Theorem sge0z 46821

Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0z.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0z.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
sge0z	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0z.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0z.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		0e0icopnf 13402	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5	2, 4	fmptd2f 45682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 46818	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
7		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0))
8		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
9		elpwinss 45498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	9	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		0cnd 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
12	7, 8, 10, 11	fvmptd 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
13	12	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
14	13	sumeq2dv 15655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 0)
15		elinel2 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16		olc 869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
17		sumz 15675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (ℤ≥‘𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
21	20	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
22	21	rneqd 5887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
24		pwfin0 45511	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
26	23, 25	rnmptc 7155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
27	22, 26	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
28	27	supeq1d 9352	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
29		xrltso 13083	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
31		0xr 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
32		supsn 9379	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
33	30, 31, 32	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
34	6, 28, 33	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 0)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   Or wor 5531  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  supcsup 9346  ℂcc 11027  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  ℤ_≥cuz 12779  [,)cico 13291  Σcsu 15639  Σ^{^}csumge0 46808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46809

This theorem is referenced by:  sge0ss  46858  ismeannd  46913  0ome  46975  isomenndlem  46976  ovn0lem  47011  vonct  47139