MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdgrp 19875
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 19867 . . . . . 6 Rel dom DProd
21brrelex2i 5734 . . . . 5 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
32dmexd 7896 . . . 4 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ dom ๐‘† โˆˆ V)
4 eqid 2733 . . . 4 dom ๐‘† = dom ๐‘†
5 eqid 2733 . . . . 5 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
6 eqid 2733 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
7 eqid 2733 . . . . 5 (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
85, 6, 7dmdprd 19868 . . . 4 ((dom ๐‘† โˆˆ V โˆง dom ๐‘† = dom ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:dom ๐‘†โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘†(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
93, 4, 8sylancl 587 . . 3 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:dom ๐‘†โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘†(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
109ibi 267 . 2 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:dom ๐‘†โŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘†(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (dom ๐‘† โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)})))
1110simp1d 1143 1 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โˆช cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   โ€œ cima 5680  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  0gc0g 17385  mrClscmrc 17527  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179   DProd cdprd 19863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-ixp 8892  df-dprd 19865
This theorem is referenced by:  dprdssv  19886  dprdfid  19887  dprdfinv  19889  dprdfadd  19890  dprdfsub  19891  dprdfeq0  19892  dprdf11  19893  dprdsubg  19894  dprdlub  19896  dprdspan  19897  dprdres  19898  dprdss  19899  dprdf1o  19902  dmdprdsplitlem  19907  dprdcntz2  19908  dprddisj2  19909  dprd2dlem1  19911  dprd2da  19912  dmdprdsplit2lem  19915  dmdprdsplit2  19916  dpjfval  19925  dpjidcl  19928
  Copyright terms: Public domain W3C validator