Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 45697
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11679 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
43rexrd 11301 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
5 0red 11254 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
71, 2sublt0d 11877 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
86, 7mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
111rexrd 11301 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 11301 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
152adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 elioore 13394 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 11280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
201recnd 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncan3d 11611 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2221eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
2322adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
243adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
254adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
26 0xr 11298 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
2925, 27, 28ioogtlbd 45078 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3024, 17, 15, 29ltadd2dd 11410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
3123, 30eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
32 0red 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
3325, 27, 28iooltubd 45072 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3417, 32, 15, 33ltadd2dd 11410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
3519addridd 11451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3635adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3734, 36breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
3812, 14, 18, 31, 37eliood 45026 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
3910, 38ffvelcdmd 7094 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 13425 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42 ax-resscn 11202 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4341, 42sstrdi 3989 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44 eqid 2725 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4544, 11, 2, 6lptioo2cn 45176 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
479, 43, 45, 46limcrecl 45160 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4847adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11679 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
5149, 50fmptd 7123 . . 3 (𝜑𝑁:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
52 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 7123 . . 3 (𝜑𝐷:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
5450oveq2i 7430 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
5655dmeqd 5908 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
57 reelprrecn 11237 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5939recnd 11279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60 dvfre 25944 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
619, 41, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6561, 64mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6665adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6763eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5908 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7068, 69eqtr2d 2766 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelcdmd 7094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 11252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
759ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7675recnd 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7770feq2d 6709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
7865, 77mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7978ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8019adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8119adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0red 11254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 25951 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
86 tgioo4 45101 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87 iooretop 24743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 25956 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
9017recnd 11279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
91 recn 11235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 1red 11252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 25950 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 25956 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
9658, 80, 32, 89, 90, 74, 95dvmptadd 25953 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 12372 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5254 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
1009feqmptd 6966 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
101100eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
102101oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6966 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
104102, 67, 1033eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
105 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
106 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 25965 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
10873recnd 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109108mulridd 11268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
112 limccl 25865 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
113112, 46sselid 3974 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
114113adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
115113adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11658, 113dvmptc 25951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 25956 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 27, 117dvmptsub 25960 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
119108subid1d 11597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
122121dmeqd 5908 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3135 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6248 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
125123, 124syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12656, 122, 1253eqtrd 2769 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
130129dmeqd 5908 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
13174ralrimiva 3135 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6248 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
133131, 132syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
134130, 133eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴𝐵)(,)0))
135 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
136 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
137 eqid 2725 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
13838adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
140 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
141 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
1435recnd 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144139, 142, 19, 143constlimc 45155 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) lim 0))
145142, 140, 143idlimc 45157 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) lim 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 45179 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
14735, 146eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
148100oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
14946, 148eleqtrd 2827 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
150 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
15118, 37ltned 11387 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
152151neneqd 2934 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
153152adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
154153adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155150, 154condan 816 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 25883 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 45155 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) lim 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 45183 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
159113subidd 11596 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16050eqcomi 2734 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161160oveq1i 7429 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
162161a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2839 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
164142, 52, 143idlimc 45157 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
165 ubioo 13396 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)
166165a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
167 mptresid 6055 . . . . . . 7 ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2783 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
169168rneqd 5940 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
170 rnresi 6079 . . . . 5 ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = ((𝐴𝐵)(,)0)
171169, 170eqtr2di 2782 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2847 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 12321 . . . . . 6 0 ≠ 1
174173neii 2931 . . . . 5 ¬ 0 = 1
175 elsng 4644 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1765, 175syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 326 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5940 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
179 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
18026a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 13390 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1824, 180, 181syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1838, 182mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅)
184179, 183rnmptc 7219 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2766 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2847 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 11279 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
188 fourierdlem60.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
189103oveq1d 7434 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
190188, 189eleqtrd 2827 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
191 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
192153adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
193191, 192condan 816 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 25883 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
195108div1d 12020 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
19654, 121eqtrid 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
197196adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
198197fveq1d 6898 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
199 fvmpt4 44756 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
20028, 73, 199syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2766 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202129fveq1d 6898 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
203202adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
204 fvmpt4 44756 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20528, 74, 204syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206203, 205eqtr2d 2766 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207201, 206oveq12d 7437 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208195, 207eqtr3d 2767 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209208mpteq2dva 5249 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210209oveq1d 7434 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
211194, 210eleqtrd 2827 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2124, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop2 26009 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21350fvmpt2 7015 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21428, 49, 213syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21552fvmpt2 7015 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21628, 28, 215syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7437 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2783 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
221220oveq1d 7434 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
222212, 221eleqtrd 2827 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5149  cmpt 5232   I cid 5575  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150  *cxr 11284   < clt 11285  cmin 11481   / cdiv 11908  (,)cioo 13364  TopOpenctopn 17422  topGenctg 17438  fldccnfld 21313   lim climc 25852   D cdv 25853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-mulg 19048  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22857  df-topon 22874  df-topsp 22896  df-bases 22910  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cncf 24859  df-limc 25856  df-dv 25857
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  45711
  Copyright terms: Public domain W3C validator