Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 45477
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem60.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
fourierdlem60.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem60.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐻 limβ„‚ 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11664 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
43rexrd 11286 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ*)
5 0red 11239 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
71, 2sublt0d 11862 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐡))
86, 7mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
109adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
111rexrd 11286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 11286 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
152adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 elioore 13378 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 11265 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
201recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2119, 20pncan3d 11596 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = 𝐴)
2221eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐴 = (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
243adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
254adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ*)
26 0xr 11283 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
2925, 27, 28ioogtlbd 44858 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 𝑠)
3024, 17, 15, 29ltadd2dd 11395 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) < (𝐡 + 𝑠))
3123, 30eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐴 < (𝐡 + 𝑠))
32 0red 11239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3325, 27, 28iooltubd 44852 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 < 0)
3417, 32, 15, 33ltadd2dd 11395 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) < (𝐡 + 0))
3519addridd 11436 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 0) = 𝐡)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 0) = 𝐡)
3734, 36breqtrd 5168 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) < 𝐡)
3812, 14, 18, 31, 37eliood 44806 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐡))
3910, 38ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 13409 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
42 ax-resscn 11187 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
4341, 42sstrdi 3990 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
44 eqid 2727 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4544, 11, 2, 6lptioo2cn 44956 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
46 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
479, 43, 45, 46limcrecl 44940 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11664 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ)
50 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
5149, 50fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁:((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)βŸΆβ„)
52 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷:((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)βŸΆβ„)
5450oveq2i 7425 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)))
5554a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))))
5655dmeqd 5902 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))))
57 reelprrecn 11222 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
5939recnd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ β„‚)
60 dvfre 25870 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
619, 41, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
62 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6701 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„))
6561, 64mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
6665adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
6763eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5902 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐡))
7068, 69eqtr2d 2768 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2830 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 11237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 1 ∈ ℝ)
759ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7675recnd 11264 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7770feq2d 6702 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„))
7865, 77mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
7978ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8119adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82 0red 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 25877 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐡)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 13409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) βŠ† ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) βŠ† ℝ)
86 tgioo4 44881 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
87 iooretop 24669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 25882 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 0))
9017recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
91 recn 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
93 1red 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 25876 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 25882 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
9658, 80, 32, 89, 90, 74, 95dvmptadd 25879 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 12356 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5247 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
1009feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
101100eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐹)
102101oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
104102, 67, 1033eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
105 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
106 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 + 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 25891 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) Β· 1)))
10873recnd 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ β„‚)
109108mulridd 11253 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) Β· 1) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) Β· 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
112 limccl 25791 . . . . . . . . 9 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
113112, 46sselid 3976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
114113adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
115113adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
11658, 113dvmptc 25877 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 25882 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 27, 117dvmptsub 25886 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ 0)))
119108subid1d 11582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
122121dmeqd 5902 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)(πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6240 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)(πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
125123, 124syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
12656, 122, 1253eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7430 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
130129dmeqd 5902 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
13174ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6240 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)1 ∈ ℝ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
133131, 132syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
134130, 133eqtrd 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
135 eqid 2727 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
136 eqid 2727 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ)
137 eqid 2727 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
13838adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) β‰  𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐡))
139 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡)
140 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
141 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3990 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) βŠ† β„‚)
1435recnd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
144139, 142, 19, 143constlimc 44935 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡) limβ„‚ 0))
145142, 140, 143idlimc 44937 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠) limβ„‚ 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 44959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠)) limβ„‚ 0))
14735, 146eqeltrrd 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠)) limβ„‚ 0))
148100oveq1d 7429 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
14946, 148eleqtrd 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
150 simplrr 777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = π‘Œ) β†’ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
15118, 37ltned 11372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) β‰  𝐡)
152151neneqd 2940 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
153152adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
154153adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = π‘Œ) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
155150, 154condan 817 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = π‘Œ)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 25809 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠))) limβ„‚ 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 44935 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ) limβ„‚ 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 44963 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0))
159113subidd 11581 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ π‘Œ) = 0)
16050eqcomi 2736 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = 𝑁
161160oveq1i 7424 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0) = (𝑁 limβ„‚ 0)
162161a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0) = (𝑁 limβ„‚ 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑁 limβ„‚ 0))
164142, 52, 143idlimc 44937 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐷 limβ„‚ 0))
165 ubioo 13380 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)
166165a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
167 mptresid 6048 . . . . . . 7 ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)))
169168rneqd 5934 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 = ran ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)))
170 rnresi 6072 . . . . 5 ran ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)
171169, 170eqtr2di 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2850 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 12305 . . . . . 6 0 β‰  1
174173neii 2937 . . . . 5 Β¬ 0 = 1
175 elsng 4638 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1765, 175syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 327 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5934 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
179 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)
18026a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 13374 . . . . . . . 8 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β‰  βˆ… ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0))
1824, 180, 181syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β‰  βˆ… ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0))
1838, 182mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β‰  βˆ…)
184179, 183rnmptc 7213 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2850 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
188 fourierdlem60.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
189103oveq1d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
190188, 189eleqtrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
191 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = 𝐸) β†’ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
192153adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = 𝐸) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
193191, 192condan 817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 25809 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) limβ„‚ 0))
195108div1d 12004 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) / 1) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
19654, 121eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
197196adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
198197fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))β€˜π‘ ))
199 fvmpt4 44536 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))β€˜π‘ ) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
20028, 73, 199syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))β€˜π‘ ) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ))
202129fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ))
203202adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ))
204 fvmpt4 44536 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ) = 1)
20528, 74, 204syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ) = 1)
206203, 205eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 1 = ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))
207201, 206oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ )))
208195, 207eqtr3d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ )))
209208mpteq2dva 5242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))))
210209oveq1d 7429 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) limβ„‚ 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
211194, 210eleqtrd 2830 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
2124, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop2 25935 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
21350fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
21428, 49, 213syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
21552fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (π·β€˜π‘ ) = 𝑠)
21628, 28, 215syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (π·β€˜π‘ ) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7432 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ )) = (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
219 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) = 𝐻)
221220oveq1d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0) = (𝐻 limβ„‚ 0))
222212, 221eleqtrd 2830 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐻 limβ„‚ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„*cxr 11269   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  (,)cioo 13348  TopOpenctopn 17394  topGenctg 17410  β„‚fldccnfld 21266   limβ„‚ climc 25778   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  45491
  Copyright terms: Public domain W3C validator