Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ordtNEW.l |
. . . . 5
⊢ ≤ =
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
2 | 1 | dmeqi 5766 |
. . . 4
⊢ dom ≤ = dom
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
3 | 2 | eleq2i 2901 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ dom ≤ ↔ 𝑥 ∈ dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
4 | | ordtNEW.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
5 | | eqid 2818 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
6 | 4, 5 | prsref 17530 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥) |
7 | | df-br 5058 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
8 | 6, 7 | sylib 219 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
9 | | simpr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
10 | 9, 9 | opelxpd 5586 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
11 | 8, 10 | elind 4168 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
12 | | vex 3495 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑥 ∈ V |
13 | | opeq2 4796 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑥 → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
14 | 13 | eleq1d 2894 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
15 | 12, 14 | spcev 3604 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
16 | 11, 15 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
17 | 16 | ex 413 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
18 | | elinel2 4170 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
19 | | opelxp1 5589 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐵 × 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
21 | 20 | exlimiv 1922 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
22 | 17, 21 | impbid1 226 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
23 | 12 | eldm2 5763 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
24 | 22, 23 | syl6rbbr 291 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
25 | 3, 24 | syl5bb 284 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ dom ≤ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
26 | 25 | eqrdv 2816 |
1
⊢ (𝐾 ∈ Proset → dom ≤ = 𝐵) |