Theorem dprdssv 19948

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables 𝑥 𝑓 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
4	2, 3	eldprd 19936	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8		dprdgrp 19937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 18878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		reldmdprd 19929	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom DProd
12	11	brrelex2i 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
13	12	dmexd 7879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
16		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
18	3, 15, 16, 17, 6	dprdff 19944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆⟶𝐵)
19	3, 15, 16, 17, 7	dprdfcntz 19947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
20	3, 15, 16, 17	dprdffsupp 19946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g‘𝐺))
21	6, 2, 7, 10, 14, 18, 19, 20	gsumzcl 19841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
22		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
23	21, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	rexlimdva 3134	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	5, 25	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ssriv 3950	1 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Xcixp 8870   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  Cntzccntz 19247   DProd cdprd 19925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-dprd 19927

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19953  dprdf11  19955  dprdsubg  19956  dprdspan  19959  dprdcntz2  19970  dprd2da  19974  dmdprdsplit2lem  19977  ablfac1c  20003  ablfac1eulem  20004  ablfac1eu  20005