Theorem dprdgrp 20254

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 20246	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5713	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3	2	dmexd 7942	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	5, 6, 7	dmdprd 20247	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
9	3, 4, 8	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	9	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
11	10	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  {csn 4588  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  dom cdm 5656   “ cima 5659  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  0_gc0g 17642  mrClscmrc 17785  Grpcgrp 19176  SubGrpcsubg 19362  Cntzccntz 19562   DProd cdprd 20242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-ixp 8957  df-dprd 20244

This theorem is used by:  dprdssv  20265  dprdfid  20266  dprdfinv  20268  dprdfadd  20269  dprdfsub  20270  dprdfeq0  20271  dprdf11  20272  dprdsubg  20273  dprdlub  20275  dprdspan  20276  dprdres  20277  dprdss  20278  dprdf1o  20281  dmdprdsplitlem  20286  dprdcntz2  20287  dprddisj2  20288  dprd2dlem1  20290  dprd2da  20291  dmdprdsplit2lem  20294  dmdprdsplit2  20295  dpjfval  20304  dpjidcl  20307