Theorem limsup0 46441

Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
limsup0	⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5272	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15544	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5		0ima 6082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
6	5	ineq1i 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7		0in 4354	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℝ*) = ∅
8	6, 7	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
9	8	supeq1i 9410	. . . . . . 7 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10		xrsup0 13360	. . . . . . 7 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
11	9, 10	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
12	11	mpteq2i 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13		ren0 46149	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
15	12, 14	rnmptc 7209	. . . 4 ⊢ (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
16	15	mptru 1577	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
17	16	infeq1i 9442	. 2 ⊢ inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18		xrltso 13177	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
19		mnfxr 11277	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		infsn 9470	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
21	18, 19, 20	mp2an 705	. 2 ⊢ inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
22	4, 17, 21	3eqtri 2792	1 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   Or wor 5570  ran crn 5664   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  supcsup 9403  infcinf 9404  ℝcr 11110  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254  [,)cico 13385  lim supclsp 15540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-limsup 15541

This theorem is used by:  climlimsupcex  46516  liminf0  46540  liminflelimsupcex  46544