Theorem sge0z 41376

Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0z.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0z.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sge0z	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0z.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0z.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		0e0icopnf 12572	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)
6	2, 4, 5	fmptdf 6636	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
7	1, 6	sge0reval 41373	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
8		eqidd 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0))
9		eqid 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
11		elpwinss 40026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
13		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
14	12, 13	sseldd 3828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
15		0cnd 10349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
16	8, 10, 14, 15	fvmptd 6535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
17	16	adantll 705	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
18	17	sumeq2dv 14810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 0)
19		elinel2 4027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20		olc 899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
22		sumz 14830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
24	23	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
25	18, 24	eqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
26	25	mpteq2dva 4967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
27	26	rneqd 5585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
28		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
29		0cnd 10349	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℂ)
30		pwfin0 40041	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
32	28, 29, 31	rnmptc 40155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
33	27, 32	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
34	33	supeq1d 8621	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
35		xrltso 12260	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
37		0xr 10403	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
39		supsn 8647	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
40	36, 38, 39	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
41	7, 34, 40	3eqtrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656  Ⅎwnf 1882   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   Or wor 5262  ran crn 5343  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  supcsup 8615  ℂcc 10250  0cc0 10252  +∞cpnf 10388  ℝ^*cxr 10390   < clt 10391  ℤ_≥cuz 11968  [,)cico 12465  Σcsu 14793  Σ^{^}csumge0 41363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-sumge0 41364

This theorem is referenced by:  sge0ss  41413  ismeannd  41468  0ome  41530  isomenndlem  41531  ovn0lem  41566  vonct  41694