Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0z 45901
Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0z.1 𝑘𝜑
sge0z.2 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
sge0z (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0z.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0z.1 . . . 4 𝑘𝜑
3 0e0icopnf 13470 . . . . 5 0 ∈ (0[,)+∞)
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
52, 4fmptd2f 44747 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 45898 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
7 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑘𝐴 ↦ 0) = (𝑘𝐴 ↦ 0))
8 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
9 elpwinss 44555 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
109sselda 3976 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
11 0cnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ∈ ℂ)
127, 8, 10, 11fvmptd 7011 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1312adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1413sumeq2dv 15685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 0)
15 elinel2 4194 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16 olc 866 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
17 sumz 15704 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
2120mpteq2dva 5249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
2221rneqd 5940 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
23 eqid 2725 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
24 pwfin0 44568 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
2623, 25rnmptc 7219 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2722, 26eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
2827supeq1d 9471 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
29 xrltso 13155 . . . 4 < Or ℝ*
3029a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
31 0xr 11293 . . 3 0 ∈ ℝ*
32 supsn 9497 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3330, 31, 32sylancl 584 . 2 (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
346, 28, 333eqtrd 2769 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wne 2929  cin 3943  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  cmpt 5232   Or wor 5589  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  cc 11138  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cuz 12855  [,)cico 13361  Σcsu 15668  Σ^csumge0 45888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889
This theorem is referenced by:  sge0ss  45938  ismeannd  45993  0ome  46055  isomenndlem  46056  ovn0lem  46091  vonct  46219
  Copyright terms: Public domain W3C validator