Theorem dprdssv 20089

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables 𝑥 𝑓 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
4	2, 3	eldprd 20077	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8		dprdgrp 20078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 19014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		reldmdprd 20070	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom DProd
12	11	brrelex2i 5720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
13	12	dmexd 7901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
15		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
16		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
17		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
18	3, 15, 16, 17, 6	dprdff 20085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆⟶𝐵)
19	3, 15, 16, 17, 7	dprdfcntz 20088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
20	3, 15, 16, 17	dprdffsupp 20087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g‘𝐺))
21	6, 2, 7, 10, 14, 18, 19, 20	gsumzcl 19982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
22		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
23	21, 22	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	rexlimdva 3166	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
25	24	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	5, 25	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ssriv 3942	1 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Xcixp 8896   finSupp cfsupp 9322  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  Mndcmnd 18793  Cntzccntz 19386   DProd cdprd 20066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-dprd 20068

This theorem is referenced by:  dprdfsub  20094  dprdf11  20096  dprdsubg  20097  dprdspan  20100  dprdcntz2  20111  dprd2da  20115  dmdprdsplit2lem  20118  ablfac1c  20144  ablfac1eulem  20145  ablfac1eu  20146