MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdssv 18843
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdssv (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2793 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
2 eqid 2793 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2793 . . . . 5 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
42, 3eldprd 18831 . . . 4 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6 dprdssv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2793 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8 dprdgrp 18832 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 17856 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Mnd)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
12 reldmdprd 18824 . . . . . . . . . 10 Rel dom DProd
1312brrelex2i 5487 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
1413dmexd 7462 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
16 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
17 eqidd 2794 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
18 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
193, 16, 17, 18, 6dprdff 18839 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆𝐵)
203, 16, 17, 18, 7dprdfcntz 18842 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
213, 16, 17, 18dprdffsupp 18841 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
226, 2, 7, 11, 15, 19, 20, 21gsumzcl 18740 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
23 eleq1 2868 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
2422, 23syl5ibrcom 248 . . . . 5 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2524rexlimdva 3244 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2625imp 407 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥𝐵)
275, 26sylbi 218 . 2 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥𝐵)
2827ssriv 3888 1 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wrex 3104  {crab 3107  Vcvv 3432  wss 3854   class class class wbr 4956  dom cdm 5435  cfv 6217  (class class class)co 7007  Xcixp 8300   finSupp cfsupp 8669  Basecbs 16300  0gc0g 16530   Σg cgsu 16531  Mndcmnd 17721  Grpcgrp 17849  Cntzccntz 18174   DProd cdprd 18820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-grp 17852  df-subg 18018  df-cntz 18176  df-dprd 18822
This theorem is referenced by:  dprdfsub  18848  dprdf11  18850  dprdsubg  18851  dprdspan  18854  dprdcntz2  18865  dprd2da  18869  dmdprdsplit2lem  18872  ablfac1c  18898  ablfac1eulem  18899  ablfac1eu  18900
  Copyright terms: Public domain W3C validator