MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprd 19867
Description: The domain of definition of the internal direct product, which states that ๐‘† is a family of subgroups that mutually commute and have trivial intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprd.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
dmdprd.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dmdprd.k ๐พ = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
Assertion
Ref Expression
dmdprd ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   0 (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem dmdprd
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘“ ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
21a1i 11 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
3 fex 7227 . . . . . . 7 ((๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
43expcom 414 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
54adantr 481 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
65adantrd 492 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ((๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
7 df-sbc 3778 . . . . . 6 ([๐‘† / โ„Ž](โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))})
8 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
9 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ โ„Ž = ๐‘†)
109dmeqd 5905 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ dom โ„Ž = dom ๐‘†)
11 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
1210, 11eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ dom โ„Ž = ๐ผ)
139, 12feq12d 6705 . . . . . . . . 9 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†” ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ)))
1412difeq1d 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}))
159fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
169fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1815, 17sseq12d 4015 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
1914, 18raleqbidv 3342 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
209, 14imaeq12d 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})) = (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))
2120unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})) = โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}))))
2315, 22ineq12d 4213 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))))
2423eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 } โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))
2519, 24anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
2612, 25raleqbidv 3342 . . . . . . . . 9 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
2713, 26anbi12d 631 . . . . . . . 8 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
2827adantlr 713 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
298, 28sbcied 3822 . . . . . 6 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ ([๐‘† / โ„Ž](โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
307, 29bitr3id 284 . . . . 5 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
3130ex 413 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆˆ V โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))))
322, 6, 31pm5.21ndd 380 . . 3 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
3332anbi2d 629 . 2 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))}) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))))
34 df-br 5149 . . 3 (๐บdom DProd ๐‘† โ†” โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ dom DProd )
35 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
3635rgenw 3065 . . . . . . . . . 10 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
37 ixpexg 8915 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
3938mptrabex 7226 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
4039rnex 7902 . . . . . . 7 ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
4140rgen2w 3066 . . . . . 6 โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
42 df-dprd 19864 . . . . . . 7 DProd = (๐‘” โˆˆ Grp, ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โ†ฆ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
4342fmpox 8052 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V โ†” DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV)
4441, 43mpbi 229 . . . . 5 DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV
4544fdmi 6729 . . . 4 dom DProd = โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})
4645eleq2i 2825 . . 3 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ dom DProd โ†” โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
47 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (SubGrpโ€˜๐‘”) = (SubGrpโ€˜๐บ))
4847feq3d 6704 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โ†” โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ)))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Cntzโ€˜๐‘”) = (Cntzโ€˜๐บ))
50 dmdprd.z . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
5149, 50eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Cntzโ€˜๐‘”) = ๐‘)
5251fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
5352sseq2d 4014 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
5453ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
5547fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐บ โ†’ (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)))
56 dmdprd.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
5755, 56eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”)) = ๐พ)
5857fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}))))
5958ineq2d 4212 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))))
60 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
61 dmdprd.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gโ€˜๐บ)
6260, 61eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
6362sneqd 4640 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ {(0gโ€˜๐‘”)} = { 0 })
6459, 63eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)} โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))
6554, 64anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
6665ralbidv 3177 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
6748, 66anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)})) โ†” (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
6867abbidv 2801 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} = {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))})
6968opeliunxp2 5838 . . 3 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))}))
7034, 46, 693bitri 296 . 2 (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))}))
71 3anass 1095 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
7233, 70, 713bitr4g 313 1 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709  โˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  [wsbc 3777   โˆ– cdif 3945   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โŸจcop 4634  โˆช cuni 4908  โˆช ciun 4997   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   โ€œ cima 5679  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Xcixp 8890   finSupp cfsupp 9360  0gc0g 17384   ฮฃg cgsu 17385  mrClscmrc 17526  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  Cntzccntz 19178   DProd cdprd 19862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-ixp 8891  df-dprd 19864
This theorem is referenced by:  dmdprdd  19868  dprdgrp  19874  dprdf  19875  dprdcntz  19877  dprddisj  19878  dprdres  19897  subgdmdprd  19903
  Copyright terms: Public domain W3C validator