Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem61 41994
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem61.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem61.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem61.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem61.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem61.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem61.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem61.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
fourierdlem61.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem61.n 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem61.d 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10490 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 fourierdlem61.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem61.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 10916 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54rexrd 10537 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
6 fourierdlem61.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
73, 2posdifd 11075 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
86, 7mpbid 233 . . 3 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
113rexrd 10537 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 10537 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
153adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 elioore 12618 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10516 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ ℝ)
193recnd 10515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019addid1d 10687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2120eqcomd 2801 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐴 + 0))
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 = (𝐴 + 0))
23 0red 10490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ)
24 0xr 10534 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ*)
265adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
27 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
28 ioogtlb 41312 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
3023, 17, 15, 29ltadd2dd 10646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 0) < (𝐴 + 𝑠))
3122, 30eqbrtrd 4984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑠))
324adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
33 iooltub 41328 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3425, 26, 27, 33syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3517, 32, 15, 34ltadd2dd 10646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < (𝐴 + (𝐵𝐴)))
362recnd 10515 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3719, 36pncan3d 10848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 4988 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < 𝐵)
4012, 14, 18, 31, 39eliood 41315 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6717 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
42 ioossre 12648 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
44 ax-resscn 10440 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44syl6ss 3901 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
46 eqid 2795 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4746, 13, 3, 6lptioo1cn 41469 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
48 fourierdlem61.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
499, 45, 47, 48limcrecl 41452 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℝ)
5141, 50resubcld 10916 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
52 fourierdlem61.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
5351, 52fmptd 6741 . . 3 (𝜑𝑁:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
54 fourierdlem61.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
5517, 54fmptd 6741 . . 3 (𝜑𝐷:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
5652oveq2i 7027 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
5857dmeqd 5660 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
59 reelprrecn 10475 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6141recnd 10515 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
62 dvfre 24231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
639, 43, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
64 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6665feq1d 6367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6763, 66mpbird 258 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6867adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6965eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
7069dmeqd 5660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
71 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7270, 71eqtr2d 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7372adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7440, 73eleqtrd 2885 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7568, 74ffvelrnd 6717 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
76 1red 10488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 ∈ ℝ)
779ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877recnd 10515 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7972feq2d 6368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
8067, 79mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8180ffvelrnda 6716 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8219adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8319adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 0red 10490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8560, 19dvmptc 24238 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
86 ioossre 12648 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ)
8846tgioo2 23094 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iooretop 23057 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 24243 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
9217recnd 10515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 recn 10473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
95 1red 10488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9660dvmptid 24237 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 24243 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
9860, 82, 23, 91, 92, 76, 97dvmptadd 24240 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)))
99 0p1e1 11607 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
10099mpteq2i 5052 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
10198, 100syl6eq 2847 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
1029feqmptd 6601 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
103102eqcomd 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
104103oveq2d 7032 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10580feqmptd 6601 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
106104, 69, 1053eqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
107 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
108 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 24252 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)))
11075recnd 10515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
111110mulid1d 10504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
112111mpteq2dva 5055 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
113109, 112eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
114 limccl 24156 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
115114, 48sseldi 3887 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
116115adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℂ)
117115adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11860, 115dvmptc 24238 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 24243 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
12060, 61, 75, 113, 116, 25, 119dvmptsub 24247 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)))
121110subid1d 10834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
122121mpteq2dva 5055 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
123120, 122eqtrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
124123dmeqd 5660 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
12575ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
126 dmmptg 5971 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
127125, 126syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12858, 124, 1273eqtrd 2835 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12954a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠))
130129oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)))
131130, 97eqtrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
132131dmeqd 5660 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
13376ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ)
134 dmmptg 5971 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
135133, 134syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
136132, 135eqtrd 2831 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = (0(,)(𝐵𝐴)))
137 eqid 2795 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
138 eqid 2795 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)
139 eqid 2795 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
14040adantrr 713 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
141 eqid 2795 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)
142 eqid 2795 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
143 eqid 2795 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))
14487, 44syl6ss 3901 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℂ)
1451recnd 10515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
146141, 144, 19, 145constlimc 41447 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) lim 0))
147144, 142, 145idlimc 41449 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) lim 0))
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 41471 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
14921, 148eqeltrd 2883 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
150102oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
15148, 150eleqtrd 2885 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
152 simplrr 774 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
15315, 31gtned 10622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)
154153neneqd 2989 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
155154adantrr 713 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
156155adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
157152, 156condan 814 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌)
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 24174 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
159138, 144, 115, 145constlimc 41447 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) lim 0))
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 41475 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
161115subidd 10833 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16252eqcomi 2804 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
163162oveq1i 7026 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
164163a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
165160, 161, 1643eltr3d 2897 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
166144, 54, 145idlimc 41449 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
167 lbioo 12619 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))
168167a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
169 mptresid 5798 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴)))
170129, 169syl6eq 2847 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
171170rneqd 5690 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
172 rnresi 5819 . . . . 5 ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))) = (0(,)(𝐵𝐴))
173171, 172syl6req 2848 . . . 4 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) = ran 𝐷)
174168, 173neleqtrd 2904 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
175 0ne1 11556 . . . . . 6 0 ≠ 1
176175neii 2986 . . . . 5 ¬ 0 = 1
177 elsng 4486 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1781, 177syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
179176, 178mtbiri 328 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
180131rneqd 5690 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
181 eqid 2795 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
18224a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
183 ioon0 12614 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
184182, 5, 183syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1858, 184mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅)
186181, 76, 185rnmptc 6836 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = {1})
187180, 186eqtr2d 2832 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
188179, 187neleqtrd 2904 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18981recnd 10515 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
190 fourierdlem61.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
191105oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
192190, 191eleqtrd 2885 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
193 simplrr 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
194155adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
195193, 194condan 814 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸)
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 24174 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
197110div1d 11256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
19856, 123syl5eq 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
199198adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
200199fveq1d 6540 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠))
201 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
202201fvmpt2 6645 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
20327, 75, 202syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
204200, 203eqtr2d 2832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
205131fveq1d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
206205adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
207181fvmpt2 6645 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20827, 76, 207syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
209206, 208eqtr2d 2832 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
210204, 209oveq12d 7034 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
211197, 210eqtr3d 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
212211mpteq2dva 5055 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
213212oveq1d 7031 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
214196, 213eleqtrd 2885 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2151, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop1 24294 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21652fvmpt2 6645 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21727, 51, 216syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21854fvmpt2 6645 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21927, 27, 218syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
220217, 219oveq12d 7034 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221220mpteq2dva 5055 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
222 fourierdlem61.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
223221, 222syl6eqr 2849 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
224223oveq1d 7031 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
225215, 224eleqtrd 2885 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wss 3859  c0 4211  {csn 4472  {cpr 4474   class class class wbr 4962  cmpt 5041   I cid 5347  dom cdm 5443  ran crn 5444  cres 5445  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  *cxr 10520   < clt 10521  cmin 10717   / cdiv 11145  (,)cioo 12588  TopOpenctopn 16524  topGenctg 16540  fldccnfld 20227   lim climc 24143   D cdv 24144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148
This theorem is referenced by:  fourierdlem75  42008
  Copyright terms: Public domain W3C validator