Theorem rnmptc 40277

Description: Range of a constant function in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnmptc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
rnmptc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
rnmptc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
rnmptc	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem rnmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptc.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		fconstmpt 5411	. . 3 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	eqtr4i 2805	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})
4		rnmptc.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4, 1	fmptd 6648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐶)
6	5	ffnd 6292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
7		rnmptc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8		fconst5 6743	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 = (𝐴 × {𝐵}) ↔ ran 𝐹 = {𝐵}))
9	6, 7, 8	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝐴 × {𝐵}) ↔ ran 𝐹 = {𝐵}))
10	3, 9	mpbii 225	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∅c0 4141  {csn 4398   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  ran crn 5356   Fn wfn 6130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fo 6141  df-fv 6143

This theorem is referenced by:  limsup0  40834  limsuppnfdlem  40841  limsup10ex  40913  liminf10ex  40914  fourierdlem60  41310  fourierdlem61  41311  sge0z  41516