MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdssv 19881
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdssv (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝐡
Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables π‘₯ 𝑓 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
2 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . . . 5 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
42, 3eldprd 19869 . . . 4 (dom 𝑆 = dom 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
6 dprdssv.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
8 dprdgrp 19870 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18829 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
11 reldmdprd 19862 . . . . . . . . . 10 Rel dom DProd
1211brrelex2i 5732 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝑆 ∈ V)
1312dmexd 7893 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ dom 𝑆 ∈ V)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 ∈ V)
15 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
16 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 = dom 𝑆)
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
183, 15, 16, 17, 6dprdff 19877 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:dom π‘†βŸΆπ΅)
193, 15, 16, 17, 7dprdfcntz 19880 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
203, 15, 16, 17dprdffsupp 19879 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜πΊ))
216, 2, 7, 10, 14, 18, 19, 20gsumzcl 19774 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝐡)
22 eleq1 2822 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝐡))
2321, 22syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2423rexlimdva 3156 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2524imp 408 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
265, 25sylbi 216 . 2 (π‘₯ ∈ (𝐺 DProd 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2726ssriv 3986 1 (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝐡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Xcixp 8888   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17141  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  Mndcmnd 18622  Cntzccntz 19174   DProd cdprd 19858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-dprd 19860
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19886  dprdf11  19888  dprdsubg  19889  dprdspan  19892  dprdcntz2  19903  dprd2da  19907  dmdprdsplit2lem  19910  ablfac1c  19936  ablfac1eulem  19937  ablfac1eu  19938
  Copyright terms: Public domain W3C validator