Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 42976
 Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11075 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
43rexrd 10698 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
5 0red 10651 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
71, 2sublt0d 11273 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
86, 7mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
111rexrd 10698 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 10698 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
152adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 elioore 12776 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 10676 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
201recnd 10676 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncan3d 11007 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2221eqcomd 2804 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
2322adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
243adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
254adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
26 0xr 10695 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
2925, 27, 28ioogtlbd 42355 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3024, 17, 15, 29ltadd2dd 10806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
3123, 30eqbrtrd 5056 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
32 0red 10651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
3325, 27, 28iooltubd 42349 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3417, 32, 15, 33ltadd2dd 10806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
3519addid1d 10847 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3734, 36breqtrd 5060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
3812, 14, 18, 31, 37eliood 42303 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
3910, 38ffvelrnd 6839 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 12806 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42 ax-resscn 10601 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4341, 42sstrdi 3929 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44 eqid 2798 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4544, 11, 2, 6lptioo2cn 42455 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
479, 43, 45, 46limcrecl 42439 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4847adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11075 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
5149, 50fmptd 6865 . . 3 (𝜑𝑁:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
52 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 6865 . . 3 (𝜑𝐷:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
5450oveq2i 7156 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
5655dmeqd 5744 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
57 reelprrecn 10636 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5939recnd 10676 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60 dvfre 24595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
619, 41, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6480 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6561, 64mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6665adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6763eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7068, 69eqtr2d 2834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2892 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelrnd 6839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 10649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
759ffvelrnda 6838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7675recnd 10676 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7770feq2d 6481 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
7865, 77mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8019adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8119adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0red 10651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 24602 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 12806 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
86 tgioo4 42378 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87 iooretop 23412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 24607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
9017recnd 10676 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
91 recn 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9291adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 1red 10649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 24601 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 24607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
9658, 80, 32, 89, 90, 74, 95dvmptadd 24604 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 11765 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5126 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
1009feqmptd 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
101100eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
102101oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6718 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
104102, 67, 1033eqtrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
105 fveq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
106 fveq2 6655 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 24616 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
10873recnd 10676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109108mulid1d 10665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
112 limccl 24519 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
113112, 46sseldi 3915 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
114113adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
115113adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11658, 113dvmptc 24602 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 24607 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 27, 117dvmptsub 24611 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
119108subid1d 10993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
122121dmeqd 5744 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6068 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
125123, 124syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12656, 122, 1253eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
130129dmeqd 5744 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
13174ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6068 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
133131, 132syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
134130, 133eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴𝐵)(,)0))
135 eqid 2798 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
136 eqid 2798 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
137 eqid 2798 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
13838adantrr 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
140 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
141 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3929 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
1435recnd 10676 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144139, 142, 19, 143constlimc 42434 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) lim 0))
145142, 140, 143idlimc 42436 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) lim 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 42458 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
14735, 146eqeltrrd 2891 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
148100oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
14946, 148eleqtrd 2892 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
150 simplrr 777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
15118, 37ltned 10783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
152151neneqd 2992 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
153152adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
154153adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155150, 154condan 817 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 24537 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 42434 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) lim 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 42462 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
159113subidd 10992 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16050eqcomi 2807 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161160oveq1i 7155 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
162161a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2904 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
164142, 52, 143idlimc 42436 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
165 ubioo 12778 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)
166165a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
167 mptresid 5889 . . . . . . 7 ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2851 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
169168rneqd 5778 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
170 rnresi 5914 . . . . 5 ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = ((𝐴𝐵)(,)0)
171169, 170eqtr2di 2850 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2911 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 11714 . . . . . 6 0 ≠ 1
174173neii 2989 . . . . 5 ¬ 0 = 1
175 elsng 4542 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1765, 175syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 330 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5778 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
179 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
18026a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 12772 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1824, 180, 181syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1838, 182mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅)
184179, 183rnmptc 6956 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2834 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2911 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 10676 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
188 fourierdlem60.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
189103oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
190188, 189eleqtrd 2892 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
191 simplrr 777 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
192153adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
193191, 192condan 817 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 24537 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
195108div1d 11415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
19654, 121syl5eq 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
197196adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
198197fveq1d 6657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
199 fvmpt4 42042 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
20028, 73, 199syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202129fveq1d 6657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
203202adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
204 fvmpt4 42042 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20528, 74, 204syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206203, 205eqtr2d 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207201, 206oveq12d 7163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208195, 207eqtr3d 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209208mpteq2dva 5129 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210209oveq1d 7160 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
211194, 210eleqtrd 2892 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2124, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop2 24659 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21350fvmpt2 6766 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21428, 49, 213syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21552fvmpt2 6766 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21628, 28, 215syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7163 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5129 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2851 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
221220oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
222212, 221eleqtrd 2892 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  {csn 4528  {cpr 4530   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114   I cid 5428  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549  ℝ*cxr 10681   < clt 10682   − cmin 10877   / cdiv 11304  (,)cioo 12746  TopOpenctopn 16707  topGenctg 16723  ℂfldccnfld 20112   limℂ climc 24506   D cdv 24507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-lp 21782  df-perf 21783  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-haus 21961  df-cmp 22033  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cncf 23524  df-limc 24510  df-dv 24511 This theorem is referenced by:  fourierdlem74  42990
 Copyright terms: Public domain W3C validator