Theorem dprdgrp 19937

Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dprdgrp	⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmdprd 19929	. . . . . 6 ⊢ Rel dom DProd
2	1	brrelex2i 5695	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
3	2	dmexd 7879	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	5, 6, 7	dmdprd 19930	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
9	3, 4, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)}))))
10	9	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑦)) ∧ ((𝑆‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g‘𝐺)})))
11	10	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  dom cdm 5638   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  0_gc0g 17402  mrClscmrc 17544  Grpcgrp 18865  SubGrpcsubg 19052  Cntzccntz 19247   DProd cdprd 19925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-ixp 8871  df-dprd 19927

This theorem is referenced by:  dprdssv  19948  dprdfid  19949  dprdfinv  19951  dprdfadd  19952  dprdfsub  19953  dprdfeq0  19954  dprdf11  19955  dprdsubg  19956  dprdlub  19958  dprdspan  19959  dprdres  19960  dprdss  19961  dprdf1o  19964  dmdprdsplitlem  19969  dprdcntz2  19970  dprddisj2  19971  dprd2dlem1  19973  dprd2da  19974  dmdprdsplit2lem  19977  dmdprdsplit2  19978  dpjfval  19987  dpjidcl  19990