Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0z 46330
Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0z.1 𝑘𝜑
sge0z.2 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
sge0z (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0z.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0z.1 . . . 4 𝑘𝜑
3 0e0icopnf 13494 . . . . 5 0 ∈ (0[,)+∞)
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
52, 4fmptd2f 45177 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 46327 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
7 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑘𝐴 ↦ 0) = (𝑘𝐴 ↦ 0))
8 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
9 elpwinss 44988 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
109sselda 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
11 0cnd 11251 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ∈ ℂ)
127, 8, 10, 11fvmptd 7022 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1312adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1413sumeq2dv 15734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 0)
15 elinel2 4211 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16 olc 868 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
17 sumz 15754 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
2120mpteq2dva 5247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
2221rneqd 5951 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
23 eqid 2734 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
24 pwfin0 45001 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
2623, 25rnmptc 7226 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2722, 26eqtrd 2774 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
2827supeq1d 9483 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
29 xrltso 13179 . . . 4 < Or ℝ*
3029a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
31 0xr 11305 . . 3 0 ∈ ℝ*
32 supsn 9509 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3330, 31, 32sylancl 586 . 2 (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
346, 28, 333eqtrd 2778 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wne 2937  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  cmpt 5230   Or wor 5595  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  supcsup 9477  cc 11150  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cuz 12875  [,)cico 13385  Σcsu 15718  Σ^csumge0 46317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-sumge0 46318
This theorem is referenced by:  sge0ss  46367  ismeannd  46422  0ome  46484  isomenndlem  46485  ovn0lem  46520  vonct  46648
  Copyright terms: Public domain W3C validator