Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ordtNEW.l |
. . . . 5
⊢ ≤ =
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
2 | 1 | dmeqi 5773 |
. . . 4
⊢ dom ≤ = dom
((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) |
3 | 2 | eleq2i 2829 |
. . 3
⊢ (𝑥 ∈ dom ≤ ↔ 𝑥 ∈ dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
4 | | vex 3412 |
. . . . 5
⊢ 𝑥 ∈ V |
5 | 4 | eldm2 5770 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
6 | | ordtNEW.b |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
8 | 6, 7 | prsref 17806 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥) |
9 | | df-br 5054 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
10 | 8, 9 | sylib 221 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (le‘𝐾)) |
11 | | simpr 488 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
12 | 11, 11 | opelxpd 5589 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
13 | 10, 12 | elind 4108 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
14 | | opeq2 4785 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑥 → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑥〉) |
15 | 14 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
16 | 4, 15 | spcev 3521 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑥〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
17 | 13, 16 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵))) |
18 | 17 | ex 416 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
19 | | elinel2 4110 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐵 × 𝐵)) |
20 | | opelxp1 5592 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ (𝐵 × 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
22 | 21 | exlimiv 1938 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
23 | 18, 22 | impbid1 228 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)))) |
24 | 5, 23 | bitr4id 293 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ dom ((le‘𝐾) ∩ (𝐵 × 𝐵)) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
25 | 3, 24 | syl5bb 286 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ Proset → (𝑥 ∈ dom ≤ ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
26 | 25 | eqrdv 2735 |
1
⊢ (𝐾 ∈ Proset → dom ≤ = 𝐵) |