Theorem dprdssv 19959

Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprdssv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdssv	⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv

Dummy variables 𝑥 𝑓 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = dom 𝑆
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
4	2, 3	eldprd 19947	. . . 4 ⊢ (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6		dprdssv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8		dprdgrp 19948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	grpmndd 18888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Mnd)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
11		reldmdprd 19940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom DProd
12	11	brrelex2i 5689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
13	12	dmexd 7855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
15		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
16		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
18	3, 15, 16, 17, 6	dprdff 19955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆⟶𝐵)
19	3, 15, 16, 17, 7	dprdfcntz 19958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
20	3, 15, 16, 17	dprdffsupp 19957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g‘𝐺))
21	6, 2, 7, 10, 14, 18, 19, 20	gsumzcl 19852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
22		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
23	21, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
24	23	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥 ∈ 𝐵))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	5, 25	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ssriv 3939	1 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Xcixp 8847   finSupp cfsupp 9276  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  Cntzccntz 19256   DProd cdprd 19936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-dprd 19938

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19964  dprdf11  19966  dprdsubg  19967  dprdspan  19970  dprdcntz2  19981  dprd2da  19985  dmdprdsplit2lem  19988  ablfac1c  20014  ablfac1eulem  20015  ablfac1eu  20016