Theorem limsup0 46140

Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
limsup0	⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15427	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5		0ima 6037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
6	5	ineq1i 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7		0in 4338	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℝ*) = ∅
8	6, 7	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
9	8	supeq1i 9353	. . . . . . 7 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10		xrsup0 13266	. . . . . . 7 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
11	9, 10	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
12	11	mpteq2i 5182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13		ren0 45848	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
15	12, 14	rnmptc 7155	. . . 4 ⊢ (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
16	15	mptru 1549	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
17	16	infeq1i 9385	. 2 ⊢ inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18		xrltso 13083	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
19		mnfxr 11193	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		infsn 9413	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
21	18, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
22	4, 17, 21	3eqtri 2764	1 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   Or wor 5531  ran crn 5625   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  supcsup 9346  infcinf 9347  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  [,)cico 13291  lim supclsp 15423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-limsup 15424

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  46215  liminf0  46239  liminflelimsupcex  46243