Theorem dprdgrp 19980

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 19972	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5682	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3	2	dmexd 7850	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	5, 6, 7	dmdprd 19973	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
9	3, 4, 8	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	9	ibi 268	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
11	10	simp1d 1148	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  dom cdm 5625   “ cima 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  0_gc0g 17400  mrClscmrc 17543  Grpcgrp 18907  SubGrpcsubg 19094  Cntzccntz 19288   DProd cdprd 19968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-ixp 8843  df-dprd 19970

This theorem is referenced by:  dprdssv  19991  dprdfid  19992  dprdfinv  19994  dprdfadd  19995  dprdfsub  19996  dprdfeq0  19997  dprdf11  19998  dprdsubg  19999  dprdlub  20001  dprdspan  20002  dprdres  20003  dprdss  20004  dprdf1o  20007  dmdprdsplitlem  20012  dprdcntz2  20013  dprddisj2  20014  dprd2dlem1  20016  dprd2da  20017  dmdprdsplit2lem  20020  dmdprdsplit2  20021  dpjfval  20030  dpjidcl  20033