Theorem fourierdlem60 44397

Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem60.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
fourierdlem60.g	⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))
fourierdlem60.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n	⊢ 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d	⊢ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem60	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐻 limℂ 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem60.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem60.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
5		0red 11158	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6		fourierdlem60.altb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	1, 2	sublt0d 11781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
8	6, 7	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) < 0)
9		fourierdlem60.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
11	1	rexrd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
13	2	rexrd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		elioore 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
18	15, 17	readdcld 11184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
19	2	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
20	1	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	19, 20	pncan3d 11515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
24	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
25	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
26		0xr 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
29	25, 27, 28	ioogtlbd 43778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴 − 𝐵) < 𝑠)
30	24, 17, 15, 29	ltadd2dd 11314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
31	23, 30	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
32		0red 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
33	25, 27, 28	iooltubd 43772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
34	17, 32, 15, 33	ltadd2dd 11314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
35	19	addid1d 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
37	34, 36	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
38	12, 14, 18, 31, 37	eliood 43726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
39	10, 38	ffvelcdmd 7036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40		ioossre 13325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42		ax-resscn 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	41, 42	sstrdi 3956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
45	44, 11, 2, 6	lptioo2cn 43876	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46		fourierdlem60.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
47	9, 43, 45, 46	limcrecl 43860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
48	47	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
49	39, 48	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50		fourierdlem60.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
51	49, 50	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁:((𝐴 − 𝐵)(,)0)⟶ℝ)
52		fourierdlem60.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
53	17, 52	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝐴 − 𝐵)(,)0)⟶ℝ)
54	50	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
55	54	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
56	55	dmeqd 5861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
57		reelprrecn 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
59	39	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60		dvfre 25315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
61	9, 41, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62		fourierdlem60.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
64	63	feq1d 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
65	61, 64	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
66	65	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
67	63	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
68	67	dmeqd 5861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69		fourierdlem60.domg	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
70	68, 69	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
72	38, 71	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
73	66, 72	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74		1red 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
75	9	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
77	70	feq2d 6654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
78	65, 77	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
79	78	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
80	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
81	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82		0red 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
83	58, 19	dvmptc 25322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84		ioossre 13325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
86		tgioo4 43801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87		iooretop 24129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
89	58, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88	dvmptres 25327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 0))
90	17	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
91		recn 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93		1red 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
94	58	dvmptid 25321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
95	58, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88	dvmptres 25327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
96	58, 80, 32, 89, 90, 74, 95	dvmptadd 25324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
97		0p1e1 12275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
98	97	mpteq2i 5210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)
99	96, 98	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
100	9	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)))
101	100	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹)
102	101	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
103	78	feqmptd 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
104	102, 67, 103	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)))
105		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
106		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
107	58, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106	dvmptco 25336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
108	73	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109	108	mulid1d 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
110	109	mpteq2dva 5205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
111	107, 110	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
112		limccl 25239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
113	112, 46	sselid 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
114	113	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
115	113	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
116	58, 113	dvmptc 25322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
117	58, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88	dvmptres 25327	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 0))
118	58, 59, 73, 111, 114, 27, 117	dvmptsub 25331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
119	108	subid1d 11501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
120	119	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
121	118, 120	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
122	121	dmeqd 5861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
123	73	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124		dmmptg 6194	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
125	123, 124	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
126	56, 122, 125	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
127	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
128	127	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
129	128, 95	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
130	129	dmeqd 5861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
131	74	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
132		dmmptg 6194	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
133	131, 132	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
134	130, 133	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
135		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
136		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
137		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
138	38	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
140		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
141		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
142	85, 42	sstrdi 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
143	5	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144	139, 142, 19, 143	constlimc 43855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) limℂ 0))
145	142, 140, 143	idlimc 43857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) limℂ 0))
146	139, 140, 141, 80, 90, 144, 145	addlimc 43879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) limℂ 0))
147	35, 146	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) limℂ 0))
148	100	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ 𝐵))
149	46, 148	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ 𝐵))
150		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
151	18, 37	ltned 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
152	151	neneqd 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
153	152	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
154	153	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155	150, 154	condan 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
156	138, 76, 147, 149, 105, 155	limcco 25257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0))
157	136, 142, 113, 143	constlimc 43855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) limℂ 0))
158	135, 136, 137, 59, 114, 156, 157	sublimc 43883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0))
159	113	subidd 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑌) = 0)
160	50	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161	160	oveq1i 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0) = (𝑁 limℂ 0)
162	161	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) limℂ 0) = (𝑁 limℂ 0))
163	158, 159, 162	3eltr3d 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 limℂ 0))
164	142, 52, 143	idlimc 43857	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 limℂ 0))
165		ubioo 13296	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)
166	165	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0))
167		mptresid 6004	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
168	127, 167	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)))
169	168	rneqd 5893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)))
170		rnresi 6027	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) = ((𝐴 − 𝐵)(,)0)
171	169, 170	eqtr2di 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
172	166, 171	neleqtrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173		0ne1 12224	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
174	173	neii 2945	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
175		elsng 4600	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
176	5, 175	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177	174, 176	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178	129	rneqd 5893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1))
179		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)
180	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181		ioon0 13290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴 − 𝐵) < 0))
182	4, 180, 181	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴 − 𝐵) < 0))
183	8, 182	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ≠ ∅)
184	179, 183	rnmptc 7156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
185	178, 184	eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186	177, 185	neleqtrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
187	79	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
188		fourierdlem60.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐺 limℂ 𝐵))
189	103	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 limℂ 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) limℂ 𝐵))
190	188, 189	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑥)) limℂ 𝐵))
191		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
192	153	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
193	191, 192	condan 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
194	138, 187, 147, 190, 106, 193	limcco 25257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0))
195	108	div1d 11923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
196	54, 121	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
198	197	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
199		fvmpt4 43454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
200	28, 73, 199	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
201	198, 200	eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202	129	fveq1d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
203	202	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
204		fvmpt4 43454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
205	28, 74, 204	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206	203, 205	eqtr2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207	201, 206	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208	195, 207	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209	208	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210	209	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) limℂ 0))
211	194, 210	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) limℂ 0))
212	4, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211	lhop2 25379	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) limℂ 0))
213	50	fvmpt2 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁‘𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
214	28, 49, 213	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝑁‘𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
215	52	fvmpt2 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐷‘𝑠) = 𝑠)
216	28, 28, 215	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → (𝐷‘𝑠) = 𝑠)
217	214, 216	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0)) → ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218	217	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219		fourierdlem60.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220	218, 219	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) = 𝐻)
221	220	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁‘𝑠) / (𝐷‘𝑠))) limℂ 0) = (𝐻 limℂ 0))
222	212, 221	eleqtrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐻 limℂ 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5530  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   − cmin 11385   / cdiv 11812  (,)cioo 13264  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ℂ_fldccnfld 20796   lim_ℂ climc 25226   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  fourierdlem74  44411