Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem61 45182
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem61.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem61.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem61.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
fourierdlem61.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
fourierdlem61.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem61.domg (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐡))
fourierdlem61.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐴))
fourierdlem61.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
fourierdlem61.n 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
fourierdlem61.d 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐻 limβ„‚ 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11222 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2 fourierdlem61.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 fourierdlem61.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 11647 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
54rexrd 11269 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*)
6 fourierdlem61.altb . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
73, 2posdifd 11806 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
86, 7mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
109adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
113rexrd 11269 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 11269 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
153adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
16 elioore 13359 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 11248 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 𝑠) ∈ ℝ)
193recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2019addridd 11419 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 0) = 𝐴)
2120eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐴 + 0))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 = (𝐴 + 0))
23 0red 11222 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 0 ∈ ℝ)
24 0xr 11266 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 0 ∈ ℝ*)
265adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*)
27 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
2825, 26, 27ioogtlbd 44562 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 0 < 𝑠)
2923, 17, 15, 28ltadd2dd 11378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 0) < (𝐴 + 𝑠))
3022, 29eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 < (𝐴 + 𝑠))
314adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
3225, 26, 27iooltubd 44556 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝑠 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
3317, 31, 15, 32ltadd2dd 11378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 𝑠) < (𝐴 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
342recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3519, 34pncan3d 11579 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = 𝐡)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = 𝐡)
3733, 36breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 𝑠) < 𝐡)
3812, 14, 18, 30, 37eliood 44510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐡))
3910, 38ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 13390 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
42 ax-resscn 11171 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
4341, 42sstrdi 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
44 eqid 2731 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4544, 13, 3, 6lptioo1cn 44661 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
46 fourierdlem61.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐴))
479, 43, 45, 46limcrecl 44644 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11647 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ)
50 fourierdlem61.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
5149, 50fmptd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁:(0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))βŸΆβ„)
52 fourierdlem61.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷:(0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))βŸΆβ„)
5450oveq2i 7423 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)))
5554a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))))
5655dmeqd 5905 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))))
57 reelprrecn 11206 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
5939recnd 11247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ β„‚)
60 dvfre 25704 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
619, 41, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
62 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6702 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„))
6561, 64mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
6665adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
6763eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5905 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐡))
7068, 69eqtr2d 2772 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴(,)𝐡) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 11220 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 1 ∈ ℝ)
759ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7675recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7770feq2d 6703 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„))
7865, 77mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
7978ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8119adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
82 0red 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 25711 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 13390 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) βŠ† ℝ)
86 tgioo4 44585 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
87 iooretop 24503 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 25716 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 0))
9017recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
91 recn 11204 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
93 1red 11220 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 25710 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 25716 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1))
9658, 80, 23, 89, 90, 74, 95dvmptadd 25713 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5253 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1))
1009feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
101100eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐹)
102101oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6960 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
104102, 67, 1033eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
105 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐴 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
106 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐴 + 𝑠) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 25725 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) Β· 1)))
10873recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ β„‚)
109108mulridd 11236 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) Β· 1) = (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) Β· 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
112 limccl 25625 . . . . . . . . 9 (𝐹 limβ„‚ 𝐴) βŠ† β„‚
113112, 46sselid 3980 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
114113adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
115113adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
11658, 113dvmptc 25711 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 25716 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 23, 117dvmptsub 25720 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ 0)))
119108subid1d 11565 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ 0) = (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ 0)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
122121dmeqd 5905 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))(πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6241 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))(πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ β†’ dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
125123, 124syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
12656, 122, 1253eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑁) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1))
130129dmeqd 5905 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1))
13174ralrimiva 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6241 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))1 ∈ ℝ β†’ dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
133131, 132syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
134130, 133eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐷) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
135 eqid 2731 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
136 eqid 2731 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ π‘Œ) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ π‘Œ)
137 eqid 2731 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
13838adantrr 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) β‰  𝐴)) β†’ (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐡))
139 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝐴) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝐴)
140 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠)
141 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) βŠ† β„‚)
1431recnd 11247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
144139, 142, 19, 143constlimc 44639 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝐴) limβ„‚ 0))
145142, 140, 143idlimc 44641 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠) limβ„‚ 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 44663 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) limβ„‚ 0))
14721, 146eqeltrd 2832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) limβ„‚ 0))
148100oveq1d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐴) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐴))
14946, 148eleqtrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐴))
150 simplrr 775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = π‘Œ) β†’ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
15115, 30gtned 11354 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (𝐴 + 𝑠) β‰  𝐴)
152151neneqd 2944 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ Β¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
153152adantrr 714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) β†’ Β¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
154153adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = π‘Œ) β†’ Β¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
155150, 154condan 815 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = π‘Œ)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 25643 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠))) limβ„‚ 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 44639 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ π‘Œ) limβ„‚ 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 44667 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ π‘Œ) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0))
159113subidd 11564 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ π‘Œ) = 0)
16050eqcomi 2740 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) = 𝑁
161160oveq1i 7422 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0) = (𝑁 limβ„‚ 0)
162161a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ)) limβ„‚ 0) = (𝑁 limβ„‚ 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2846 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝑁 limβ„‚ 0))
164142, 52, 143idlimc 44641 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (𝐷 limβ„‚ 0))
165 lbioo 13360 . . . . 5 Β¬ 0 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))
166165a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)))
167 mptresid 6050 . . . . . . 7 ( I β†Ύ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ( I β†Ύ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))))
169168rneqd 5937 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐷 = ran ( I β†Ύ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))))
170 rnresi 6074 . . . . 5 ran ( I β†Ύ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) = (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))
171169, 170eqtr2di 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2854 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 12288 . . . . . 6 0 β‰  1
174173neii 2941 . . . . 5 Β¬ 0 = 1
175 elsng 4642 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1761, 175syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 327 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5937 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1))
179 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1)
18024a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 13355 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ*) β†’ ((0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ… ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
182180, 5, 181syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ… ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
1838, 182mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) β‰  βˆ…)
184179, 183rnmptc 7210 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2854 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
188 fourierdlem61.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐴))
189103oveq1d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 limβ„‚ 𝐴) = ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐴))
190188, 189eleqtrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) limβ„‚ 𝐴))
191 simplrr 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) β†’ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
192153adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ Β¬ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) β†’ Β¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
193191, 192condan 815 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 25643 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))) limβ„‚ 0))
195108div1d 11987 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
19654, 121eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
197196adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))))
198197fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))β€˜π‘ ))
199 fvmpt4 44240 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))β€˜π‘ ) = (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
20027, 73, 199syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))β€˜π‘ ) = (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ))
202129fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1)β€˜π‘ ))
203202adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1)β€˜π‘ ))
204 fvmpt4 44240 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1)β€˜π‘ ) = 1)
20527, 74, 204syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ 1)β€˜π‘ ) = 1)
206203, 205eqtr2d 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ 1 = ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))
207201, 206oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ )))
208195, 207eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ )))
209208mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))))
210209oveq1d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (πΊβ€˜(𝐴 + 𝑠))) limβ„‚ 0) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
211194, 210eleqtrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)β€˜π‘ ) / ((ℝ D 𝐷)β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
2121, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop1 25767 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0))
21350fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
21427, 49, 213syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (π‘β€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ))
21552fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (π·β€˜π‘ ) = 𝑠)
21627, 27, 215syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (π·β€˜π‘ ) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ )) = (((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠)))
219 fourierdlem61.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ (((πΉβ€˜(𝐴 + 𝑠)) βˆ’ π‘Œ) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) = 𝐻)
221220oveq1d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↦ ((π‘β€˜π‘ ) / (π·β€˜π‘ ))) limβ„‚ 0) = (𝐻 limβ„‚ 0))
222212, 221eleqtrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐻 limβ„‚ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„*cxr 11252   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  (,)cioo 13329  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145   limβ„‚ climc 25612   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  fourierdlem75  45196
  Copyright terms: Public domain W3C validator