Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 41888
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 10869 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
43rexrd 10490 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
5 0red 10443 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
71, 2sublt0d 11067 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
86, 7mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
111rexrd 10490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 10490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
152adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 elioore 12584 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
201recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncan3d 10801 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2221eqcomd 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
2322adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
243adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
254adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
26 0xr 10487 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
29 ioogtlb 41207 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3025, 27, 28, 29syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3124, 17, 15, 30ltadd2dd 10599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
3223, 31eqbrtrd 4951 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
33 0red 10443 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
34 iooltub 41223 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3525, 27, 28, 34syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3617, 33, 15, 35ltadd2dd 10599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
3719addid1d 10640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3837adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3936, 38breqtrd 4955 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
4012, 14, 18, 32, 39eliood 41210 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6677 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
42 ioossre 12614 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
44 ax-resscn 10392 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44syl6ss 3870 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
46 eqid 2778 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4746, 11, 2, 6lptioo2cn 41363 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
48 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
499, 45, 47, 48limcrecl 41347 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5049adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
5141, 50resubcld 10869 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
52 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
5351, 52fmptd 6701 . . 3 (𝜑𝑁:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
54 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
5517, 54fmptd 6701 . . 3 (𝜑𝐷:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
5652oveq2i 6987 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
5857dmeqd 5624 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
59 reelprrecn 10427 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6141recnd 10468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
62 dvfre 24251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
639, 43, 62syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
64 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6665feq1d 6329 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6763, 66mpbird 249 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6867adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6965eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
7069dmeqd 5624 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
71 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7270, 71eqtr2d 2815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7372adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7440, 73eleqtrd 2868 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7568, 74ffvelrnd 6677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
76 1red 10440 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
779ffvelrnda 6676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877recnd 10468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7972feq2d 6330 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
8067, 79mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8180ffvelrnda 6676 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8219adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8319adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
84 0red 10443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8560, 19dvmptc 24258 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
86 ioossre 12614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
8846tgioo2 23114 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iooretop 23077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 24263 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
9217recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 recn 10425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9493adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
95 1red 10440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9660dvmptid 24257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 24263 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
9860, 82, 33, 91, 92, 76, 97dvmptadd 24260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
99 0p1e1 11569 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
10099mpteq2i 5019 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
10198, 100syl6eq 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
1029feqmptd 6562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
103102eqcomd 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
104103oveq2d 6992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10580feqmptd 6562 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
106104, 69, 1053eqtrd 2818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
107 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
108 fveq2 6499 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 24272 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
11075recnd 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
111110mulid1d 10457 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
112111mpteq2dva 5022 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
113109, 112eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
114 limccl 24176 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
115114, 48sseldi 3856 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
116115adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
117115adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11860, 115dvmptc 24258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 24263 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
12060, 61, 75, 113, 116, 27, 119dvmptsub 24267 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
121110subid1d 10787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
122121mpteq2dva 5022 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
123120, 122eqtrd 2814 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
124123dmeqd 5624 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
12575ralrimiva 3132 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
126 dmmptg 5935 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
127125, 126syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12858, 124, 1273eqtrd 2818 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12954a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
130129oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
131130, 97eqtrd 2814 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
132131dmeqd 5624 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
13376ralrimiva 3132 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
134 dmmptg 5935 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
135133, 134syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
136132, 135eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴𝐵)(,)0))
137 eqid 2778 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
138 eqid 2778 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
139 eqid 2778 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
14040adantrr 704 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
141 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
142 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
143 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
14487, 44syl6ss 3870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
1455recnd 10468 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
146141, 144, 19, 145constlimc 41342 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) lim 0))
147144, 142, 145idlimc 41344 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) lim 0))
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 41366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
14937, 148eqeltrrd 2867 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
150102oveq1d 6991 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
15148, 150eleqtrd 2868 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
152 simplrr 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
15318, 39ltned 10576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
154153neneqd 2972 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155154adantrr 704 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
156155adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
157152, 156condan 805 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 24194 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
159138, 144, 115, 145constlimc 41342 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) lim 0))
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 41370 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
161115subidd 10786 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16252eqcomi 2787 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
163162oveq1i 6986 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
164163a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
165160, 161, 1643eltr3d 2880 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
166144, 54, 145idlimc 41344 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
167 ubioo 12586 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)
168167a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
169 mptresid 5762 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0))
170129, 169syl6eq 2830 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
171170rneqd 5651 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
172 rnresi 5783 . . . . 5 ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = ((𝐴𝐵)(,)0)
173171, 172syl6req 2831 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
174168, 173neleqtrd 2887 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
175 0ne1 11511 . . . . . 6 0 ≠ 1
176175neii 2969 . . . . 5 ¬ 0 = 1
177 elsng 4455 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1785, 177syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
179176, 178mtbiri 319 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
180131rneqd 5651 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
181 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
18226a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
183 ioon0 12580 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1844, 182, 183syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1858, 184mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅)
186181, 76, 185rnmptc 6796 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
187180, 186eqtr2d 2815 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
188179, 187neleqtrd 2887 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18981recnd 10468 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
190 fourierdlem60.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
191105oveq1d 6991 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
192190, 191eleqtrd 2868 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
193 simplrr 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
194155adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
195193, 194condan 805 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 24194 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
197110div1d 11209 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
19856, 123syl5eq 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
199198adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
200199fveq1d 6501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
201 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
202201fvmpt2 6605 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
20328, 75, 202syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
204200, 203eqtr2d 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
205131fveq1d 6501 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
206205adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
207181fvmpt2 6605 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20828, 76, 207syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
209206, 208eqtr2d 2815 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
210204, 209oveq12d 6994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
211197, 210eqtr3d 2816 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
212211mpteq2dva 5022 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
213212oveq1d 6991 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
214196, 213eleqtrd 2868 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2154, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop2 24315 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21652fvmpt2 6605 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21728, 51, 216syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21854fvmpt2 6605 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21928, 28, 218syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
220217, 219oveq12d 6994 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221220mpteq2dva 5022 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
222 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
223221, 222syl6eqr 2832 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
224223oveq1d 6991 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
225215, 224eleqtrd 2868 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wss 3829  c0 4178  {csn 4441  {cpr 4443   class class class wbr 4929  cmpt 5008   I cid 5311  dom cdm 5407  ran crn 5408  cres 5409  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  *cxr 10473   < clt 10474  cmin 10670   / cdiv 11098  (,)cioo 12554  TopOpenctopn 16551  topGenctg 16567  fldccnfld 20247   lim climc 24163   D cdv 24164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  41902
  Copyright terms: Public domain W3C validator