Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup0 45709
Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
limsup0 (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 15510 . . 3 (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
41, 3ax-mp 5 . 2 (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5 0ima 6096 . . . . . . . . . 10 (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
65ineq1i 4216 . . . . . . . . 9 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7 0in 4397 . . . . . . . . 9 (∅ ∩ ℝ*) = ∅
86, 7eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
98supeq1i 9487 . . . . . . 7 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10 xrsup0 13365 . . . . . . 7 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
119, 10eqtri 2765 . . . . . 6 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
1211mpteq2i 5247 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13 ren0 45413 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
1512, 14rnmptc 7227 . . . 4 (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
1615mptru 1547 . . 3 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
1716infeq1i 9518 . 2 inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18 xrltso 13183 . . 3 < Or ℝ*
19 mnfxr 11318 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
20 infsn 9545 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
2118, 19, 20mp2an 692 . 2 inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
224, 17, 213eqtri 2769 1 (lim sup‘∅) = -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  cmpt 5225   Or wor 5591  ran crn 5686  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  [,)cico 13389  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  45784  liminf0  45808  liminflelimsupcex  45812
  Copyright terms: Public domain W3C validator