Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ordtNEW.l |
. . . . 5
⊢ ≤ =
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
2 | 1 | rneqi 5689 |
. . . 4
⊢ ran ≤ = ran
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
3 | 2 | eleq2i 2874 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ ran ≤ ↔ 𝑥 ∈ ran ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
4 | | ordtNEW.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
5 | | eqid 2795 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
6 | 4, 5 | prsref 17371 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥) |
7 | | df-br 4963 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
8 | 6, 7 | sylib 219 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
9 | | simpr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
10 | 9, 9 | opelxpd 5481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
11 | 8, 10 | elind 4092 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
12 | | vex 3440 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑥 ∈ V |
13 | | opeq1 4710 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑥 → 〈𝑦, 𝑥〉 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
14 | 13 | eleq1d 2867 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
15 | 12, 14 | spcev 3549 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
16 | 11, 15 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
17 | 16 | ex 413 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
18 | | elinel2 4094 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 〈𝑦, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
19 | | opelxp2 5485 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
21 | 20 | exlimiv 1908 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
22 | 17, 21 | impbid1 226 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
23 | 12 | elrn2 5703 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ ran ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∃𝑦〈𝑦, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
24 | 22, 23 | syl6rbbr 291 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ ran ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
25 | 3, 24 | syl5bb 284 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ ran ≤ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
26 | 25 | eqrdv 2793 |
1
⊢ (𝐾 ∈ Proset → ran ≤ = 𝐵) |