MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdgrp 19877
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 19869 . . . . . 6 Rel dom DProd
21brrelex2i 5733 . . . . 5 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
32dmexd 7898 . . . 4 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ dom ๐‘† โˆˆ V)
4 eqid 2732 . . . 4 dom ๐‘† = dom ๐‘†
5 eqid 2732 . . . . 5 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
6 eqid 2732 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
7 eqid 2732 . . . . 5 (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
85, 6, 7dmdprd 19870 . . . 4 ((dom ๐‘† โˆˆ V โˆง dom ๐‘† = dom ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:dom ๐‘†โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘†(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
93, 4, 8sylancl 586 . . 3 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:dom ๐‘†โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘†(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
109ibi 266 . 2 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:dom ๐‘†โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘†(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)})))
1110simp1d 1142 1 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   โ€œ cima 5679  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  0gc0g 17387  mrClscmrc 17529  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002  Cntzccntz 19181   DProd cdprd 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-ixp 8894  df-dprd 19867
This theorem is referenced by:  dprdssv  19888  dprdfid  19889  dprdfinv  19891  dprdfadd  19892  dprdfsub  19893  dprdfeq0  19894  dprdf11  19895  dprdsubg  19896  dprdlub  19898  dprdspan  19899  dprdres  19900  dprdss  19901  dprdf1o  19904  dmdprdsplitlem  19909  dprdcntz2  19910  dprddisj2  19911  dprd2dlem1  19913  dprd2da  19914  dmdprdsplit2lem  19917  dmdprdsplit2  19918  dpjfval  19927  dpjidcl  19930
  Copyright terms: Public domain W3C validator