Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup0 40564
Description: The superior limit of the empty set (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
limsup0 (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0
StepHypRef Expression
1 0ex 4950 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2765 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 14490 . . 3 (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
41, 3ax-mp 5 . 2 (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5 0ima 5664 . . . . . . . . . 10 (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
65ineq1i 3972 . . . . . . . . 9 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7 0in 4131 . . . . . . . . 9 (∅ ∩ ℝ*) = ∅
86, 7eqtri 2787 . . . . . . . 8 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
98supeq1i 8560 . . . . . . 7 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10 xrsup0 12355 . . . . . . 7 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
119, 10eqtri 2787 . . . . . 6 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
1211mpteq2i 4900 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13 mnfxr 10350 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
15 ren0 40263 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
1615a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
1712, 14, 16rnmptc 40000 . . . 4 (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
1817mptru 1660 . . 3 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
1918infeq1i 8591 . 2 inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
20 xrltso 12174 . . 3 < Or ℝ*
21 infsn 8617 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
2220, 13, 21mp2an 683 . 2 inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
234, 19, 223eqtri 2791 1 (lim sup‘∅) = -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cin 3731  c0 4079  {csn 4334  cmpt 4888   Or wor 5197  ran crn 5278  cima 5280  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  infcinf 8554  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  [,)cico 12379  lim supclsp 14486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-limsup 14487
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  40639  liminf0  40663  liminflelimsupcex  40667
  Copyright terms: Public domain W3C validator