Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0z 43057
 Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0z.1 𝑘𝜑
sge0z.2 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
sge0z (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0z.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0z.1 . . . 4 𝑘𝜑
3 0e0icopnf 12839 . . . . 5 0 ∈ (0[,)+∞)
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
52, 4fmptd2f 41914 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 43054 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
7 eqidd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑘𝐴 ↦ 0) = (𝑘𝐴 ↦ 0))
8 eqidd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
9 elpwinss 41726 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
109sselda 3915 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
11 0cnd 10626 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ∈ ℂ)
127, 8, 10, 11fvmptd 6753 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1312adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1413sumeq2dv 15055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 0)
15 elinel2 4123 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16 olc 865 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
17 sumz 15074 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
1918adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
2120mpteq2dva 5126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
2221rneqd 5773 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
23 eqid 2798 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
24 pwfin0 41739 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
2623, 25rnmptc 6947 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
2722, 26eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
2827supeq1d 8897 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
29 xrltso 12525 . . . 4 < Or ℝ*
3029a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
31 0xr 10680 . . 3 0 ∈ ℝ*
32 supsn 8923 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3330, 31, 32sylancl 589 . 2 (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
346, 28, 333eqtrd 2837 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525   ↦ cmpt 5111   Or wor 5438  ran crn 5521  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  supcsup 8891  ℂcc 10527  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667  ℤ≥cuz 12234  [,)cico 12731  Σcsu 15037  Σ^csumge0 43044 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-sumge0 43045 This theorem is referenced by:  sge0ss  43094  ismeannd  43149  0ome  43211  isomenndlem  43212  ovn0lem  43247  vonct  43375
 Copyright terms: Public domain W3C validator