Theorem dprdssv 19664

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables 𝑥 𝑓 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
4	2, 3	eldprd 19652	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8		dprdgrp 19653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 18634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		reldmdprd 19645	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom DProd
12	11	brrelex2i 5655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
13	12	dmexd 7784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
14	13	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
15		simpl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
16		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
17		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
18	3, 15, 16, 17, 6	dprdff 19660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆⟶𝐵)
19	3, 15, 16, 17, 7	dprdfcntz 19663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
20	3, 15, 16, 17	dprdffsupp 19662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g‘𝐺))
21	6, 2, 7, 10, 14, 18, 19, 20	gsumzcl 19557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
22		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
23	21, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	rexlimdva 3149	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
25	24	imp 408	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	5, 25	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ssriv 3930	1 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071  {crab 3284  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  dom cdm 5600  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Xcixp 8716   finSupp cfsupp 9172  Basecbs 16957  0_gc0g 17195   Σ_g cgsu 17196  Mndcmnd 18430  Cntzccntz 18966   DProd cdprd 19641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-grp 18625  df-subg 18797  df-cntz 18968  df-dprd 19643

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19669  dprdf11  19671  dprdsubg  19672  dprdspan  19675  dprdcntz2  19686  dprd2da  19690  dmdprdsplit2lem  19693  ablfac1c  19719  ablfac1eulem  19720  ablfac1eu  19721