Theorem limsup0 42777

Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
limsup0	⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5175	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 14921	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5		0ima 5920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
6	5	ineq1i 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7		0in 4282	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℝ*) = ∅
8	6, 7	eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
9	8	supeq1i 8984	. . . . . . 7 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10		xrsup0 12799	. . . . . . 7 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
11	9, 10	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
12	11	mpteq2i 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13		ren0 42480	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
15	12, 14	rnmptc 6979	. . . 4 ⊢ (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
16	15	mptru 1549	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
17	16	infeq1i 9015	. 2 ⊢ inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18		xrltso 12617	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
19		mnfxr 10776	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		infsn 9042	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
21	18, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
22	4, 17, 21	3eqtri 2765	1 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  Vcvv 3398   ∩ cin 3842  ∅c0 4211  {csn 4516   ↦ cmpt 5110   Or wor 5441  ran crn 5526   “ cima 5528  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  supcsup 8977  infcinf 8978  ℝcr 10614  +∞cpnf 10750  -∞cmnf 10751  ℝ^*cxr 10752   < clt 10753  [,)cico 12823  lim supclsp 14917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-limsup 14918

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  42852  liminf0  42876  liminflelimsupcex  42880