MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdssv 19934
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdssv (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝐡
Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables π‘₯ 𝑓 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
2 eqid 2731 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2731 . . . . 5 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
42, 3eldprd 19922 . . . 4 (dom 𝑆 = dom 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
6 dprdssv.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2731 . . . . . . 7 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
8 dprdgrp 19923 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
98grpmndd 18874 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
11 reldmdprd 19915 . . . . . . . . . 10 Rel dom DProd
1211brrelex2i 5733 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝑆 ∈ V)
1312dmexd 7900 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ dom 𝑆 ∈ V)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 ∈ V)
15 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
16 eqidd 2732 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 = dom 𝑆)
17 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
183, 15, 16, 17, 6dprdff 19930 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:dom π‘†βŸΆπ΅)
193, 15, 16, 17, 7dprdfcntz 19933 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
203, 15, 16, 17dprdffsupp 19932 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜πΊ))
216, 2, 7, 10, 14, 18, 19, 20gsumzcl 19827 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝐡)
22 eleq1 2820 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝐡))
2321, 22syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2423rexlimdva 3154 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
2524imp 406 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ dom 𝑆(π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}π‘₯ = (𝐺 Ξ£g 𝑓)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
265, 25sylbi 216 . 2 (π‘₯ ∈ (𝐺 DProd 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2726ssriv 3986 1 (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝐡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8897   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17151  0gc0g 17392   Ξ£g cgsu 17393  Mndcmnd 18665  Cntzccntz 19227   DProd cdprd 19911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-dprd 19913
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19939  dprdf11  19941  dprdsubg  19942  dprdspan  19945  dprdcntz2  19956  dprd2da  19960  dmdprdsplit2lem  19963  ablfac1c  19989  ablfac1eulem  19990  ablfac1eu  19991
  Copyright terms: Public domain W3C validator