Theorem sge0z 46947

Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0z.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0z.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sge0z	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0z.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0z.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		0e0icopnf 13476	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5	2, 4	fmptd2f 45808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 46944	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
7		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0))
8		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
9		elpwinss 45627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	9	sselda 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		0cnd 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
12	7, 8, 10, 11	fvmptd 6987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
13	12	adantll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
14	13	sumeq2dv 15743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 0)
15		elinel2 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16		olc 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
17		sumz 15763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
19	18	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
21	20	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
22	21	rneqd 5919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
24		pwfin0 45640	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
26	23, 25	rnmptc 7195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
27	22, 26	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
28	27	supeq1d 9394	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
29		xrltso 13157	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
31		0xr 11244	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
32		supsn 9421	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
33	30, 31, 32	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
34	6, 28, 33	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563  Ⅎwnf 1806   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   Or wor 5559  ran crn 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  supcsup 9388  ℂcc 11086  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  ℤ_≥cuz 12853  [,)cico 13365  Σcsu 15727  Σ^{^}csumge0 46934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-sumge0 46935

This theorem is referenced by:  sge0ss  46984  ismeannd  47039  0ome  47101  isomenndlem  47102  ovn0lem  47137  vonct  47265