Theorem fourierdlem60 47449

Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem60.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
fourierdlem60.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))
fourierdlem60.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n	⊢ 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d	⊢ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem60	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐻 limℂ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem60.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem60.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
5		0red 11350	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6		fourierdlem60.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	1, 2	sublt0d 11982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
8	6, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 0)
9		fourierdlem60.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11	1	rexrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	2	rexrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		elioore 13546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 11377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
19	2	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	1	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncan3d 11711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
24	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
25	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
26		0xr 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
29	25, 27, 28	ioogtlbd 46835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) < 𝑠)
30	24, 17, 15, 29	ltadd2dd 11508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
31	23, 30	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
32		0red 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
33	25, 27, 28	iooltubd 46829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
34	17, 32, 15, 33	ltadd2dd 11508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
35	19	addridd 11549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
37	34, 36	breqtrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
38	12, 14, 18, 31, 37	eliood 46783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
39	10, 38	ffvelcdmd 7117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40		ioossre 13578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42		ax-resscn 11296	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	41, 42	sstrdi 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45	44, 11, 2, 6	lptioo2cn 46928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46		fourierdlem60.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
47	9, 43, 45, 46	limcrecl 46914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
48	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
49	39, 48	resubcld 11783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50		fourierdlem60.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
51	49, 50	fmptd 7146	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁:((𝐴 − 𝐵)(,)0)⟶ℝ)
52		fourierdlem60.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
53	17, 52	fmptd 7146	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝐴 − 𝐵)(,)0)⟶ℝ)
54	50	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
56	55	dmeqd 5899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
57		reelprrecn 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
59	39	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60		dvfre 26326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
61	9, 41, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62		fourierdlem60.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
64	63	feq1d 6721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
65	61, 64	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
67	63	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
68	67	dmeqd 5899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69		fourierdlem60.domg	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
70	68, 69	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
72	38, 71	eleqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
73	66, 72	ffvelcdmd 7117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74		1red 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
75	9	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
77	70	feq2d 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
78	65, 77	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
79	78	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
80	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
81	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82		0red 11350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
83	58, 19	dvmptc 26333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84		ioossre 13578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
86		tgioo4 25179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87		iooretop 25139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
89	58, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88	dvmptres 26338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 0))
90	17	recnd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
91		recn 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
92	91	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93		1red 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
94	58	dvmptid 26332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
95	58, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88	dvmptres 26338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
96	58, 80, 32, 89, 90, 74, 95	dvmptadd 26335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97		0p1e1 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
98	97	mpteq2i 5207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)
99	96, 98	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
100	9	feqmptd 6984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)))
101	100	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹)
102	101	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
103	78	feqmptd 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
104	102, 67, 103	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
105		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
106		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
107	58, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106	dvmptco 26347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
108	73	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
110	109	mpteq2dva 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
111	107, 110	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
112		limccl 26250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
113	112, 46	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
114	113	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
115	113	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
116	58, 113	dvmptc 26333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
117	58, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88	dvmptres 26338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 0))
118	58, 59, 73, 111, 114, 27, 117	dvmptsub 26342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
119	108	subid1d 11697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
120	119	mpteq2dva 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
121	118, 120	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
122	121	dmeqd 5899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
123	73	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124		dmmptg 6262	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
125	123, 124	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
126	56, 122, 125	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
127	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
128	127	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
129	128, 95	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
130	129	dmeqd 5899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
131	74	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
132		dmmptg 6262	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
133	131, 132	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
134	130, 133	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
135		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
136		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
137		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
138	38	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
140		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
141		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
142	85, 42	sstrdi 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
143	5	recnd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144	139, 142, 19, 143	constlimc 46909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) limℂ 0))
145	142, 140, 143	idlimc 46911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) limℂ 0))
146	139, 140, 141, 80, 90, 144, 145	addlimc 46931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) limℂ 0))
147	35, 146	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) limℂ 0))
148	100	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ 𝐵))
149	46, 148	eleqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ 𝐵))
150		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
151	18, 37	ltned 11485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
152	151	neneqd 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
153	152	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
154	153	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155	150, 154	condan 830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
156	138, 76, 147, 149, 105, 155	limcco 26268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0))
157	136, 142, 113, 143	constlimc 46909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) limℂ 0))
158	135, 136, 137, 59, 114, 156, 157	sublimc 46935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0))
159	113	subidd 11696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑌) = 0)
160	50	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161	160	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0) = (𝑁 limℂ 0)
162	161	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0) = (𝑁 limℂ 0))
163	158, 159, 162	3eltr3d 2878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 limℂ 0))
164	142, 52, 143	idlimc 46911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 limℂ 0))
165		ubioo 13548	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)
166	165	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
167		mptresid 6061	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
168	127, 167	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)))
169	168	rneqd 5932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)))
170		rnresi 6091	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0)
171	169, 170	eqtr2di 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
172	166, 171	neleqtrd 2886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173		0ne1 12454	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
174	173	neii 2961	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
175		elsng 4598	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
176	5, 175	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177	174, 176	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178	129	rneqd 5932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
179		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)
180	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181		ioon0 13542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴 − 𝐵) < 0))
182	4, 180, 181	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴 − 𝐵) < 0))
183	8, 182	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅)
184	179, 183	rnmptc 7244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
185	178, 184	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186	177, 185	neleqtrd 2886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
187	79	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
188		fourierdlem60.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))
189	103	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) limℂ 𝐵))
190	188, 189	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) limℂ 𝐵))
191		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
192	153	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
193	191, 192	condan 830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
194	138, 187, 147, 190, 106, 193	limcco 26268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0))
195	108	div1d 12125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
196	54, 121	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
197	196	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
198	197	fveq1d 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
199		fvmpt4 46523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
200	28, 73, 199	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
201	198, 200	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202	129	fveq1d 6918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
203	202	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
204		fvmpt4 46523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
205	28, 74, 204	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206	203, 205	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207	201, 206	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208	195, 207	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209	208	mpteq2dva 5204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210	209	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) limℂ 0))
211	194, 210	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) limℂ 0))
212	4, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211	lhop2 26390	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) limℂ 0))
213	50	fvmpt2 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁‘𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
214	28, 49, 213	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝑁‘𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
215	52	fvmpt2 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐷‘𝑠) = 𝑠)
216	28, 28, 215	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐷‘𝑠) = 𝑠)
217	214, 216	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218	217	mpteq2dva 5204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219		fourierdlem60.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220	218, 219	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) = 𝐻)
221	220	oveq1d 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) limℂ 0) = (𝐻 limℂ 0))
222	212, 221	eleqtrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐻 limℂ 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   I cid 5552  dom cdm 5658  ran crn 5659   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   − cmin 11580   / cdiv 12013  (,)cioo 13516  TopOpenctopn 17642  topGenctg 17658  ℂ_fldccnfld 21729   lim_ℂ climc 26237   D cdv 26238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  fourierdlem74  47463