Theorem limsup0 46122

Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
limsup0	⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15436	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5		0ima 6043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
6	5	ineq1i 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7		0in 4337	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℝ*) = ∅
8	6, 7	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
9	8	supeq1i 9360	. . . . . . 7 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10		xrsup0 13275	. . . . . . 7 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
11	9, 10	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
12	11	mpteq2i 5181	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13		ren0 45830	. . . . . 6 ⊢ ℝ ≠ ∅
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
15	12, 14	rnmptc 7162	. . . 4 ⊢ (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
16	15	mptru 1549	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
17	16	infeq1i 9392	. 2 ⊢ inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18		xrltso 13092	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
19		mnfxr 11202	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
20		infsn 9420	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
21	18, 19, 20	mp2an 693	. 2 ⊢ inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
22	4, 17, 21	3eqtri 2763	1 ⊢ (lim sup‘∅) = -∞

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   Or wor 5538  ran crn 5632   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  supcsup 9353  infcinf 9354  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  [,)cico 13300  lim supclsp 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-limsup 15433

This theorem is referenced by:  climlimsupcex  46197  liminf0  46221  liminflelimsupcex  46225