Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem61 42796
 Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem61.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem61.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem61.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem61.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem61.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem61.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem61.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem61.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
fourierdlem61.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem61.n 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem61.d 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem61 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem61
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 10637 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 fourierdlem61.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem61.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 11061 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54rexrd 10684 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
6 fourierdlem61.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
73, 2posdifd 11220 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
86, 7mpbid 235 . . 3 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
9 fourierdlem61.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
113rexrd 10684 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 10684 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
153adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 elioore 12760 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ ℝ)
193recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2019addid1d 10833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
2120eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐴 + 0))
2221adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 = (𝐴 + 0))
23 0red 10637 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ)
24 0xr 10681 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 ∈ ℝ*)
265adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ*)
27 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
2825, 26, 27ioogtlbd 42174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 0 < 𝑠)
2923, 17, 15, 28ltadd2dd 10792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 0) < (𝐴 + 𝑠))
3022, 29eqbrtrd 5055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 < (𝐴 + 𝑠))
314adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
3225, 26, 27iooltubd 42168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 < (𝐵𝐴))
3317, 31, 15, 32ltadd2dd 10792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < (𝐴 + (𝐵𝐴)))
342recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3519, 34pncan3d 10993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3733, 36breqtrd 5059 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) < 𝐵)
3812, 14, 18, 30, 37eliood 42122 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
3910, 38ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
40 ioossre 12790 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
42 ax-resscn 10587 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4341, 42sstrdi 3930 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
44 eqid 2801 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4544, 13, 3, 6lptioo1cn 42275 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
46 fourierdlem61.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
479, 43, 45, 46limcrecl 42258 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4847adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℝ)
4939, 48resubcld 11061 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
50 fourierdlem61.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
5149, 50fmptd 6859 . . 3 (𝜑𝑁:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
52 fourierdlem61.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
5317, 52fmptd 6859 . . 3 (𝜑𝐷:(0(,)(𝐵𝐴))⟶ℝ)
5450oveq2i 7150 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)))
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
5655dmeqd 5742 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))))
57 reelprrecn 10622 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5939recnd 10662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
60 dvfre 24557 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
619, 41, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
62 fourierdlem61.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6463feq1d 6476 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6561, 64mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6665adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6763eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
6867dmeqd 5742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
69 fourierdlem61.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7068, 69eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7170adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7238, 71eleqtrd 2895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7366, 72ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
74 1red 10635 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 ∈ ℝ)
759ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7675recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7770feq2d 6477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
7865, 77mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8019adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8119adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
82 0red 10637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8358, 19dvmptc 24564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
84 ioossre 12790 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℝ)
86 tgioo4 42197 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
87 iooretop 23374 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
8958, 81, 82, 83, 85, 86, 44, 88dvmptres 24569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
9017recnd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑠 ∈ ℂ)
91 recn 10620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9291adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 1red 10635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9458dvmptid 24563 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9558, 92, 93, 94, 85, 86, 44, 88dvmptres 24569 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
9658, 80, 23, 89, 90, 74, 95dvmptadd 24566 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)))
97 0p1e1 11751 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
9897mpteq2i 5125 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
9996, 98eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
1009feqmptd 6712 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
101100eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
102101oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10378feqmptd 6712 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
104102, 67, 1033eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
105 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
106 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
10758, 58, 38, 74, 76, 79, 99, 104, 105, 106dvmptco 24578 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)))
10873recnd 10662 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℂ)
109108mulid1d 10651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
110109mpteq2dva 5128 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
111107, 110eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
112 limccl 24481 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐴) ⊆ ℂ
113112, 46sseldi 3916 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
114113adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 𝑌 ∈ ℂ)
115113adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11658, 113dvmptc 24564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11758, 115, 82, 116, 85, 86, 44, 88dvmptres 24569 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 0))
11858, 59, 73, 111, 114, 23, 117dvmptsub 24573 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)))
119108subid1d 10979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
120119mpteq2dva 5128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
121118, 120eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
122121dmeqd 5742 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
12373ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ)
124 dmmptg 6067 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))(𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
125123, 124syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12656, 122, 1253eqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = (0(,)(𝐵𝐴)))
12752a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠))
128127oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)))
129128, 95eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
130129dmeqd 5742 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
13174ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ)
132 dmmptg 6067 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
133131, 132syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (0(,)(𝐵𝐴)))
134130, 133eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = (0(,)(𝐵𝐴)))
135 eqid 2801 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)))
136 eqid 2801 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌)
137 eqid 2801 . . . . 5 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
13838adantrr 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)) → (𝐴 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
139 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴)
140 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
141 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠))
14285, 42sstrdi 3930 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ⊆ ℂ)
1431recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
144139, 142, 19, 143constlimc 42253 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝐴) lim 0))
145142, 140, 143idlimc 42255 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠) lim 0))
146139, 140, 141, 80, 90, 144, 145addlimc 42277 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
14721, 146eqeltrd 2893 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐴 + 𝑠)) lim 0))
148100oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
14946, 148eleqtrd 2895 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐴))
150 simplrr 777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
15115, 30gtned 10768 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐴 + 𝑠) ≠ 𝐴)
152151neneqd 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
153152adantrr 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
154153adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
155150, 154condan 817 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝑌)
156138, 76, 147, 149, 105, 155limcco 24499 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐹‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
157136, 142, 113, 143constlimc 42253 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑌) lim 0))
158135, 136, 137, 59, 114, 156, 157sublimc 42281 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
159113subidd 10978 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16050eqcomi 2810 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
161160oveq1i 7149 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
162161a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
163158, 159, 1623eltr3d 2907 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
164142, 52, 143idlimc 42255 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
165 lbioo 12761 . . . . 5 ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))
166165a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)))
167 mptresid 5889 . . . . . . 7 ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 𝑠)
168127, 167eqtr4di 2854 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
169168rneqd 5776 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))))
170 rnresi 5914 . . . . 5 ran ( I ↾ (0(,)(𝐵𝐴))) = (0(,)(𝐵𝐴))
171169, 170eqtr2di 2853 . . . 4 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) = ran 𝐷)
172166, 171neleqtrd 2914 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
173 0ne1 11700 . . . . . 6 0 ≠ 1
174173neii 2992 . . . . 5 ¬ 0 = 1
175 elsng 4542 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1761, 175syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
177174, 176mtbiri 330 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
178129rneqd 5776 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1))
179 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)
18024a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
181 ioon0 12756 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ*) → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
182180, 5, 181syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1838, 182mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → (0(,)(𝐵𝐴)) ≠ ∅)
184179, 183rnmptc 6950 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1) = {1})
185178, 184eqtr2d 2837 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
186177, 185neleqtrd 2914 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18779recnd 10662 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
188 fourierdlem61.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
189103oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
190188, 189eleqtrd 2895 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐴))
191 simplrr 777 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
192153adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)
193191, 192condan 817 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐴 + 𝑠) = 𝐴)) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = 𝐸)
194138, 187, 147, 190, 106, 193limcco 24499 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0))
195108div1d 11401 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
19654, 121syl5eq 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
197196adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))))
198197fveq1d 6651 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠))
199 fvmpt4 41861 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
20027, 73, 199syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)))
201198, 200eqtr2d 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
202129fveq1d 6651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
203202adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠))
204 fvmpt4 41861 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20527, 74, 204syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
206203, 205eqtr2d 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
207201, 206oveq12d 7157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
208195, 207eqtr3d 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐺‘(𝐴 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
209208mpteq2dva 5128 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
210209oveq1d 7154 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (𝐺‘(𝐴 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
211194, 210eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2121, 5, 8, 51, 53, 126, 134, 163, 164, 172, 186, 211lhop1 24620 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21350fvmpt2 6760 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21427, 49, 213syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌))
21552fvmpt2 6760 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21627, 27, 215syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
217214, 216oveq12d 7157 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴))) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
218217mpteq2dva 5128 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
219 fourierdlem61.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ (((𝐹‘(𝐴 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
220218, 219eqtr4di 2854 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
221220oveq1d 7154 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0(,)(𝐵𝐴)) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
222212, 221eleqtrd 2895 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528  {cpr 4530   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   − cmin 10863   / cdiv 11290  (,)cioo 12730  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  ℂfldccnfld 20094   limℂ climc 24468   D cdv 24469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473 This theorem is referenced by:  fourierdlem75  42810
 Copyright terms: Public domain W3C validator