Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem61 40894
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem61.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem61.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem61.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem61.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem61.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem61.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem61.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
fourierdlem61.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem61.n 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem61.d 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10241 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 fourierdlem61.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem61.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 10658 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54rexrd 10289 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
6 fourierdlem61.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
73, 2posdifd 10814 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
86, 7mpbid 222 . . 3 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
113rexrd 10289 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 10289 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
153adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 elioore 12403 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10269 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ ℝ)
193recnd 10268 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019addid1d 10436 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2120eqcomd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐴 + 0))
2221adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 = (𝐴 + 0))
23 0red 10241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ)
24 0xr 10286 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ*)
265adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
27 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
28 ioogtlb 40231 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 10396 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 0) < (𝐴 + 𝑠))
3122, 30eqbrtrd 4808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑠))
324adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
33 iooltub 40248 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3425, 26, 27, 33syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 10396 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < (𝐴 + (𝐵𝐴)))
362recnd 10268 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3719, 36pncan3d 10595 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3837adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 4812 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < 𝐵)
4012, 14, 18, 31, 39eliood 40234 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6501 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
42 ioossre 12433 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
44 ax-resscn 10193 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44syl6ss 3764 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
46 eqid 2771 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 40389 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
499, 45, 47, 48limcrecl 40372 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5049adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5141, 50resubcld 10658 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
52 fourierdlem61.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
5351, 52fmptd 6525 . . 3 (𝜑𝑁:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
54 fourierdlem61.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
5517, 54fmptd 6525 . . 3 (𝜑𝐷:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
5652oveq2i 6802 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
5857dmeqd 5462 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
59 reelprrecn 10228 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6141recnd 10268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
62 dvfre 23927 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
639, 43, 62syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6665feq1d 6168 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6763, 66mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6867adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6965eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
7069dmeqd 5462 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7270, 71eqtr2d 2806 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7372adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7440, 73eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7568, 74ffvelrnd 6501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
76 1red 10255 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 ∈ ℝ)
779ffvelrnda 6500 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877recnd 10268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7972feq2d 6169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
8067, 79mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8180ffvelrnda 6500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8219adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8319adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 0red 10241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8560, 19dvmptc 23934 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
86 ioossre 12433 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ)
8846tgioo2 22819 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iooretop 22782 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 23939 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
9217recnd 10268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 recn 10226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9493adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
95 1red 10255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9660dvmptid 23933 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 23939 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 23936 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)))
99 0p1e1 11332 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
10099mpteq2i 4875 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
10198, 100syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
1029feqmptd 6389 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
103102eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
104103oveq2d 6807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10580feqmptd 6389 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
106104, 69, 1053eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
107 fveq2 6330 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
108 fveq2 6330 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 23948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)))
11075recnd 10268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
111110mulid1d 10257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
112111mpteq2dva 4878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
113109, 112eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
114 limccl 23852 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
115114, 48sseldi 3750 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
116115adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℂ)
117115adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11860, 115dvmptc 23934 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 23939 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 23943 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)))
121110subid1d 10581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
122121mpteq2dva 4878 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
123120, 122eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
124123dmeqd 5462 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
12575ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
126 dmmptg 5774 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
127125, 126syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12858, 124, 1273eqtrd 2809 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12954a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠))
130129oveq2d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)))
131130, 97eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
132131dmeqd 5462 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
13376ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ)
134 dmmptg 5774 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
135133, 134syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
136132, 135eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = (0(,)(𝐵𝐴)))
137 eqid 2771 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
138 eqid 2771 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)
139 eqid 2771 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
14040adantrr 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
141 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)
142 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
143 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))
14487, 44syl6ss 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℂ)
1451recnd 10268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
146141, 144, 19, 145constlimc 40367 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) lim 0))
147144, 142, 145idlimc 40369 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) lim 0))
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 40391 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
14921, 148eqeltrd 2850 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
150102oveq1d 6806 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
15148, 150eleqtrd 2852 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
152 simplrr 763 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
15315, 31gtned 10372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)
154153neneqd 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
155154adantrr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
156155adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
157152, 156condan 819 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌)
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 23870 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
159138, 144, 115, 145constlimc 40367 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) lim 0))
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 40395 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
161115subidd 10580 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16252eqcomi 2780 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
163162oveq1i 6801 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
164163a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
165160, 161, 1643eltr3d 2864 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
166144, 54, 145idlimc 40369 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
167 lbioo 12404 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))
168167a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
169 mptresid 5595 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴)))
170129, 169syl6eq 2821 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
171170rneqd 5489 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
172 rnresi 5618 . . . . 5 ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))) = (0(,)(𝐵𝐴))
173171, 172syl6req 2822 . . . 4 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) = ran 𝐷)
174168, 173neleqtrd 2871 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
175 0ne1 11288 . . . . . 6 0 ≠ 1
176175neii 2945 . . . . 5 ¬ 0 = 1
177 elsng 4330 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1781, 177syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
179176, 178mtbiri 316 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
180131rneqd 5489 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
181 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
18224a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
183 ioon0 12399 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
184182, 5, 183syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1858, 184mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅)
186181, 76, 185rnmptc 39866 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = {1})
187180, 186eqtr2d 2806 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
188179, 187neleqtrd 2871 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18981recnd 10268 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
190 fourierdlem61.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
191105oveq1d 6806 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
192190, 191eleqtrd 2852 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
193 simplrr 763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
194155adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
195193, 194condan 819 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸)
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 23870 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
197110div1d 10993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
19856, 123syl5eq 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
199198adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
200199fveq1d 6332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠))
201 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
202201fvmpt2 6431 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
20327, 75, 202syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
204200, 203eqtr2d 2806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
205131fveq1d 6332 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
206205adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
207181fvmpt2 6431 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20827, 76, 207syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
209206, 208eqtr2d 2806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
210204, 209oveq12d 6809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
211197, 210eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
212211mpteq2dva 4878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
213212oveq1d 6806 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
214196, 213eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 23990 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21652fvmpt2 6431 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21727, 51, 216syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21854fvmpt2 6431 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21927, 27, 218syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
220217, 219oveq12d 6809 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221220mpteq2dva 4878 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
222 fourierdlem61.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
223221, 222syl6eqr 2823 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
224223oveq1d 6806 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
225215, 224eleqtrd 2852 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wss 3723  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  *cxr 10273   < clt 10274  cmin 10466   / cdiv 10884  (,)cioo 12373  TopOpenctopn 16283  topGenctg 16299  fldccnfld 19954   lim climc 23839   D cdv 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  fourierdlem75  40908
  Copyright terms: Public domain W3C validator