Theorem dprdgrp 20226

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 20218	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5707	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3	2	dmexd 7915	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	5, 6, 7	dmdprd 20219	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
9	3, 4, 8	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	9	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
11	10	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  {csn 4584  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  dom cdm 5650   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  0_gc0g 17615  mrClscmrc 17758  Grpcgrp 19149  SubGrpcsubg 19335  Cntzccntz 19534   DProd cdprd 20214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-ixp 8929  df-dprd 20216

This theorem is used by:  dprdssv  20237  dprdfid  20238  dprdfinv  20240  dprdfadd  20241  dprdfsub  20242  dprdfeq0  20243  dprdf11  20244  dprdsubg  20245  dprdlub  20247  dprdspan  20248  dprdres  20249  dprdss  20250  dprdf1o  20253  dmdprdsplitlem  20258  dprdcntz2  20259  dprddisj2  20260  dprd2dlem1  20262  dprd2da  20263  dmdprdsplit2lem  20266  dmdprdsplit2  20267  dpjfval  20276  dpjidcl  20279