Theorem fourierdlem60 46880

Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem60.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
fourierdlem60.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))
fourierdlem60.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n	⊢ 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d	⊢ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem60	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐻 limℂ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem60.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem60.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
5		0red 11206	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6		fourierdlem60.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	1, 2	sublt0d 11835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
8	6, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 0)
9		fourierdlem60.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11	1	rexrd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	2	rexrd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		elioore 13397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
17	16	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
19	2	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	1	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncan3d 11567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
23	22	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
24	3	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
25	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
26		0xr 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
29	25, 27, 28	ioogtlbd 46266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) < 𝑠)
30	24, 17, 15, 29	ltadd2dd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
31	23, 30	eqbrtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
32		0red 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
33	25, 27, 28	iooltubd 46260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
34	17, 32, 15, 33	ltadd2dd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
35	19	addridd 11405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
36	35	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
37	34, 36	breqtrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
38	12, 14, 18, 31, 37	eliood 46214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
39	10, 38	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40		ioossre 13429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42		ax-resscn 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	41, 42	sstrdi 3949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45	44, 11, 2, 6	lptioo2cn 46359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46		fourierdlem60.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
47	9, 43, 45, 46	limcrecl 46345	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
48	47	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
49	39, 48	resubcld 11637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50		fourierdlem60.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
51	49, 50	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁:((𝐴 − 𝐵)(,)0)⟶ℝ)
52		fourierdlem60.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
53	17, 52	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝐴 − 𝐵)(,)0)⟶ℝ)
54	50	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
56	55	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
57		reelprrecn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
59	39	recnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60		dvfre 26110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
61	9, 41, 60	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62		fourierdlem60.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
64	63	feq1d 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
65	61, 64	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
66	65	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
67	63	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
68	67	dmeqd 5895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69		fourierdlem60.domg	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
70	68, 69	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
71	70	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
72	38, 71	eleqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
73	66, 72	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74		1red 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
75	9	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
77	70	feq2d 6689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
78	65, 77	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
79	78	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
80	19	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
81	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82		0red 11206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
83	58, 19	dvmptc 26117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84		ioossre 13429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
86		tgioo4 24962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87		iooretop 24922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
89	58, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88	dvmptres 26122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 0))
90	17	recnd 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
91		recn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
92	91	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93		1red 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
94	58	dvmptid 26116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
95	58, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88	dvmptres 26122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
96	58, 80, 32, 89, 90, 74, 95	dvmptadd 26119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97		0p1e1 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
98	97	mpteq2i 5207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)
99	96, 98	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
100	9	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)))
101	100	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹)
102	101	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
103	78	feqmptd 6949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
104	102, 67, 103	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
105		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
106		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
107	58, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106	dvmptco 26131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
108	73	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109	108	mulridd 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
110	109	mpteq2dva 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
111	107, 110	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
112		limccl 26034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
113	112, 46	sselid 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
114	113	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
115	113	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
116	58, 113	dvmptc 26117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
117	58, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88	dvmptres 26122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 0))
118	58, 59, 73, 111, 114, 27, 117	dvmptsub 26126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
119	108	subid1d 11553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
120	119	mpteq2dva 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
121	118, 120	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
122	121	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
123	73	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124		dmmptg 6243	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
125	123, 124	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
126	56, 122, 125	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
127	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
128	127	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
129	128, 95	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
130	129	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
131	74	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
132		dmmptg 6243	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
133	131, 132	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
134	130, 133	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
135		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
136		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
137		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
138	38	adantrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
140		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
141		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
142	85, 42	sstrdi 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
143	5	recnd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144	139, 142, 19, 143	constlimc 46340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) limℂ 0))
145	142, 140, 143	idlimc 46342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) limℂ 0))
146	139, 140, 141, 80, 90, 144, 145	addlimc 46362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) limℂ 0))
147	35, 146	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) limℂ 0))
148	100	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ 𝐵))
149	46, 148	eleqtrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ 𝐵))
150		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
151	18, 37	ltned 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
152	151	neneqd 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
153	152	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
154	153	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155	150, 154	condan 829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
156	138, 76, 147, 149, 105, 155	limcco 26052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0))
157	136, 142, 113, 143	constlimc 46340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) limℂ 0))
158	135, 136, 137, 59, 114, 156, 157	sublimc 46366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0))
159	113	subidd 11552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑌) = 0)
160	50	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161	160	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0) = (𝑁 limℂ 0)
162	161	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0) = (𝑁 limℂ 0))
163	158, 159, 162	3eltr3d 2877	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 limℂ 0))
164	142, 52, 143	idlimc 46342	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 limℂ 0))
165		ubioo 13399	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)
166	165	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
167		mptresid 6053	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
168	127, 167	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)))
169	168	rneqd 5928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)))
170		rnresi 6077	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0)
171	169, 170	eqtr2di 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
172	166, 171	neleqtrd 2885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173		0ne1 12307	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
174	173	neii 2960	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
175		elsng 4603	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
176	5, 175	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177	174, 176	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178	129	rneqd 5928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
179		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)
180	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181		ioon0 13393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴 − 𝐵) < 0))
182	4, 180, 181	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴 − 𝐵) < 0))
183	8, 182	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅)
184	179, 183	rnmptc 7205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
185	178, 184	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186	177, 185	neleqtrd 2885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
187	79	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
188		fourierdlem60.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))
189	103	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) limℂ 𝐵))
190	188, 189	eleqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) limℂ 𝐵))
191		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
192	153	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
193	191, 192	condan 829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
194	138, 187, 147, 190, 106, 193	limcco 26052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0))
195	108	div1d 11978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
196	54, 121	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
197	196	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
198	197	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
199		fvmpt4 45953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
200	28, 73, 199	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
201	198, 200	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202	129	fveq1d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
203	202	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
204		fvmpt4 45953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
205	28, 74, 204	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206	203, 205	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207	201, 206	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208	195, 207	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209	208	mpteq2dva 5204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210	209	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) limℂ 0))
211	194, 210	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) limℂ 0))
212	4, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211	lhop2 26174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) limℂ 0))
213	50	fvmpt2 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁‘𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
214	28, 49, 213	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝑁‘𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
215	52	fvmpt2 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐷‘𝑠) = 𝑠)
216	28, 28, 215	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐷‘𝑠) = 𝑠)
217	214, 216	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218	217	mpteq2dva 5204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219		fourierdlem60.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220	218, 219	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) = 𝐻)
221	220	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) limℂ 0) = (𝐻 limℂ 0))
222	212, 221	eleqtrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐻 limℂ 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5555  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   − cmin 11436   / cdiv 11866  (,)cioo 13367  TopOpenctopn 17469  topGenctg 17485  ℂ_fldccnfld 21522   lim_ℂ climc 26021   D cdv 26022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  46894