MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprd 19868
Description: The domain of definition of the internal direct product, which states that ๐‘† is a family of subgroups that mutually commute and have trivial intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprd.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
dmdprd.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dmdprd.k ๐พ = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
Assertion
Ref Expression
dmdprd ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐บ   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‰,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   0 (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem dmdprd
Dummy variables ๐‘” โ„Ž ๐‘“ ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3493 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
21a1i 11 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
3 fex 7228 . . . . . . 7 ((๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
43expcom 415 . . . . . 6 (๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
54adantr 482 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
65adantrd 493 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ((๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†’ ๐‘† โˆˆ V))
7 df-sbc 3779 . . . . . 6 ([๐‘† / โ„Ž](โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))})
8 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ ๐‘† โˆˆ V)
9 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ โ„Ž = ๐‘†)
109dmeqd 5906 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ dom โ„Ž = dom ๐‘†)
11 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
1210, 11eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ dom โ„Ž = ๐ผ)
139, 12feq12d 6706 . . . . . . . . 9 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†” ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ)))
1412difeq1d 4122 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}))
159fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
169fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
1716fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1815, 17sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
1914, 18raleqbidv 3343 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
209, 14imaeq12d 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})) = (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))
2120unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})) = โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}))))
2315, 22ineq12d 4214 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))))
2423eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 } โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))
2519, 24anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
2612, 25raleqbidv 3343 . . . . . . . . 9 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
2713, 26anbi12d 632 . . . . . . . 8 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
2827adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โˆง โ„Ž = ๐‘†) โ†’ ((โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
298, 28sbcied 3823 . . . . . 6 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ ([๐‘† / โ„Ž](โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
307, 29bitr3id 285 . . . . 5 (((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โˆง ๐‘† โˆˆ V) โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
3130ex 414 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆˆ V โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))))
322, 6, 31pm5.21ndd 381 . . 3 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))} โ†” (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
3332anbi2d 630 . 2 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))}) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))))
34 df-br 5150 . . 3 (๐บdom DProd ๐‘† โ†” โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ dom DProd )
35 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
3635rgenw 3066 . . . . . . . . . 10 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
37 ixpexg 8916 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V โ†’ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V
3938mptrabex 7227 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
4039rnex 7903 . . . . . . 7 ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
4140rgen2w 3067 . . . . . 6 โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V
42 df-dprd 19865 . . . . . . 7 DProd = (๐‘” โˆˆ Grp, ๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} โ†ฆ ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)))
4342fmpox 8053 . . . . . 6 (โˆ€๐‘” โˆˆ Grp โˆ€๐‘  โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}ran (๐‘“ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ X๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘ (๐‘ โ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โ„Ž finSupp (0gโ€˜๐‘”)} โ†ฆ (๐‘” ฮฃg ๐‘“)) โˆˆ V โ†” DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV)
4441, 43mpbi 229 . . . . 5 DProd :โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})โŸถV
4544fdmi 6730 . . . 4 dom DProd = โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))})
4645eleq2i 2826 . . 3 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ dom DProd โ†” โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}))
47 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ (SubGrpโ€˜๐‘”) = (SubGrpโ€˜๐บ))
4847feq3d 6705 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โ†” โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ)))
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Cntzโ€˜๐‘”) = (Cntzโ€˜๐บ))
50 dmdprd.z . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
5149, 50eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Cntzโ€˜๐‘”) = ๐‘)
5251fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)))
5352sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
5453ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ))))
5547fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = ๐บ โ†’ (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)))
56 dmdprd.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
5755, 56eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”)) = ๐พ)
5857fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ}))))
5958ineq2d 4213 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))))
60 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
61 dmdprd.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gโ€˜๐บ)
6260, 61eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
6362sneqd 4641 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ {(0gโ€˜๐‘”)} = { 0 })
6459, 63eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)} โ†” ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))
6554, 64anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
6665ralbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
6748, 66anbi12d 632 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)})) โ†” (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
6867abbidv 2802 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))} = {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))})
6968opeliunxp2 5839 . . 3 (โŸจ๐บ, ๐‘†โŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘” โˆˆ Grp ({๐‘”} ร— {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐‘”) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† ((Cntzโ€˜๐‘”)โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐‘”))โ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐‘”)}))}) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))}))
7034, 46, 693bitri 297 . 2 (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘† โˆˆ {โ„Ž โˆฃ (โ„Ž:dom โ„ŽโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โ„Ž(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})(โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(โ„Žโ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((โ„Žโ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (โ„Ž โ€œ (dom โ„Ž โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))}))
71 3anass 1096 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })) โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
7233, 70, 713bitr4g 314 1 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  [wsbc 3778   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โŸจcop 4635  โˆช cuni 4909  โˆช ciun 4998   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   โ€œ cima 5680  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891   finSupp cfsupp 9361  0gc0g 17385   ฮฃg cgsu 17386  mrClscmrc 17527  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179   DProd cdprd 19863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-ixp 8892  df-dprd 19865
This theorem is referenced by:  dmdprdd  19869  dprdgrp  19875  dprdf  19876  dprdcntz  19878  dprddisj  19879  dprdres  19898  subgdmdprd  19904
  Copyright terms: Public domain W3C validator