Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 43957
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11483 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
43rexrd 11105 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
5 0red 11058 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
71, 2sublt0d 11681 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
86, 7mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
111rexrd 11105 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 11105 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
152adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 elioore 13189 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 11084 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 11083 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
201recnd 11083 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncan3d 11415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2221eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
243adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
254adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
26 0xr 11102 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
2925, 27, 28ioogtlbd 43338 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3024, 17, 15, 29ltadd2dd 11214 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
3123, 30eqbrtrd 5109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
32 0red 11058 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
3325, 27, 28iooltubd 43332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3417, 32, 15, 33ltadd2dd 11214 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
3519addid1d 11255 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3734, 36breqtrd 5113 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
3812, 14, 18, 31, 37eliood 43286 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
3910, 38ffvelcdmd 7002 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 13220 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42 ax-resscn 11008 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4341, 42sstrdi 3943 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4544, 11, 2, 6lptioo2cn 43436 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
479, 43, 45, 46limcrecl 43420 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4847adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11483 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
5149, 50fmptd 7028 . . 3 (𝜑𝑁:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
52 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 7028 . . 3 (𝜑𝐷:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
5450oveq2i 7328 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
5655dmeqd 5835 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
57 reelprrecn 11043 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5939recnd 11083 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60 dvfre 25198 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
619, 41, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6623 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6561, 64mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6665adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6763eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7068, 69eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelcdmd 7002 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 11056 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
759ffvelcdmda 7001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7675recnd 11083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7770feq2d 6624 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
7865, 77mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7978ffvelcdmda 7001 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8019adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8119adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0red 11058 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 25205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 13220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
86 tgioo4 43361 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87 iooretop 24012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 25210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
9017recnd 11083 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
91 recn 11041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 1red 11056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 25204 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 25210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
9658, 80, 32, 89, 90, 74, 95dvmptadd 25207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 12175 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5192 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
1009feqmptd 6877 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
101100eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
102101oveq2d 7333 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6877 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
104102, 67, 1033eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
105 fveq2 6812 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
106 fveq2 6812 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 25219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
10873recnd 11083 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109108mulid1d 11072 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5187 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
112 limccl 25122 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
113112, 46sselid 3929 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
114113adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
115113adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11658, 113dvmptc 25205 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 25210 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 27, 117dvmptsub 25214 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
119108subid1d 11401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5187 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
122121dmeqd 5835 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6168 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
125123, 124syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12656, 122, 1253eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7333 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
130129dmeqd 5835 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
13174ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6168 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
133131, 132syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
134130, 133eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴𝐵)(,)0))
135 eqid 2737 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
136 eqid 2737 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
137 eqid 2737 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
13838adantrr 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
140 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
141 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3943 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
1435recnd 11083 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144139, 142, 19, 143constlimc 43415 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) lim 0))
145142, 140, 143idlimc 43417 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) lim 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 43439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
14735, 146eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
148100oveq1d 7332 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
14946, 148eleqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
150 simplrr 775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
15118, 37ltned 11191 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
152151neneqd 2946 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
153152adantrr 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
154153adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155150, 154condan 815 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 25140 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 43415 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) lim 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 43443 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
159113subidd 11400 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16050eqcomi 2746 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161160oveq1i 7327 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
162161a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2852 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
164142, 52, 143idlimc 43417 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
165 ubioo 13191 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)
166165a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
167 mptresid 5978 . . . . . . 7 ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
169168rneqd 5867 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
170 rnresi 6001 . . . . 5 ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = ((𝐴𝐵)(,)0)
171169, 170eqtr2di 2794 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 12124 . . . . . 6 0 ≠ 1
174173neii 2943 . . . . 5 ¬ 0 = 1
175 elsng 4585 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1765, 175syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 326 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5867 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
179 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
18026a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 13185 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1824, 180, 181syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1838, 182mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅)
184179, 183rnmptc 7122 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2778 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 11083 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
188 fourierdlem60.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
189103oveq1d 7332 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
190188, 189eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
191 simplrr 775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
192153adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
193191, 192condan 815 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 25140 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
195108div1d 11823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
19654, 121eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
197196adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
198197fveq1d 6814 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
199 fvmpt4 43024 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
20028, 73, 199syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202129fveq1d 6814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
203202adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
204 fvmpt4 43024 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20528, 74, 204syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206203, 205eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207201, 206oveq12d 7335 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208195, 207eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209208mpteq2dva 5187 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210209oveq1d 7332 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
211194, 210eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2124, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop2 25262 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21350fvmpt2 6926 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21428, 49, 213syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21552fvmpt2 6926 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21628, 28, 215syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7335 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5187 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2795 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
221220oveq1d 7332 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
222212, 221eleqtrd 2840 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wss 3897  c0 4267  {csn 4571  {cpr 4573   class class class wbr 5087  cmpt 5170   I cid 5506  dom cdm 5608  ran crn 5609  cres 5610  wf 6462  cfv 6466  (class class class)co 7317  cc 10949  cr 10950  0cc0 10951  1c1 10952   + caddc 10954   · cmul 10956  *cxr 11088   < clt 11089  cmin 11285   / cdiv 11712  (,)cioo 13159  TopOpenctopn 17209  topGenctg 17225  fldccnfld 20680   lim climc 25109   D cdv 25110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ioc 13164  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-seq 13802  df-exp 13863  df-hash 14125  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-rest 17210  df-topn 17211  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-topgen 17231  df-pt 17232  df-prds 17235  df-xrs 17290  df-qtop 17295  df-imas 17296  df-xps 17298  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-mulg 18777  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-fbas 20677  df-fg 20678  df-cnfld 20681  df-top 22126  df-topon 22143  df-topsp 22165  df-bases 22179  df-cld 22253  df-ntr 22254  df-cls 22255  df-nei 22332  df-lp 22370  df-perf 22371  df-cn 22461  df-cnp 22462  df-haus 22549  df-cmp 22621  df-tx 22796  df-hmeo 22989  df-fil 23080  df-fm 23172  df-flim 23173  df-flf 23174  df-xms 23556  df-ms 23557  df-tms 23558  df-cncf 24124  df-limc 25113  df-dv 25114
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  43971
  Copyright terms: Public domain W3C validator