Theorem sge0z 47130

Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0z.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0z.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sge0z	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0z.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0z.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		0e0icopnf 13503	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5	2, 4	fmptd2f 45991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 47127	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
7		eqidd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0))
8		eqidd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
9		elpwinss 45810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	9	sselda 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		0cnd 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
12	7, 8, 10, 11	fvmptd 7004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
13	12	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
14	13	sumeq2dv 15779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 0)
15		elinel2 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16		olc 882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
17		sumz 15799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
21	20	mpteq2dva 5209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
22	21	rneqd 5933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
23		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
24		pwfin0 45823	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
26	23, 25	rnmptc 7212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
27	22, 26	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
28	27	supeq1d 9416	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
29		xrltso 13184	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
31		0xr 11274	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
32		supsn 9443	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
33	30, 31, 32	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
34	6, 28, 33	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   ↦ cmpt 5197   Or wor 5573  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  supcsup 9410  ℂcc 11116  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261  ℤ_≥cuz 12880  [,)cico 13392  Σcsu 15763  Σ^{^}csumge0 47117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-sumge0 47118

This theorem is used by:  sge0ss  47167  ismeannd  47222  0ome  47284  isomenndlem  47285  ovn0lem  47320  vonct  47448