Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup0 41965
Description: The superior limit of the empty set (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
limsup0 (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0
StepHypRef Expression
1 0ex 5202 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2819 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 14823 . . 3 (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
41, 3ax-mp 5 . 2 (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5 0ima 5939 . . . . . . . . . 10 (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
65ineq1i 4183 . . . . . . . . 9 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7 0in 4345 . . . . . . . . 9 (∅ ∩ ℝ*) = ∅
86, 7eqtri 2842 . . . . . . . 8 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
98supeq1i 8903 . . . . . . 7 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10 xrsup0 12708 . . . . . . 7 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
119, 10eqtri 2842 . . . . . 6 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
1211mpteq2i 5149 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13 mnfxr 10690 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
15 ren0 41665 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
1615a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
1712, 14, 16rnmptc 6962 . . . 4 (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
1817mptru 1538 . . 3 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
1918infeq1i 8934 . 2 inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
20 xrltso 12526 . . 3 < Or ℝ*
21 infsn 8961 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
2220, 13, 21mp2an 690 . 2 inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
234, 19, 223eqtri 2846 1 (lim sup‘∅) = -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1531  wtru 1532  wcel 2108  wne 3014  Vcvv 3493  cin 3933  c0 4289  {csn 4559  cmpt 5137   Or wor 5466  ran crn 5549  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  infcinf 8897  cr 10528  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  [,)cico 12732  lim supclsp 14819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-limsup 14820
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  42040  liminf0  42064  liminflelimsupcex  42068
  Copyright terms: Public domain W3C validator