| 2 | 1 | rneqi 5948 |
. . . 4
⊢ ran ≤ = ran
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
| 3 | 2 | eleq2i 2833 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ran ≤ ↔ 𝑥 ∈ ran ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
| 4 | | vex 3484 |
. . . . 5
⊢ 𝑥 ∈ V |
| 5 | 4 | elrn2 5903 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ ran ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
| 6 | | ordtNEW.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
| 7 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
| 8 | 6, 7 | prsref 18344 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥) |
| 9 | | df-br 5144 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
| 10 | 8, 9 | sylib 218 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
| 11 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 12 | 11, 11 | opelxpd 5724 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
| 13 | 10, 12 | elind 4200 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
| 14 | | opeq1 4873 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑥 → 〈𝑦, 𝑥〉 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
| 15 | 14 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
| 16 | 4, 15 | spcev 3606 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
| 17 | 13, 16 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
| 18 | 17 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
| 19 | | elinel2 4202 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 〈𝑦, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
| 20 | | opelxp2 5728 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 22 | 21 | exlimiv 1930 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 23 | 18, 22 | impbid1 225 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
| 24 | 5, 23 | bitr4id 290 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ ran ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
| 25 | 3, 24 | bitrid 283 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ ran ≤ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
| 26 | 25 | eqrdv 2735 |
1
⊢ (𝐾 ∈ Proset → ran ≤ = 𝐵) |