MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdgrp 19936
Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 19928 . . . . . 6 Rel dom DProd
21brrelex2i 5681 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
32dmexd 7845 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
4 eqid 2736 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
5 eqid 2736 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
7 eqid 2736 . . . . 5 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
85, 6, 7dmdprd 19929 . . . 4 ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)}))))
93, 4, 8sylancl 586 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)}))))
109ibi 267 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})))
1110simp1d 1142 1 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1541  wcel 2113  wral 3051  Vcvv 3440  cdif 3898  cin 3900  wss 3901  {csn 4580   cuni 4863   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  cima 5627  wf 6488  cfv 6492  0gc0g 17359  mrClscmrc 17502  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050  Cntzccntz 19244   DProd cdprd 19924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-ixp 8836  df-dprd 19926
This theorem is referenced by:  dprdssv  19947  dprdfid  19948  dprdfinv  19950  dprdfadd  19951  dprdfsub  19952  dprdfeq0  19953  dprdf11  19954  dprdsubg  19955  dprdlub  19957  dprdspan  19958  dprdres  19959  dprdss  19960  dprdf1o  19963  dmdprdsplitlem  19968  dprdcntz2  19969  dprddisj2  19970  dprd2dlem1  19972  dprd2da  19973  dmdprdsplit2lem  19976  dmdprdsplit2  19977  dpjfval  19986  dpjidcl  19989
  Copyright terms: Public domain W3C validator