Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup0 43235
Description: The superior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
limsup0 (lim sup‘∅) = -∞

Proof of Theorem limsup0
StepHypRef Expression
1 0ex 5231 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32limsupval 15183 . . 3 (∅ ∈ V → (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
41, 3ax-mp 5 . 2 (lim sup‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
5 0ima 5986 . . . . . . . . . 10 (∅ “ (𝑥[,)+∞)) = ∅
65ineq1i 4142 . . . . . . . . 9 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (∅ ∩ ℝ*)
7 0in 4327 . . . . . . . . 9 (∅ ∩ ℝ*) = ∅
86, 7eqtri 2766 . . . . . . . 8 ((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ∅
98supeq1i 9206 . . . . . . 7 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < )
10 xrsup0 13057 . . . . . . 7 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
119, 10eqtri 2766 . . . . . 6 sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -∞
1211mpteq2i 5179 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -∞)
13 ren0 42942 . . . . . 6 ℝ ≠ ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
1512, 14rnmptc 7082 . . . 4 (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞})
1615mptru 1546 . . 3 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = {-∞}
1716infeq1i 9237 . 2 inf(ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(((∅ “ (𝑥[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({-∞}, ℝ*, < )
18 xrltso 12875 . . 3 < Or ℝ*
19 mnfxr 11032 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
20 infsn 9264 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞)
2118, 19, 20mp2an 689 . 2 inf({-∞}, ℝ*, < ) = -∞
224, 17, 213eqtri 2770 1 (lim sup‘∅) = -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3432  cin 3886  c0 4256  {csn 4561  cmpt 5157   Or wor 5502  ran crn 5590  cima 5592  cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  infcinf 9200  cr 10870  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009  [,)cico 13081  lim supclsp 15179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-limsup 15180
This theorem is referenced by:  climlimsupcex  43310  liminf0  43334  liminflelimsupcex  43338
  Copyright terms: Public domain W3C validator