Theorem limsup0 45938

Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
limsup0	⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5252	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15397	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5		0ima 6037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
6	5	ineq1i 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7		0in 4349	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℝ*) = ∅
8	6, 7	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
9	8	supeq1i 9350	. . . . . . 7 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10		xrsup0 13238	. . . . . . 7 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
11	9, 10	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
12	11	mpteq2i 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13		ren0 45646	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
15	12, 14	rnmptc 7153	. . . 4 ⊢ (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
16	15	mptru 1548	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
17	16	infeq1i 9382	. 2 ⊢ inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18		xrltso 13055	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
19		mnfxr 11189	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		infsn 9410	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
21	18, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
22	4, 17, 21	3eqtri 2763	1 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   Or wor 5531  ran crn 5625   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  supcsup 9343  infcinf 9344  ℝcr 11025  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166  [,)cico 13263  lim supclsp 15393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-limsup 15394

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  46013  liminf0  46037  liminflelimsupcex  46041