Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 44493
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem60.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
fourierdlem60.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem60.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐻 limβ„‚ 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
43rexrd 11210 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ*)
5 0red 11163 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
71, 2sublt0d 11786 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐡))
86, 7mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
109adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
111rexrd 11210 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 11210 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
152adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
16 elioore 13300 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 11189 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
201recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2119, 20pncan3d 11520 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = 𝐴)
2221eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
2322adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐴 = (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
243adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
254adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ*)
26 0xr 11207 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
2925, 27, 28ioogtlbd 43874 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 𝑠)
3024, 17, 15, 29ltadd2dd 11319 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + (𝐴 βˆ’ 𝐡)) < (𝐡 + 𝑠))
3123, 30eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐴 < (𝐡 + 𝑠))
32 0red 11163 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3325, 27, 28iooltubd 43868 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 < 0)
3417, 32, 15, 33ltadd2dd 11319 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) < (𝐡 + 0))
3519addid1d 11360 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 0) = 𝐡)
3635adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 0) = 𝐡)
3734, 36breqtrd 5132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) < 𝐡)
3812, 14, 18, 31, 37eliood 43822 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐡))
3910, 38ffvelcdmd 7037 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 13331 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
42 ax-resscn 11113 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
4341, 42sstrdi 3957 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
44 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4544, 11, 2, 6lptioo2cn 43972 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
46 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
479, 43, 45, 46limcrecl 43956 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4847adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ)
50 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
5149, 50fmptd 7063 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁:((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)βŸΆβ„)
52 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 7063 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷:((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)βŸΆβ„)
5450oveq2i 7369 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)))
5554a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))))
5655dmeqd 5862 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))))
57 reelprrecn 11148 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
5939recnd 11188 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ β„‚)
60 dvfre 25331 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
619, 41, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
62 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6654 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„))
6561, 64mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
6665adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
6763eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5862 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐡))
7068, 69eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 11161 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 1 ∈ ℝ)
759ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7675recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7770feq2d 6655 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„))
7865, 77mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
7978ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8019adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8119adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82 0red 11163 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 25338 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐡)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 13331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) βŠ† ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) βŠ† ℝ)
86 tgioo4 43897 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
87 iooretop 24145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 25343 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 0))
9017recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
91 recn 11146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
93 1red 11161 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 25337 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 25343 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
9658, 80, 32, 89, 90, 74, 95dvmptadd 25340 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5211 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
1009feqmptd 6911 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
101100eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐹)
102101oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6911 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
104102, 67, 1033eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
105 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
106 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐡 + 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 25352 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) Β· 1)))
10873recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ β„‚)
109108mulid1d 11177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) Β· 1) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5206 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) Β· 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
112 limccl 25255 . . . . . . . . 9 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
113112, 46sselid 3943 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
114113adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
115113adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
11658, 113dvmptc 25338 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 25343 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 27, 117dvmptsub 25347 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ 0)))
119108subid1d 11506 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
122121dmeqd 5862 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)(πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6195 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)(πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
125123, 124syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
12656, 122, 1253eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
130129dmeqd 5862 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
13174ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6195 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)1 ∈ ℝ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
133131, 132syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
134130, 133eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
135 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
136 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ)
137 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
13838adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) β‰  𝐡)) β†’ (𝐡 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐡))
139 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡)
140 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
141 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3957 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) βŠ† β„‚)
1435recnd 11188 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
144139, 142, 19, 143constlimc 43951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝐡) limβ„‚ 0))
145142, 140, 143idlimc 43953 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠) limβ„‚ 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 43975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠)) limβ„‚ 0))
14735, 146eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (𝐡 + 𝑠)) limβ„‚ 0))
148100oveq1d 7373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
14946, 148eleqtrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
150 simplrr 777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = π‘Œ) β†’ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
15118, 37ltned 11296 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (𝐡 + 𝑠) β‰  𝐡)
152151neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
153152adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
154153adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = π‘Œ) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
155150, 154condan 817 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = π‘Œ)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 25273 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠))) limβ„‚ 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 43951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ π‘Œ) limβ„‚ 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 43979 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0))
159113subidd 11505 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ π‘Œ) = 0)
16050eqcomi 2742 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = 𝑁
161160oveq1i 7368 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0) = (𝑁 limβ„‚ 0)
162161a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0) = (𝑁 limβ„‚ 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2848 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑁 limβ„‚ 0))
164142, 52, 143idlimc 43953 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐷 limβ„‚ 0))
165 ubioo 13302 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)
166165a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0))
167 mptresid 6005 . . . . . . 7 ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)))
169168rneqd 5894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 = ran ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)))
170 rnresi 6028 . . . . 5 ran ( I β†Ύ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)
171169, 170eqtr2di 2790 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2856 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 12229 . . . . . 6 0 β‰  1
174173neii 2942 . . . . 5 Β¬ 0 = 1
175 elsng 4601 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1765, 175syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 327 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1))
179 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)
18026a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 13296 . . . . . . . 8 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β‰  βˆ… ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0))
1824, 180, 181syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β‰  βˆ… ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐡) < 0))
1838, 182mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) β‰  βˆ…)
184179, 183rnmptc 7157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2856 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 11188 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
188 fourierdlem60.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐡))
189103oveq1d 7373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐡) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
190188, 189eleqtrd 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐡))
191 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = 𝐸) β†’ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
192153adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = 𝐸) β†’ Β¬ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)
193191, 192condan 817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (𝐡 + 𝑠) = 𝐡)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 25273 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) limβ„‚ 0))
195108div1d 11928 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) / 1) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
19654, 121eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
197196adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))))
198197fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))β€˜π‘ ))
199 fvmpt4 43551 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))β€˜π‘ ) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
20028, 73, 199syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))β€˜π‘ ) = (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ))
202129fveq1d 6845 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ))
203202adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ))
204 fvmpt4 43551 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ) = 1)
20528, 74, 204syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ 1)β€˜π‘ ) = 1)
206203, 205eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ 1 = ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))
207201, 206oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ )))
208195, 207eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ )))
209208mpteq2dva 5206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))))
210209oveq1d 7373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + 𝑠))) limβ„‚ 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
211194, 210eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
2124, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop2 25395 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
21350fvmpt2 6960 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
21428, 49, 213syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
21552fvmpt2 6960 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (π·β€˜π‘ ) = 𝑠)
21628, 28, 215syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ (π·β€˜π‘ ) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0)) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ )) = (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
219 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ (((πΉβ€˜(𝐡 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) = 𝐻)
221220oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ ((𝐴 βˆ’ 𝐡)(,)0) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0) = (𝐻 limβ„‚ 0))
222212, 221eleqtrd 2836 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐻 limβ„‚ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  (,)cioo 13270  TopOpenctopn 17308  topGenctg 17324  β„‚fldccnfld 20812   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  44507
  Copyright terms: Public domain W3C validator