MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdgrp 20040
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 20032 . . . . . 6 Rel dom DProd
21brrelex2i 5746 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
32dmexd 7926 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
4 eqid 2735 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
5 eqid 2735 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7 eqid 2735 . . . . 5 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
85, 6, 7dmdprd 20033 . . . 4 ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)}))))
93, 4, 8sylancl 586 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)}))))
109ibi 267 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})))
1110simp1d 1141 1 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  0gc0g 17486  mrClscmrc 17628  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346   DProd cdprd 20028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ixp 8937  df-dprd 20030
This theorem is referenced by:  dprdssv  20051  dprdfid  20052  dprdfinv  20054  dprdfadd  20055  dprdfsub  20056  dprdfeq0  20057  dprdf11  20058  dprdsubg  20059  dprdlub  20061  dprdspan  20062  dprdres  20063  dprdss  20064  dprdf1o  20067  dmdprdsplitlem  20072  dprdcntz2  20073  dprddisj2  20074  dprd2dlem1  20076  dprd2da  20077  dmdprdsplit2lem  20080  dmdprdsplit2  20081  dpjfval  20090  dpjidcl  20093
  Copyright terms: Public domain W3C validator